河北省石家莊市井陘縣第二中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

河北省石家莊市井陘縣第二中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}參考答案：C【考點】分段函數(shù)的應用；根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】利用函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)對數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出a的大致范圍，再根據(jù)f（x）為減函數(shù)，得到不等式組，利用函數(shù)的圖象，方程的解的個數(shù)，推出a的范圍．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）遞減，則0＜a＜1，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，則：；解得，；由圖象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且僅有一個解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同樣有且僅有一個解，當3a＞2即a＞時，聯(lián)立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，則△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），當1≤3a≤2時，由圖象可知，符合條件，綜上：a的取值范圍為[，]∪{}，故選：C．2.已知集合,下列結論成立的是（

）A．

B．

C． D．參考答案：D略3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝1，c＝4，B＝45°，則sinC等于()參考答案：B4.

下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)；

B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)是非奇非偶函數(shù)

D．函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)參考答案：C5.已知集合則實數(shù)等于

（A）

（B）或

（C）或

（D）參考答案：D6.已知的展開式中常數(shù)項為，則常數(shù)=

（

）（A）

（B）

（C）1

（D）;參考答案：C略7.已知函數(shù)，則方程的實根個數(shù)不可能為（

）A．個

B．個 C．個

D．個 參考答案：D.考點：1.函數(shù)與方程；2.分類討論的數(shù)學思想.【方法點睛】運用函數(shù)圖象結合數(shù)形結合思想求解問題的類型：1.對一些可通過平移、對稱變換作出其圖像的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結合思想；2.一些函數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結合法求解．8.設集合，則＝（

）A．

B．

C．

D．R參考答案：B9.若點滿足線性約束條件的最大值為A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：D10.已知向量向量則的最大值、最小值分別是A．，0

B．4，

C．16，0

D．4，0參考答案：D，故的最大值為4，最小值為0.故選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.執(zhí)行框圖，會打印出一列數(shù)，這個數(shù)列的第3項是.參考答案：30第一次循環(huán)，;第二次循環(huán)，;第三次循環(huán)，，所以數(shù)列的第三個數(shù)為.12.過點，且與直線垂直的直線方程是.參考答案：直線的斜率為1，所以過點，且與直線垂直的直線的斜率為，所以對應方程為，即。13.某汽車運輸公司，購買了一批豪華大客車投入運營，據(jù)市場分析每輛客車運營前年的總利潤（單位：萬元）與之間的關系為.當每輛客車運營的年平均利潤最大時，的值為

.參考答案：14.已知向量，滿足＝3，＝2，＝5，則在方向上的投影是______。參考答案：15.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M、N分別在線段AB1、BC1上運動（不包括線段端點），且AM=BN.以下結論：①；②若點M、N分別為線段AB1、BC1的中點，則由線MN與AB1確定的平面在正方體ABCD-A1B1C1D1上的截面為等邊三角形；③四面體MBCN的體積的最大值為；④直線D1M與直線A1N的夾角為定值.其中正確的結論為______.（填序號）參考答案：①②③【分析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，可得四邊形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得結論成立；②截面為△AB1C，為等邊三角形，故正確．③設，則＝dM﹣BCN=，故③成立；④設，當接近于0時，直線與直線的夾角接近于，當接近于1時，夾角接近于，故④不正確；【詳解】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，∵AM＝BN，∴NE＝MF，∴四邊形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF?面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正確；②點M、N分別為線段AB1、BC1的中點，則由線MN與AB1確定的平面在正方體ABCD﹣A1B1C1D1上的截面為△AB1C，為等邊三角形，故②正確．③設，則＝dM﹣BCN，又AM=BN=,∴=，dM﹣BCN=，∴＝dM﹣BCN=，當且僅當時取得最大值，故③成立；④設，當接近于0時，直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角，接近于，當接近于1時，直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角，接近于，故④不正確；綜上可知，正確的結論為①②③故答案為：①②③【點睛】本題考查線面平行、垂直，考查點到面的距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．16.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點O.若，則的值是_____.參考答案：

【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值.【詳解】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【點睛】本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取幾何法，利用數(shù)形結合和方程思想解題.17.若實數(shù)滿足：表示的區(qū)域的面積為

