《函數(shù)的單調(diào)性》第2課時(shí)示范課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊(cè)】

第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)《3.1.2函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．掌握判斷和證明某些函數(shù)的增減性的方法．2．會(huì)借助函數(shù)的單調(diào)性求最值3．會(huì)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)或解參數(shù)不等式教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：判斷和證明某些函數(shù)的增減性的方法．教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明．課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、整體概覽問(wèn)題1：閱讀課本第97~102，回答下列問(wèn)題：（1）本節(jié)將要研究哪類問(wèn)題？（2）本節(jié)研究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問(wèn)題閱讀課本，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中回答問(wèn)題預(yù)設(shè)的答案：（1）本節(jié)將要進(jìn)一步研究函數(shù)的單調(diào)性．（2）起點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷函數(shù)的單調(diào)性以及證明函數(shù)的單調(diào)性．由于函數(shù)的單調(diào)性與最值是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)銜接的樞紐，所以在本學(xué)科有不可替代的重要位置的地位，是本學(xué)科的核心內(nèi)容．教學(xué)的重點(diǎn)是掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，理解單調(diào)區(qū)間以及理解函數(shù)最大（小）值的定義并掌握其求法．目標(biāo)是進(jìn)一步理解函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)用平均變化率證明函數(shù)的單調(diào)性以及會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大（小）值．重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)閱讀課本，讓學(xué)生明晰本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架．二、探索新知1．復(fù)習(xí)引入師生活動(dòng)：學(xué)生回顧函數(shù)的單調(diào)性和最值的概念，教師補(bǔ)充．函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，且I?D：（1）如果對(duì)任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f（x1）<f（x2），則稱y=f（x）在I上是增函數(shù)（也稱在I上單調(diào)遞增）；（2）如果對(duì)任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f（x1）>f（x2），則稱y=f（x）在I上是減函數(shù)（也稱在I上單調(diào)遞減）．兩種情況下，都稱函數(shù)在I上具有單調(diào)性（當(dāng)I為區(qū)間時(shí)，稱I為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也可分別稱為單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間）．函數(shù)的最值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，且x0∈D：如果對(duì)任意x∈D，都有f（x）≤f（x0），則稱f（x）的最大值為f（x0），而x0稱為f（x）的最大值點(diǎn)；如果對(duì)任意x∈D，都有f（x）≥f（x0），則稱f（x）的最小值為f（x0），而x0稱為f（x）的最小值點(diǎn)．最大值和最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)統(tǒng)稱為最值點(diǎn)．設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，便于更好地進(jìn)入本節(jié)課的內(nèi)容學(xué)習(xí)．2．探究新知知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的平均變化率我們已經(jīng)知道，兩點(diǎn)確定一條直線，在平面直角坐標(biāo)系中，這一結(jié)論當(dāng)然也成立．一般地，給定平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱為直線AB的斜率；當(dāng)x1=x2時(shí)，稱直線AB的斜率不存在．直線AB的斜率反映了直線相對(duì)于x軸的傾斜程度．若記Δx=x2一x1，相應(yīng)的Δy=y2－y1，則當(dāng)Δx≠0時(shí)，斜率可記為斜率的幾何意義的理解：如下圖所示，若Δx=x2一x1表示線段AC的長(zhǎng)度，相應(yīng)的Δy=y2－y1表示線段BC的長(zhǎng)度，直線AB的斜率即為Rt△ACB中BC與AC的比．因此，對(duì)于直線AB來(lái)說(shuō)，斜率大于零；如果設(shè)D（x3，y3），則可以看出，，所以直線AD的斜率小于零．