第五章 §5.7 第1課時 三角函數(shù)的應(yīng)用(一)-高中數(shù)學人教A版必修一 課件（共47張PPT）

第1課時三角函數(shù)的應(yīng)用(一)第五章

§5.7三角函數(shù)的應(yīng)用1.了解生活中具有周而復始、循環(huán)往復特點的現(xiàn)象.2.通過構(gòu)建三角函數(shù)模型，嘗試解決物理中的簡單問題.(重點)學習目標導語現(xiàn)實世界中，許多事物的運動、變化呈現(xiàn)出一定的周期性，例如，如圖是交變電流產(chǎn)生的示意圖.線圈在勻強磁場中按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生交變電流(電刷及回路等部分省略)，當線圈處于如圖所示的位置時，線圈中的感應(yīng)電流y達到最大值A(chǔ)；導語當線圈由此位置逆時針旋轉(zhuǎn)90°后到達與此平面垂直的位置時，線圈中的感應(yīng)電流y為0；當線圈繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后再次到達水平位置時，線圈中的感應(yīng)電流y達到反向最大值－A；當線圈繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后再次到達垂直位置時，線圈中的感應(yīng)電流y又一次為0；當線圈繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后再次到達圖示位置時，線圈中的感應(yīng)電流y又一次達到最大值A(chǔ).這樣周而復始，形成周期變化.導語再例如，地球的自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化；海水在月球和太陽引力下發(fā)生的漲落現(xiàn)象；做簡諧運動的物體的位移變化；人體在一天中血壓、血糖濃度的變化等等，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么它可以借助三角函數(shù)來描述，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相應(yīng)的實際問題，今天，我們就一起來探究如何構(gòu)建三角函數(shù)模型解決實際問題.一、簡諧運動二、三角函數(shù)“擬合”模型的應(yīng)用三、三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用隨堂演練內(nèi)容索引簡諧運動

一問題1現(xiàn)實生活中存在大量周而復始、循環(huán)往復特點的周期運動的變化現(xiàn)象，你能舉出哪些例子？提示彈簧振子的運動、鐘擺的擺動、水中浮標的上下浮動、琴弦的振動、日出日落、潮漲潮落、一天溫度的變化、一天人員流動的變化等等.很顯然，三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)可以更好地“擬合”這種周期性的變化.問題2

某個彈簧振子(簡稱振子)在完成一次全振動的過程中，時間t(單位：s)與位移y(單位：mm)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示.試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個振子的位移關(guān)于時間的函數(shù)解析式.t0.000.050.100.150.200.250.30y－20.0－17.8－10.10.110.317.720.0t0.350.400.450.500.550.60y17.710.30.1－10.1－17.8－20.0提示振子的振動具有循環(huán)往復的特點，由振子振動的物理學原理可知，其位移y隨時間t的變化規(guī)律可以用函數(shù)y＝Asin(ωt＋φ)來刻畫.根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點圖，如圖所示.1.在物理學中，把物體受到的力(總是指向平衡位置)正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”.簡諧運動可以用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.2.A就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；知識梳理ωx＋φ稱為相位；x＝0時的相位φ稱為初相.注意點：

如圖是某簡諧運動的圖象.試根據(jù)圖象回答下列問題.(1)寫出這個簡諧運動的振幅、周期與頻率；例1(2)從O點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復運動？如果從A點算起呢？如果從O點算起，到曲線上D點，表示完成了一次往復運動；如果從A點算起，到曲線上E點，表示完成了一次往復運動.(3)寫出這個簡諧運動的函數(shù)解析式.若y＝Asin(ωx＋φ)是一個簡諧運動的解析式，則A>0，ω>0，若A，ω不滿足條件，則先利用誘導公式變形，再根據(jù)概念求值.反思感悟

彈簧振子的振幅為2cm，在6s內(nèi)振子通過的路程是32cm，由此可知該振子振動的A.頻率為1.5Hz B.周期為1.5sC.周期為6s D.頻率為6Hz√跟蹤訓練1三角函數(shù)“擬合”模型的應(yīng)用

