2021年湖南省益陽(yáng)市桃江縣第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2021年湖南省益陽(yáng)市桃江縣第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.命題“?x2＞1，x＞1”的否定是（）A．?x2＞1，x≤1 B．?x2≤1，x≤1 C．?x2＞1，x≤1 D．?x2≤1，x≤1參考答案：C【考點(diǎn)】全稱命題；命題的否定．

【專題】規(guī)律型．【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷．【解答】解：全稱命題的否定是特稱命題，∴命題“?x2＞1，x＞1”的否定是：?x2＞1，x≤1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．進(jìn)比較基礎(chǔ)．2.函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)可能在下列哪個(gè)區(qū)間(A)（-3，-2）

(B)（-2，-1）

(C)（-1，0）

(D)（0，1）參考答案：C3.某考察團(tuán)對(duì)全國(guó)10大城市進(jìn)行職工人均工資水平x（千元）與居民人均消費(fèi)水平y(tǒng)（千元）統(tǒng)計(jì)調(diào)查，y與x具有相關(guān)關(guān)系，回歸方程＝0.66x+1.562，若某城市居民人均消費(fèi)水平為7.675（千元），估計(jì)該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為（

）

A.83%

B.72%

C.67%

D.66%參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】變量相關(guān)因?yàn)?/p>

所以，

故答案為：A4.“函數(shù)存在零點(diǎn)”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C.充要條件

D．既不充分不用必要條件參考答案：B,所以若函數(shù)存在零點(diǎn),則,因此“函數(shù)存在零點(diǎn)”是“”的必要不充分條件,選B.5.過平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)P作圓O：x2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，記∠APB=α，則當(dāng)α最小時(shí)cosα的值為(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求確定當(dāng)α最小時(shí)，P的位置，利用余弦函數(shù)的倍角公式，即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，要使α最小，則P到圓心的距離最大即可，由圖象可知當(dāng)P位于點(diǎn)D時(shí)，∠APB=α最小，由，解得，即D（﹣4，﹣2），此時(shí)|OD|=，|OA|=1，則，即sin=，此時(shí)cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握兩角和的倍角公式．6.已知函數(shù)，則（

）（A）在時(shí)取得最小值，其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱（B）在時(shí)取得最小值，其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱（C）在單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱（D）在單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱參考答案：D略7.如果復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為(

)A.1

B.2

C.1或2

D.不存在參考答案：B8.設(shè)定義在R上的函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng).則方程上的根的個(gè)數(shù)為A.2 B.5 C.8 D.4參考答案：D略9.各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則的值為A.

B.

C.

D.

參考答案：B因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，所以，解得或（舍去）。所以，選B.10.的展開式中，的系數(shù)為（

）A．－3

B．－2

C．1

D．4參考答案：B的通項(xiàng)為：的展開式中，的系數(shù)為故選：B

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

曲線y=x3在點(diǎn)（1，1）切線方程為___________________．參考答案：12.設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M+N=16，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

.參考答案：略13.設(shè)向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0＜α＜β＜π，若|2a＋b|＝|a－2b|，則β－α＝__________．參考答案：略14.執(zhí)行如圖所示的程序庫(kù)框圖，輸出的S是

.參考答案：-615.若函數(shù)f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（1，2]【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】當(dāng)x≤2時(shí)，滿足f（x）≥4．當(dāng)x＞2時(shí)，由f（x）=3+logax≥4，即logax≥1，故有l(wèi)oga2≥1，由此求得a的范圍．【解答】解：由于函數(shù)f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故當(dāng)x≤2時(shí)，滿足f（x）≥4．當(dāng)x＞2時(shí)，由f（x）=3+logax≥4，∴l(xiāng)ogax≥1，∴l(xiāng)oga2≥1，∴1＜a≤2，故答案為：（1，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．16.已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為

▲

．參考答案：417.100名學(xué)生某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，則測(cè)試成績(jī)落在中的學(xué)生人數(shù)是_________．參考答案：50

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D是棱AB的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若平面是棱BB1的中點(diǎn)，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求線段DC的長(zhǎng)度.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn),證明，即可證明結(jié)論；（2）證明面，以為原點(diǎn)，過作的垂線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)得長(zhǎng)度為，求平面與平面的法向量，得二面角的余弦值求即可【詳解】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)連結(jié)，而是中點(diǎn)，則因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?/p>

（2）因?yàn)槠矫?，所以又是棱的中點(diǎn)，∴所以面以為原點(diǎn)，過作的垂線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)得長(zhǎng)度為，則所以分別設(shè)平面與平面的法向量為由解得，同理可得由，解得所以線段的長(zhǎng)度為【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，空間向量求二面角，熟記定理，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題19.定義在R上的函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（Ⅱ）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：解:：⑴∵,當(dāng)時(shí)，∵∴所求切線方程為⑵令∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；要使恒成立，即.由上知的最大值在或取得.而∴實(shí)數(shù)m的取值范圍略20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其中．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記，設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn．求最小的正整數(shù)n，使得．參考答案：解：（1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意有

…………3分解得，從而的通項(xiàng)公式為；

…………6分(2)因?yàn)?，所?/p>

．

…………9分令，解得，故?。?/p>

…………12分

21.已知函數(shù)f（x）=aexx﹣2aex﹣x2+x．（1）求函數(shù)f（x）在（2，f（2））處切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x﹣1）（aex﹣1），對(duì)a討論，分a≤0時(shí)，a=時(shí)，a＞時(shí)，0＜a＜時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0可得減區(qū)間．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=aexx﹣2aex﹣x2+x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a（ex+xex）﹣2aex﹣x+1=（x﹣1）（aex﹣1），可得f（x）在（2，f（2））處切線斜率為ae2﹣1，切點(diǎn)為（2，0），即有切線的方程為y﹣0=（ae2﹣1）（x﹣2），即為y=（ae2﹣1）（x﹣2）；（2）由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x﹣1）（aex﹣1），①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=﹣（x﹣1），當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；②當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；③當(dāng)a＞0時(shí)，若a=，則f′（x）=（x﹣1）（ex﹣1﹣1），f（x）在R上遞增；若a＞，則f′（x）＞0即為（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＞1或x＜ln；f′（x）＜0即為（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得ln＜x＜1；若0＜a＜，則f′（x）＞0即為（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＜1或x＞ln；f′（x）＜0即為（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得1＜x＜ln．綜上可得，a≤0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，1），減區(qū)間為（1，+∞）；a=時(shí)，f（x）的增區(qū)間為R；a＞時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），（﹣∞，ln），減區(qū)間為（ln，1）；0＜a＜時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（ln，+∞），（﹣∞，1），減區(qū)間為（1，ln）．22.如圖所示的多面體中，底面，四邊形為正方形，．（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積為4時(shí)，求多面體的表面積．參考答案：(1)詳見解析；（2）.試題