強(qiáng)調(diào)：（1）直線的斜率與直線上兩點(diǎn)的順序列無(wú)關(guān)，即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在定義中的前后次序可以同時(shí)顛倒；（2）不與x軸垂直的直線，斜率要么為正，要么為負(fù)；（3）與x軸垂直的直線的斜率不存在．（4）用斜率可證三點(diǎn)共線：不難看出，平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)共線，當(dāng)且僅當(dāng)其中任意兩點(diǎn)確定的直線的斜率都相等或都不存在．下面我們用直線的斜率來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性．（5）由函數(shù)的定義可知，任何一個(gè)函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，它們所確定的直線的斜率一定存在．設(shè)計(jì)意圖：引入平均變化率，一是為了借助平均變化率來(lái)理解和證明函數(shù)的單調(diào)性，二是為后面比較函數(shù)值變化的快慢引入一個(gè)得力工具，三是為選擇性必修中的函數(shù)導(dǎo)數(shù)打下基礎(chǔ)．【嘗試與發(fā)現(xiàn)】如圖所示，觀察函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，并總結(jié)出一般規(guī)律．師生活動(dòng)：學(xué)生討論，教師與學(xué)生一起總結(jié)．教師總結(jié)：函數(shù)遞增的充要條件是其圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0，函數(shù)遞減的充要條件是其圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率都小于0．一般地，若I是函數(shù)y=f（x）的定義域的子集，對(duì)任意x1，x2∈I且x1≠x2，記y1=f（x1），y2=f（x2），（即），則：（1）y=f（x）在I上是增函數(shù)的充要條件是在I上恒成立；（2）y=f（x）在I上是減函數(shù)的充要條件是在I上恒成立．一般地，當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱為函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[x1，x2]（x1<x2時(shí)）或[x2，x1]（x1>x2時(shí)）上的平均變化率．說(shuō)明：利用上述結(jié)論，可以證明函數(shù)的單調(diào)性．【做一做】利用上述結(jié)論，證明此函數(shù)y=－2x在R上是減函數(shù)．師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試完成．預(yù)設(shè)的答案：對(duì)于函數(shù)y=－2x來(lái)說(shuō)，對(duì)任意x1，x2∈R且x1≠x2，有．因此y=－2x在R上是減函數(shù)．★資源名稱：【數(shù)學(xué)探究】分段函數(shù)的單調(diào)性1★使用說(shuō)明：本資源通過(guò)操作展示動(dòng)畫，使學(xué)生觀察認(rèn)識(shí)理解分段函數(shù)的單調(diào)性．通過(guò)交互式動(dòng)畫的方式，運(yùn)用了本資源，可以吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加教學(xué)效果，提高教學(xué)效率．注：此圖片為動(dòng)畫縮略圖，如需使用資源，請(qǐng)于資源庫(kù)調(diào)用三、初步應(yīng)用例1求證：函數(shù)在區(qū)間（－∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)師生活動(dòng)：學(xué)生自主完成，教師巡視．預(yù)設(shè)的答案：證明：設(shè)x1≠x2，那么．如果x1，x2∈（－∞，0），則x1x2>0，此時(shí)，所以函數(shù)在（－∞，0）上是減函數(shù)．同理，函數(shù)在（0，+∞）也是減函數(shù)設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會(huì)用平均變化率證明反比例函數(shù)的單調(diào)性．例2判斷一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的單調(diào)性．★資源名稱：【數(shù)學(xué)探究】探究一次函數(shù)的性質(zhì)★使用說(shuō)明：本資源通過(guò)操作展示動(dòng)畫，使學(xué)生觀察認(rèn)識(shí)理解一次函數(shù)的單調(diào)性．通過(guò)交互式動(dòng)畫的方式，運(yùn)用了本資源，可以吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加教學(xué)效果，提高教學(xué)效率．注：此圖片為動(dòng)畫縮略圖，如需使用資源，請(qǐng)于資源庫(kù)調(diào)用．預(yù)設(shè)的答案：解：設(shè)x1≠x2，那么．因此，一次函數(shù)的單調(diào)性取決于k的符號(hào)：當(dāng)k>0時(shí)，一次函數(shù)在R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，一次函數(shù)在R上是減函數(shù)．說(shuō)明：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像上任意兩點(diǎn)確定的直線斜率均為k，這實(shí)際上也說(shuō)明了一次函數(shù)的圖像一定是直線，不僅如此，此時(shí)從還可以看出，Δy=kΔx，這就意味著在一次函數(shù)中，Δy與Δx成正比，且比例系數(shù)為k．特別地，當(dāng)自變量每增大一個(gè)單位時(shí)，因變量增大k個(gè)單位，而且可以證明，只有一次函數(shù)才具有這個(gè)性質(zhì)．事實(shí)上，如果Δy=kΔx，設(shè)x=0時(shí)函數(shù)值為y0，則y－y0=k（x－0）．