二

下表所示的是某地2002～2022年的月平均氣溫(華氏度)：例2月份123456平均氣溫21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均氣溫73.071.964.753.539.827.7以月份為x軸，x＝月份－1，平均氣溫為y軸建立平面直角坐標系.(1)描出散點圖，并用正弦曲線去擬合這些數(shù)據(jù)；根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖，并用曲線擬合這些數(shù)據(jù)，如圖所示.(2)這個函數(shù)的周期是多少？(3)估計這個正弦曲線的振幅A；2A＝最高氣溫－最低氣溫＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.(4)下面四個函數(shù)模型中哪一個最適合這些數(shù)據(jù)？∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，∴②不適合，同理④不適合，∴③最適合.處理曲線擬合與預測問題時，通常需要以下幾個步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪出散點圖.(2)通過觀察散點圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.(3)根據(jù)所學函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)解析式.(4)利用函數(shù)解析式，根據(jù)條件對所給問題進行預測和控制，以便為決策和管理提供依據(jù).反思感悟

平潭國際“花式風箏沖浪”集訓隊，在平潭龍鳳頭海濱浴場進行集訓，海濱區(qū)域的某個觀測點觀測到該處水深y(單位：米)隨著一天的時間t(0≤t≤24，單位：小時)呈周期性變化，某天各時刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如下表：跟蹤訓練2t03691215182124y1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖.觀察散點圖，從①y＝Asin(ωt＋φ);②y＝Acos(ωt＋φ)＋b；③y＝－Asinωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖所示.依題意，選②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作為函數(shù)模型，又∵函數(shù)圖象過點(3,2.4)，(2)為保證隊員安全，規(guī)定在一天中5～18時且水深不低于1.05米的時候進行訓練，根據(jù)(1)中選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全？∴12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，又∵5≤t≤18，∴5≤t≤7或11≤t≤18，∴這一天安排早上5點至7點以及11點至18點組織訓練，能確保集訓隊員的安全.三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用

三

如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在t(單位：s)時相對于平衡位置(靜止時的位置)的高度h(單位：cm)由關(guān)系式h＝Asin確定，其中A>0，ω>0，t∈[0，＋∞).在一次振動中，小球從最高點運動至最低點所用時間為1s.且最高點與最低點間的距離為10cm.例3(1)求小球相對于平衡位置的高度h和時間t之間的函數(shù)關(guān)系；因為在一次振動中，小球從最高點運動至最低點所用時間為1s，所以周期為2，(2)小球在t0s內(nèi)(包含t0)經(jīng)過最高點的次數(shù)恰為50次，求t0的取值范圍.以后每隔一個周期都出現(xiàn)一次最高點，因為小球在t0s內(nèi)經(jīng)過最高點的次數(shù)恰為50次，反思感悟處理物理學問題的策略(1)常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性.(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應(yīng)的三角函數(shù)知識結(jié)合解題.

已知電流I與時間t的關(guān)系為I＝Asin(ωt＋φ).(1)如圖所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；跟蹤訓練3由題圖可知A＝300，(2)如果t在任意一段

的時間內(nèi)，電流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？∴ω≥300π>942，又ω∈N*，故ω的最小正整數(shù)值為943.課堂小結(jié)1.知識清單：(1)簡諧運動.(2)函數(shù)的“擬合”.(3)三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用.2.方法歸納：數(shù)學建模、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：選擇三角函數(shù)模型時，最后結(jié)果忘記回歸實際問題.隨堂演練

√123412342.如圖，A是輪子外邊沿上的一點，輪子半徑為0.3m.若輪子從圖中位置向右無滑動滾動，則當滾動的水平距離為2.2m時，下列描述正確的是(參考數(shù)據(jù)：7π≈21.991)A.點A在輪子的左下位置，距離地面約0.15mB.點A在輪子的右下位置，距離地面約0.15mC.點A在輪子的左下位置，距離地面約0.26mD.點A在輪子的右下位置，距離地面約0.04m√123