安徽省滁州市九校聯(lián)考高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊結(jié)束.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合，然后根據(jù)集合交集運(yùn)算即可求解.【詳解】∵集合，而，∴，∴A∩B中元素的個(gè)數(shù)為4．故選：C．2.設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)相等即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，則，即，故選：B.3.下列說法正確的是（）A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截去一個(gè)小圓錐后剩余的部分是圓臺(tái)C.底面是矩形的四棱柱是長方體D.三棱臺(tái)有8個(gè)頂點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】可通過反例判斷A錯(cuò)誤；由圓臺(tái)的性質(zhì)判斷B正確；由長方體的性質(zhì)判斷C錯(cuò)誤；通過圖形判斷D錯(cuò)誤.【詳解】各個(gè)面都是三角形的幾何體如下圖所示：該幾何體不是三棱錐，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由圓臺(tái)的性質(zhì)可知，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺(tái)，故選項(xiàng)B正確；若四棱柱的底面是矩形，側(cè)棱與底面矩形不一定垂直，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；如圖，三棱臺(tái)有6個(gè)頂點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B4.在中，，，則外接圓的半徑為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理運(yùn)算求解.【詳解】由正弦定理，則，故外接圓的半徑為1.故選：A.5.已知△ABC是正三角形，且，則向量在向量上的投影向量為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出與的夾角，然后利用求投影向量的公式即可求解.【詳解】因?yàn)椤鰽BC是正三角形，且，所以以為鄰邊作平行四邊形，則四邊形是菱形，是的中點(diǎn)，所以，即與的夾角為，所以在上投影向量為（其中表示與同方向的單位向量）.故選：B.6.現(xiàn)有一個(gè)底面圓半徑為3的圓柱型的盒子，小明現(xiàn)在找到一些半徑為3的小球，往盒子中不斷地放入小球，若此盒子最多只能裝下6個(gè)這樣的小球（盒子的蓋子能封上），那么圓柱盒子的容積與一個(gè)小球的體積的比值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出圓柱高的取值范圍，然后利用柱體的體積公式和球的體積公式即可求解.【詳解】由題意可知：圓柱盒子內(nèi)高h(yuǎn)的范圍為．則圓柱盒子的體積，因?yàn)橐粋€(gè)小球的體積，所以，故選：C．7.窗的運(yùn)用是中式園林設(shè)計(jì)的重要組成部分，在表現(xiàn)方式上常常運(yùn)用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境．從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等．已知圓O是某窗的平面圖，O為圓心，點(diǎn)A在圓O的圓周上，點(diǎn)P是圓O內(nèi)部一點(diǎn)，若，且，則的最小值是（）A.3 B.4 C.9 D.16【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積，可求得，確定其取值范圍，再根據(jù)平方后的式子，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，則．因?yàn)辄c(diǎn)P是圓O內(nèi)部一點(diǎn)，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值是3,故選：A.8.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對已知等式兩邊分別取對數(shù)求出a，b，c，然后通過換底公式并結(jié)合基本不等式比較a，b的大小，從而得到a，b，c的大小關(guān)系．【詳解】分別對，，兩邊取對數(shù)，得，，．．由基本不等式，得:，所以，即，所以．又，所以.故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，其中z為虛數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的虛部為－2B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和幾何意義逐項(xiàng)進(jìn)行分析驗(yàn)證即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴ω的虛部為－4，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，．∴，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD．10.已知向量，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.的最小值為3 D.當(dāng)時(shí)，與的夾角為鈍角【答案】AC【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算可判定A項(xiàng)，用向量的數(shù)量積與模的關(guān)系計(jì)算可判定B項(xiàng)，用模的坐標(biāo)表示及函數(shù)求最值可判定C項(xiàng)，注意向量垂直時(shí)的參數(shù)值來判定D項(xiàng)即可.【詳解】若，則，即，故A正確；若，則，∴，∴，∴，即，故B錯(cuò)誤；∵，∴（當(dāng)，即時(shí)取等號），故C正確；當(dāng)時(shí)，易得，即與的夾角為直角，故D錯(cuò)誤.故選：AC．11.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，過球心作一截面，如圖所示，則截面的可能圖形是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)截面平行于側(cè)面；截面過體對角線；截面不平行于側(cè)面不過體對角線三種情況得到答案.【詳解】當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)側(cè)面時(shí)得C；當(dāng)截面過正方體的體對角線時(shí)可得D；當(dāng)截面既不過體對角線又不與任一側(cè)面平行時(shí)，可得A；但無論如何都不能截得B．故選：ACD12.已知函數(shù)（其中，），，恒成立，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，那么下列說法正確的是（）A.存在，使得是偶函數(shù) B.C.是的整數(shù)倍 D.的最大值是6【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的性質(zhì)推出，結(jié)合三角函數(shù)為偶函數(shù)性質(zhì)，可判斷A；根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性可判斷B；結(jié)合，可判斷C；當(dāng)時(shí)，可列式求解，根據(jù)解的結(jié)果可判斷D.