安徽省滁州市九校聯(lián)考高一下學期4月期中考試數(shù)學試題

2022～2023學年度第二學期高一期中考試數(shù)學試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊結束.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合，然后根據(jù)集合交集運算即可求解.【詳解】∵集合，而，∴，∴A∩B中元素的個數(shù)為4．故選：C．2.設，其中a，b是實數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)相等即可求出結果.【詳解】因為，即，則，即，故選：B.3.下列說法正確的是（）A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截去一個小圓錐后剩余的部分是圓臺C.底面是矩形的四棱柱是長方體D.三棱臺有8個頂點【答案】B【解析】【分析】可通過反例判斷A錯誤；由圓臺的性質判斷B正確；由長方體的性質判斷C錯誤；通過圖形判斷D錯誤.【詳解】各個面都是三角形的幾何體如下圖所示：該幾何體不是三棱錐，故選項A錯誤；由圓臺的性質可知，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺，故選項B正確；若四棱柱的底面是矩形，側棱與底面矩形不一定垂直，故選項C錯誤；如圖，三棱臺有6個頂點，故選項D錯誤.故選：B4.在中，，，則外接圓的半徑為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理運算求解.【詳解】由正弦定理，則，故外接圓的半徑為1.故選：A.5.已知△ABC是正三角形，且，則向量在向量上的投影向量為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出與的夾角，然后利用求投影向量的公式即可求解.【詳解】因為△ABC是正三角形，且，所以以為鄰邊作平行四邊形，則四邊形是菱形，是的中點，所以，即與的夾角為，所以在上投影向量為（其中表示與同方向的單位向量）.故選：B.6.現(xiàn)有一個底面圓半徑為3的圓柱型的盒子，小明現(xiàn)在找到一些半徑為3的小球，往盒子中不斷地放入小球，若此盒子最多只能裝下6個這樣的小球（盒子的蓋子能封上），那么圓柱盒子的容積與一個小球的體積的比值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出圓柱高的取值范圍，然后利用柱體的體積公式和球的體積公式即可求解.【詳解】由題意可知：圓柱盒子內高h的范圍為．則圓柱盒子的體積，因為一個小球的體積，所以，故選：C．7.窗的運用是中式園林設計的重要組成部分，在表現(xiàn)方式上常常運用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境．從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等．已知圓O是某窗的平面圖，O為圓心，點A在圓O的圓周上，點P是圓O內部一點，若，且，則的最小值是（）A.3 B.4 C.9 D.16【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運算，結合數(shù)量積，可求得，確定其取值范圍，再根據(jù)平方后的式子，即可求得答案.【詳解】因為，所以，所以，即，則．因為點P是圓O內部一點，所以，所以，則，當且僅當時，等號成立，故的最小值是3,故選：A.8.已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對已知等式兩邊分別取對數(shù)求出a，b，c，然后通過換底公式并結合基本不等式比較a，b的大小，從而得到a，b，c的大小關系．【詳解】分別對，，兩邊取對數(shù)，得，，．．由基本不等式，得:，所以，即，所以．又，所以.故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)，其中z為虛數(shù)，則下列結論正確的是（）A.當時，的虛部為－2B.當時，C.當時，D.當時，在復平面內對應的點在第二象限【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算和幾何意義逐項進行分析驗證即可求解.【詳解】當時，，∴ω的虛部為－4，故選項A錯誤；當時，，則，故選項B正確；當時，．∴，故選項C正確；當時，在復平面內對應的點在第二象限，故選項D正確，故選：BCD．10.已知向量，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.的最小值為3 D.當時，與的夾角為鈍角【答案】AC【解析】【分析】由向量平行的坐標運算可判定A項，用向量的數(shù)量積與模的關系計算可判定B項，用模的坐標表示及函數(shù)求最值可判定C項，注意向量垂直時的參數(shù)值來判定D項即可.【詳解】若，則，即，故A正確；若，則，∴，∴，∴，即，故B錯誤；∵，∴（當，即時取等號），故C正確；當時，易得，即與的夾角為直角，故D錯誤.故選：AC．11.一個正方體的頂點都在球面上，過球心作一截面，如圖所示，則截面的可能圖形是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)截面平行于側面；截面過體對角線；截面不平行于側面不過體對角線三種情況得到答案.【詳解】當截面平行于正方體的一個側面時得C；當截面過正方體的體對角線時可得D；當截面既不過體對角線又不與任一側面平行時，可得A；但無論如何都不能截得B．故選：ACD12.已知函數(shù)（其中，），，恒成立，且函數(shù)在區(qū)間上單調，那么下列說法正確的是（）A.存在，使得是偶函數(shù) B.C.是的整數(shù)倍 D.的最大值是6【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的性質推出，結合三角函數(shù)為偶函數(shù)性質，可判斷A；根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性可判斷B；結合，可判斷C；當時，可列式求解，根據(jù)解的結果可判斷D.