即y=kx+y0，因此一定是一次函數(shù)．正因?yàn)槿绱?，一次函?shù)也經(jīng)常被稱為線性函數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)用平均變化率證明一次函數(shù)的單調(diào)性．【實(shí)際應(yīng)用】如果向給定的容器中倒水，且任意相等的時(shí)間間隔內(nèi)所倒的水體積相等，那么容器內(nèi)水面的高度y是時(shí)間t的函數(shù)．當(dāng)容器是下圖（1）所示的圓柱時(shí)，在固定的Δt時(shí)間內(nèi)，Δy應(yīng)該是常數(shù)，因此函數(shù)的圖像是如下圖（2）所示的一條線段．當(dāng)容器是如下圖（1）所示圓臺(tái)時(shí)，由容器的形狀可知，在固定的Δt時(shí)間內(nèi)，隨著t的增加，Δy應(yīng)該越大，因此函數(shù)的圖像如圖（2）所示．設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又可以解決生活中的問(wèn)題！例3證明函數(shù)f（x）=x2+2x在（－∞，－1]上是減函數(shù)，在[－1，+∞）上是增函數(shù)，并求這個(gè)函數(shù)的最值．師生活動(dòng)：與學(xué)生一起分析，教師書寫規(guī)范解答（邊寫邊讓學(xué)生回答）．預(yù)設(shè)的答案：解：設(shè)，則因此：當(dāng)時(shí)，有，從而，因此f（x）在（－∞，－1]上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，有，從而，因此f（x）在[－1，+∞）上是增函數(shù)．由函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)沒(méi)有最大值；而且，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，不等式也成立，因此f（－1）=－1是函數(shù)的最小值用類似的方法證明，二次函數(shù)的單調(diào)性為：（1）當(dāng)a>0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)沒(méi)有最大值，但有最小值；（2）當(dāng)a<0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)沒(méi)有最小值，但有最大值．說(shuō)明：這一結(jié)論也可以從二次函數(shù)的圖像是關(guān)于對(duì)稱的拋物線與開口方向看出來(lái)．設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)用平均變化率來(lái)證明函數(shù)的單調(diào)性．練習(xí)：教科書P102練習(xí)A5、6補(bǔ)：求函數(shù)f（x）=－2x2+3x+c（c為常數(shù)）的單調(diào)性．參考答案：顯然函數(shù)的定義域?yàn)镽，則設(shè)是函數(shù)定義域上任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有，注意到應(yīng)該是同一個(gè)集合中的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，必定有，即f（x）在上是增函數(shù)．類似地，可得f（x）在上是減函數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步練習(xí)用平均變化率來(lái)求函數(shù)的單調(diào)性．強(qiáng)調(diào)：二次函數(shù)的單調(diào)性與c的值沒(méi)有關(guān)系，研究函數(shù)的單調(diào)性．四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)1．板書設(shè)計(jì)：3.1.2函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)的平均變化率2．利用函數(shù)的平均變化率求或證明函數(shù)的單調(diào)性3．利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值例1例2例32．總結(jié)概括：回顧本節(jié)課，你有什么收獲？（1）什么函數(shù)的平均變化率？（2）如何利用函數(shù)的平均變化率求或證明函數(shù)的單調(diào)性？（3）如何利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值？師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充．作業(yè)：教科書P103練習(xí)B6、7、8【拓展閱讀1】物理中的變化率我們?cè)谖锢碇幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)：變化率是描述變化快慢的量例如，速度是用來(lái)衡量物體運(yùn)動(dòng)快慢的，速度等于位移的變化量與發(fā)生這一變化所用時(shí)間的比值，即加速度是用來(lái)衡量速度交化快慢的，加速度等于速度的變化量與發(fā)生這一變化所用時(shí)間的比值，即而且，從物理中我們還知道，由物體的速度一時(shí)間圖像，可看出加速度的有關(guān)信息．如圖所示，如果甲、乙兩物體的速度一時(shí)間圖像都是直線，則由圖中的信息可以看出，Δt相等時(shí)，Δv甲>Δv乙，從而甲的速度變化更快，即變化率更大，因此甲的加速度更大．你注意到了嗎？物理中的這個(gè)變化率與我們所說(shuō)的函數(shù)的平均變化率其實(shí)是一回事．【拓展閱讀2】付出與收獲的關(guān)系俗話說(shuō)，“一分耕耘一分收獲”，那么，在實(shí)際生活中，如果把收獲看成付出的函數(shù)，它們之間的關(guān)系可以怎樣描述呢？如果同樣多的付出所得到的收獲總是相等，那么收獲是付出的線性函數(shù)，其圖像可以用圖1表示．例如，當(dāng)以勻速的方式駕駛汽車時(shí)，行駛的里程與所用的時(shí)間之間的關(guān)系就是如此．如果隨著付出的增長(zhǎng)，同樣多的付出所得到的收獲不一定