的取值范圍是

參考答案：

,三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.生產(chǎn)，兩種元件，其質(zhì)量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為正品，小于82為次品，現(xiàn)隨機抽取這兩種元件各100件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：測試指標元件81240328元件71840296（Ⅰ）試分別估計元件、元件為正品的概率；（Ⅱ）生產(chǎn)一件元件，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元，在（Ⅰ）的前提下（i）求生產(chǎn)5件元件所獲得的利潤不少于300元的概率；

（ii）記為生產(chǎn)1件元件和1件元件所得的總利潤，求隨機變量的分布列和期望．

參考答案：解析：（I）由題可知元件為正品的概率為，元件為正品的概率為………（2分）（II）（i）設生產(chǎn)的5件元件中正品數(shù)為，則有次品件，由題意知,,,解得，設“生產(chǎn)的5件元件所獲得的利潤不少于300元”為事件，則………（6分）

（ii）隨機變量的所有取值為150,90,30，-30則所以隨機變量的分布列為：1509030-30所以，隨機變量的期望為：……（12分）略19.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足acosB=bcosA． （1）判斷△ABC的形狀； （2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范圍． 參考答案：【考點】正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應用；余弦定理． 【分析】（1）由已知等式結合正弦定理化邊為角，再由兩角差的余弦求得sin（A﹣B）=0，可得A=B，則△ABC為等腰三角形； （2）把sin（2A+）﹣2cos2B利用兩角和的正弦及降冪公式化簡，得到關于A的三角函數(shù)，再由A的范圍求得答案． 【解答】解：（1）由acosB=bcosA，結合正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB， 即sinAcosB﹣cosAsinB=0，得sin（A﹣B）=0， ∵A，B∈（0，π）， ∴A﹣B∈（﹣π，π），則A﹣B=0， ∴A=B，即△ABC為等腰三角形； （2）sin（2A+）﹣2cos2B=sin2Acos+cos2Asin﹣2cos2B =﹣（1+cos2B）=﹣cos2A﹣1 ==． ∵0，∴， 則． 即sin（2A+）﹣2cos2B的取值范圍是． 【點評】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查了正弦定理和余弦定理在求解三角形中的應用，是中檔題． 20.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）當AB⊥x軸時，．（2）當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根與系數(shù)的關系進行求解．【解答】解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，依題意∴b=1，∴所求橢圓方程為．（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）當AB⊥x軸時，．（2）當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．當且僅當，即時等號成立．當k=0時，，綜上所述|AB|max=2．∴當|AB|最大時，△AOB面積取最大值．【點評】本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應用，解題時要注意公式的靈活運用，認真審題，仔細解答．21.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【專題】計算題；分類討論；綜合法；導數(shù)的綜合應用．【分析】（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x2﹣lnx，，由此利用導數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．（Ⅱ）f（x）=ax2﹣lnx，a∈R的定義域為（0，+∞），=，根據(jù)a≤0，a＞，0＜a≤分類討論，能求出存在a=，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為．【解答】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x2﹣lnx，f（1）=1，，f′（1）=1，∴函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x﹣y=0．（Ⅱ）∵f（x）=ax2﹣lnx，a∈R，∴此函數(shù)的定義域為（0，+∞），=，當a≤0時，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是減函數(shù)，∴當x=e時，f（x）取得最小值f（e）=ae2﹣1=，解得a=＞0與a≤0矛盾；當a＞0時，令f′（x）=0，得，，在（0，）上，f′（x）＜0，在（，+∞）上，f′（x）＞0，∴當＜e，即a＞時，函數(shù)f（x）在（0，）上是減函數(shù)，在（，e）上是增函數(shù)，∴當x=時，f（x）取得最小值，令=，得a=，符合題意．當≥e，即0＜a≤時，函數(shù)f（x）在（0，e]是減函數(shù)，∴當x=e時，f（x）取得最小值，即ae2﹣1=，解得a=與0＜a≤矛盾．綜上，存在a=，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為．【點評】本題考查切線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)為偶函數(shù).(Ⅰ)求的值;(