【詳解】對于A,∵，成立，∴，整理得，解得，，假設存在，使得是偶函數(shù)，則，即，該式左側為偶數(shù)，不可能等于5，矛盾,故A錯誤；對于B，因為，函數(shù)的圖象關于對稱，∴，故B正確；對于C，∵，∴是的整數(shù)倍，故C正確；對于D，∵函數(shù)在區(qū)間上單調，∴，即，當時，由，整理得，故無解，故D錯誤．故選：BC．【點睛】難點點睛：本題綜合考查三角函數(shù)的性質的應用，解答時要能綜合應用函數(shù)的單調性以及對稱性等，列式求解，要注意參數(shù)的表達式的求解，形式較為復雜，需細心.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的值域為________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)單調性求值域即可.【詳解】因為，所以.所以函數(shù)的值域為：故答案為：14.如圖所示，表示水平放置的用斜二測畫法得到的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則△的邊上的高為________.【答案】【解析】【分析】作線段，交軸于點，則所求的高為，根據(jù)三角知識即可求解．【詳解】作線段，交軸于點，則，所以邊上的高為故答案為：．15.甲為了知曉一座高樓的高度，站在一棟12m高的房屋頂，測得高樓的樓頂仰角為75°，一樓樓底的俯角為45°，那么這座高樓的高度為_____________m．【答案】##【解析】【分析】利用兩角和正切公式和直角三角形中正切值即可求解【詳解】設高樓高度為xm，甲站的房屋與高樓水平距離為ym，如圖，由題意知：，，因為，在中，①，在中，②，①②聯(lián)立，解得．故答案為：.16.如圖在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是___________．【答案】（，）【解析】【詳解】如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當A與D重合與E點時，AB最長，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，當D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）.考點：正余弦定理；數(shù)形結合思想四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知復數(shù)，其中，i為虛數(shù)單位．（1）當m為何值時，z為純虛數(shù)；（2）若復數(shù)z在復平面內對應點位于直線的上方，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解；（2）令，求解即可.【小問1詳解】，由，解得，故當時，z為純虛數(shù).【小問2詳解】由題可得：，∴，即，∴m的取值范圍為．18.在中，分別是角所對的邊，且滿足．（1）求角的大小；（2）設向量，向量，且，判斷的形狀．【答案】（1）；（2）直角三角形【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）由，可得，即有，，即可得結論.【小問1詳解】解：因為，所以，因為，所以；【小問2詳解】解：因為，，且，所以，所以，所以或（舍），當時，，所以為直角三角形．19.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，得，當時，由奇函數(shù)的性質及時的解析式可求得，即可把的解析式寫成分段函數(shù)的形式；(2)由(1)的解析式得到函數(shù)在和上的單調性，當時，由可知函數(shù)在上單調遞增，利用奇函數(shù)的性質把不等式轉化為，由的單調性即可得出，從而求出解集.【小問1詳解】因為函數(shù)是定義域為奇函數(shù)，所以，當時，，則，所以當時，，所以；【小問2詳解】由（1）得，則函數(shù)在和上分別單調遞增．當時，因為，所以函數(shù)在上單調遞增，由得，因為，所以，由函數(shù)在上單調遞增得，解得，故不等式的解集為．20.如圖，已知四邊形ABDE為平行四邊形，點C在AB延長線上，且，，設，．（1）用向量，表示；（2）若線段CM上存在一動點P，且，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的加法運算即可求解；（2）利用平面向量的線性運算得到，，再結合點M，P，C三點共線，則存在唯一的實數(shù)t，，使得，進而得到，，令，利用二次函數(shù)的性質即可求解.【小問1詳解】．【小問2詳解】，，∵點P在線段CM上，即點M，P，C三點共線，∴存在唯一的實數(shù)t，，使得，∴，而，∴，，∴令．對稱軸為，故，即的最大值為．21.已知函數(shù)的最小正周期是．（1）求的解析式，并求的單調遞增區(qū)間；（2）將圖像上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，再向左平移個單位，最后將整個函數(shù)圖像向上平移個單位后得到函數(shù)的圖像，若時，恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1），單調增區(qū)間為，（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的最小正周期是求出，即可得到的解析式，由正弦函數(shù)的單調性得到增區(qū)間滿足，解出即可得到的單調遞增區(qū)間；（2）先通過三角函數(shù)圖像的變換求出函數(shù)的解析式，由化簡得在上恒成立，轉化為，，求出的最大值與最小值，代入即可求出m的取值范圍．【小問1詳解】∵，由，解得，∴．由，．得，．∴，．∴的單調遞增區(qū)間為，．【小問2詳解】依題意得，∵，∴，當時，恒成立，只需，下面求的最大值與最小值：當時，，所以為單調減函數(shù)，∴，，從而，，即，故m的取值范圍是．22.如圖，已知扇形是一個觀光區(qū)的平面示意圖，其中扇形半徑為10米，，為了便于游客觀光和旅游，提出以下兩種設計方案：（1）如圖1，擬在觀光區(qū)內規(guī)劃一條三角形形狀的道路，道路的一個頂點B在弧上（不含端點），，另一頂點A在半徑OM上，且，的周長為，求的表達式并求的最大值；（2）如圖2，擬在觀光區(qū)內規(guī)劃一個三角形區(qū)域種植花卉，三角形花圃的一個頂點B在弧MN上，另兩個頂點A、C分別在半徑OM、ON上，且，，求花圃面積的最大值．【答案】（1），