函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日一、單調(diào)性的判別法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日定理1機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日證應(yīng)用拉格朗日中值定理，得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日說明：1.此定理只給出了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)的充分條件，而不是必要條件。2.區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在,不影響區(qū)間的單調(diào)性.只需用導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)來劃分定義區(qū)間，就能保證函數(shù)的各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號，從而使函數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。又例例如機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例2解單調(diào)區(qū)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例3解單調(diào)區(qū)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例4證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例5證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例6證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明第十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明1利用單調(diào)性證：第十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明2利用單調(diào)性證第十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明3利用中值定理證第十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明1利用單調(diào)性證列表x0_0+0第十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明2利用中值定理證由中值定理知，第十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明3利用泰勒公式證第十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日二、曲線的凹凸性問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日定義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日定理2機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由定義2，(1)成立。同理可以證明(2)。第二十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例10解注意到,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日推論：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例11解：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)(2)第三十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日三、曲線的拐點(diǎn)及其求法1、定義注意:

拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線。2、拐點(diǎn)的求法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例12解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日注意:例13解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束求函數(shù)f(x)的拐點(diǎn)的步驟：注意：例第三十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日定理5證明：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例14解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日四、漸近線定義:1.鉛直漸近線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例如有鉛直漸近線兩條:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日3.斜漸近線斜漸近線求法:顯然，水平漸近線是斜漸近線的特例。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日證明：由漸近線的定義，有要使此時(shí)成立，必須機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日注意:例15解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日五、小結(jié)1.單調(diào)性的判別（它是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用）.3.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.單調(diào)性2.單調(diào)區(qū)間的求法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日曲線的彎曲方向——凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);1凹凸性的判定.2拐點(diǎn)的求法.凹凸性及拐點(diǎn)漸近線的求法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日習(xí)題(3-4)P151

3(2)(5);4(2)(3)(4);8(2)(4)(6);9(3);11；12;13;作業(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日思考題1解答不能斷定.例但機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考題1第五十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，注意可以任意大，故在點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，都不單調(diào)遞增．機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日思考題2解答例機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考題2第五十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日思考題3解答機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考題3第五十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:利用單調(diào)增加,及B1.設(shè)在機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日

;

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及

;第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日1.求證曲線有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).證明：備用題機(jī)