數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散

（優(yōu)選）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第1頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)基本概念

第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)constantterminfiniteseries第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)小結(jié)思考題作業(yè)當(dāng)前第2頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)為什么要研究無(wú)窮級(jí)數(shù)是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有效工具(如計(jì)算函數(shù)值、出它的威力.

在自然科學(xué)和工程技術(shù)中,也常用無(wú)窮無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式.因無(wú)窮級(jí)數(shù)中包含有許多非初等函數(shù),故它在積分運(yùn)算和微分方程求解時(shí),也呈現(xiàn)如諧波分析等.造函數(shù)值表）.級(jí)數(shù)來(lái)分析問(wèn)題,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第3頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)1.級(jí)數(shù)的定義(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)如

以上均為(常)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).(1)一、基本概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第4頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)這樣,級(jí)數(shù)(1)對(duì)應(yīng)一個(gè)部分和數(shù)列:稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)(1)的按通常的加法運(yùn)算一項(xiàng)一項(xiàng)的加下去,為級(jí)數(shù)(1)的無(wú)窮級(jí)數(shù)定義式(1)的含義是什么?也算不完,永遠(yuǎn)那么如何計(jì)算?前n項(xiàng)和部分和.2.部分和數(shù)列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第5頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)例認(rèn)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第6頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)例2認(rèn)為例3無(wú)極限認(rèn)為沒(méi)有和。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第7頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)部分和數(shù)列可能存在極限,也可能不存在極限.定義則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)并寫(xiě)成3.級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第8頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)特別,若則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散到記作總之,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(發(fā)散).(不存在)存在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第9頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)對(duì)收斂級(jí)數(shù)(1),為級(jí)數(shù)(1)的余項(xiàng)或余和.顯然有當(dāng)n充分大時(shí),級(jí)數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有極限是等價(jià)的.(1)稱(chēng)差誤差為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第10頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)注意：（1）任何一個(gè)級(jí)數(shù)都可以確定一個(gè)部分和數(shù)列（2）對(duì)任意數(shù)列都可作出一個(gè)級(jí)數(shù)因此研究級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題即為研究其部分和數(shù)列是否有極限的問(wèn)題數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第11頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)例1討論級(jí)數(shù)的斂散性。解：前n項(xiàng)之和因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂，和為1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第12頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)例2而所以,的部分和

級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第13頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)解(重要)例3討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))的收斂性.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第14頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上級(jí)數(shù)變?yōu)閿?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第15頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)討論級(jí)數(shù)的斂散性.解例4因?yàn)闉楣鹊牡缺燃?jí)數(shù),是以故級(jí)數(shù)收斂.發(fā)散.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第16頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)例5判定級(jí)數(shù)的斂散性.例6求級(jí)數(shù)的和.提示:利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第17頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)定理1(柯西準(zhǔn)則)級(jí)數(shù)收斂數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第18頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)例7證明:(1)級(jí)數(shù)收斂.(2)級(jí)數(shù)發(fā)散(3)級(jí)數(shù)發(fā)散(3)提示:數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第19頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1若級(jí)數(shù)都收斂,且其和分別為則對(duì)任意的常數(shù)級(jí)數(shù)也收斂,且和為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第20頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)都發(fā)散.但收斂.例數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第21頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)收斂級(jí)數(shù)的必要條件反之不然！性質(zhì)2證因?yàn)閯t所以推論數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第22頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)注①級(jí)數(shù)收斂的必要條件,③必要條件不充分.常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散;如調(diào)和級(jí)數(shù)②也可用它求或驗(yàn)證極限為“0”的極限;級(jí)數(shù)收斂的必要條件:但級(jí)數(shù)是否收斂數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第23頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)例判別下列級(jí)數(shù)的斂散性級(jí)數(shù)收斂的必要條件常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散.解題思路數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第24頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)解由于發(fā)散數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第25頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)

解而級(jí)數(shù)所以這個(gè)等比級(jí)數(shù)發(fā)散.由性質(zhì)2知,由性質(zhì)1知,發(fā)散.因調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,為公比的等比級(jí)數(shù),是以收斂.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第26頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)練習(xí)為收斂級(jí)數(shù),a為非零常數(shù),試判別級(jí)數(shù)的斂散性.解因?yàn)槭諗?故從而故級(jí)數(shù)發(fā)散.級(jí)數(shù)收斂的必要條件:數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第27頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)問(wèn)否！數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第28頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)性質(zhì)3

添加或去掉有限項(xiàng)不影響一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4設(shè)級(jí)數(shù)收斂,則對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)所得新級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.①一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散,則注原級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上,加括后的級(jí)數(shù)就應(yīng)該收斂了.設(shè)原來(lái)的級(jí)數(shù)收斂,則根據(jù)性質(zhì)4,

收斂

發(fā)散②一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后收斂,原級(jí)數(shù)斂散性不確定.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第29頁(yè)\共有31頁(yè)\編于星期五\0點(diǎn)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法3.按基本性質(zhì)則級(jí)數(shù)收斂由定義,2.則級(jí)數(shù)發(fā)散一般項(xiàng)、部分