【詳解】對于A,∵，成立，∴，整理得，解得，，假設(shè)存在，使得是偶函數(shù)，則，即，該式左側(cè)為偶數(shù)，不可能等于5，矛盾,故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，函?shù)的圖象關(guān)于對稱，∴，故B正確；對于C，∵，∴是的整數(shù)倍，故C正確；對于D，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，∴，即，當(dāng)時(shí)，由，整理得，故無解，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解答時(shí)要能綜合應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性以及對稱性等，列式求解，要注意參數(shù)的表達(dá)式的求解，形式較為復(fù)雜，需細(xì)心.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的值域?yàn)開_______.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)單調(diào)性求值域即可.【詳解】因?yàn)椋?所以函數(shù)的值域?yàn)椋汗蚀鸢笧椋?4.如圖所示，表示水平放置的用斜二測畫法得到的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則△的邊上的高為________.【答案】【解析】【分析】作線段，交軸于點(diǎn)，則所求的高為，根據(jù)三角知識即可求解．【詳解】作線段，交軸于點(diǎn)，則，所以邊上的高為故答案為：．15.甲為了知曉一座高樓的高度，站在一棟12m高的房屋頂，測得高樓的樓頂仰角為75°，一樓樓底的俯角為45°，那么這座高樓的高度為_____________m．【答案】##【解析】【分析】利用兩角和正切公式和直角三角形中正切值即可求解【詳解】設(shè)高樓高度為xm，甲站的房屋與高樓水平距離為ym，如圖，由題意知：，，因?yàn)?，在中，①，在中，②，①②?lián)立，解得．故答案為：.16.如圖在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是___________．【答案】（，）【解析】【詳解】如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB最長，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）.考點(diǎn)：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)，其中，i為虛數(shù)單位．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，z為純虛數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)位于直線的上方，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解；（2）令，求解即可.【小問1詳解】，由，解得，故當(dāng)時(shí)，z為純虛數(shù).【小問2詳解】由題可得：，∴，即，∴m的取值范圍為．18.在中，分別是角所對的邊，且滿足．（1）求角的大??；（2）設(shè)向量，向量，且，判斷的形狀．【答案】（1）；（2）直角三角形【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）由，可得，即有，，即可得結(jié)論.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以；【小?詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，所以，所以或（舍），?dāng)時(shí)，，所以為直角三角形．19.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，得，當(dāng)時(shí)，由奇函數(shù)的性質(zhì)及時(shí)的解析式可求得，即可把的解析式寫成分段函數(shù)的形式；(2)由(1)的解析式得到函數(shù)在和上的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，由可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為，由的單調(diào)性即可得出，從而求出解集.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)槠婧瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以；【小問2詳解】由（1）得，則函數(shù)在和上分別單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞增，由得，因?yàn)椋?，由函?shù)在上單調(diào)遞增得，解得，故不等式的解集為．20.如圖，已知四邊形ABDE為平行四邊形，點(diǎn)C在AB延長線上，且，，設(shè)，．（1）用向量，表示；（2）若線段CM上存在一動(dòng)點(diǎn)P，且，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的加法運(yùn)算即可求解；（2）利用平面向量的線性運(yùn)算得到，，再結(jié)合點(diǎn)M，P，C三點(diǎn)共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)t，，使得，進(jìn)而得到，，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】．【小問2詳解】，，∵點(diǎn)P在線段CM上，即點(diǎn)M，P，C三點(diǎn)共線，∴存在唯一的實(shí)數(shù)t，，使得，∴，而，∴，，∴令．對稱軸為，故，即的最大值為．21.已知函數(shù)的最小正周期是．（1）求的解析式，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，再向左平移個(gè)單位，最后將整個(gè)函數(shù)圖像向上平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若時(shí)，恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1），單調(diào)增區(qū)間為，（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的最小正周期是求出，即可得到的解析式，由正弦函數(shù)的單調(diào)性得到增區(qū)間滿足，解出即可得到的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先通過三角函數(shù)圖像的變換求出函數(shù)的解析式，由化簡得在上恒成立，轉(zhuǎn)化為，，求出的最大值與最小值，代入即可求出m的取值范圍．【小問1詳解】∵，由，解得，∴．由，．得，．∴，．∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【小問2詳解】依題意得，∵，∴，當(dāng)時(shí)，恒成立，只需，下面求的最大值與最小值：當(dāng)時(shí)，，所以為單調(diào)減函數(shù)，∴，，從而，，即，故m的取值范圍是．22.如圖，已知扇形是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖，其中扇形半徑為10米，，為了便于游客觀光和旅游，提出以下兩種設(shè)計(jì)方案：（1）如圖1，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一條三角形形狀的道路，道路的一個(gè)頂點(diǎn)B在弧上（不含端點(diǎn)），，另一頂點(diǎn)A在半徑OM上，且，的周長為，求的表達(dá)式并求的最大值；（2）如圖2，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)域種植花卉，三角形花圃的一個(gè)頂點(diǎn)B在弧MN上，另兩個(gè)頂點(diǎn)A、C分別在半徑OM、ON上，且，，求花圃面積的最大值．【答案】（1），