近5年高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案解析(含2017-2021年全國(guó)卷共16套)

打開(kāi)標(biāo)簽，直接進(jìn)入目錄.5年高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案解析（2017年）說(shuō)明：含有2017年至2021年的全國(guó)卷共16套高考理科數(shù)學(xué)（含分文理科的新高考 1、2卷）試題以及答案解析（客觀題也有答案詳解）打開(kāi)導(dǎo)航窗口（書(shū)簽），可以直接找到各個(gè)題目.第打開(kāi)導(dǎo)航窗口（書(shū)簽），可以直接找到各個(gè)題目.第2頁(yè)共336頁(yè)打開(kāi)標(biāo)簽，直接進(jìn)入目錄.目 錄2021年理科數(shù)學(xué)（甲卷）答案詳解 42021年理科數(shù)學(xué)（甲卷） 試題 242021年理科數(shù)學(xué)（乙卷）答案詳解 312021年理科數(shù)學(xué)（乙卷）試題 482021年數(shù)學(xué)（新高考 I卷）答案詳解 532021年數(shù)學(xué)（新高考 I卷）試題 722021年數(shù)學(xué)（新高考卷）答案詳解 772021年數(shù)學(xué)（新高考卷）試題 962020年理科數(shù)學(xué)（I卷）答案詳解 1012020年理科數(shù)學(xué)（I卷）試題 1192020年理科數(shù)學(xué)（II卷）答案詳解 1292020年理科數(shù)學(xué)（II卷）試題 1462020年理科數(shù)學(xué)（3卷）答案詳解 1562020年理科數(shù)學(xué)（3卷）試題 1722019年理科數(shù)學(xué)（I卷）答案詳解 1822019年理科數(shù)學(xué)（I卷）試題 1962019年理科數(shù)學(xué)（II卷）答案詳解 2012019年理科數(shù)學(xué)（II卷）試題 2132019年理科數(shù)學(xué)（3卷）答案詳解 2172019年理科數(shù)學(xué)（3卷）試題 2312018年理科數(shù)學(xué)1卷答案詳解 2372018年理科數(shù)學(xué)1卷 2502018年理科數(shù)學(xué)2卷 答案詳解 2542018年理科數(shù)學(xué)2卷 2672018年理科數(shù)學(xué)3卷 答案詳解 271打開(kāi)標(biāo)簽，直接進(jìn)入目錄.2018年理科數(shù)學(xué)3卷 2862017年理科數(shù)學(xué)1卷答案詳解 2912017年理科數(shù)學(xué)2卷答案詳解 3072017年理科數(shù)學(xué)3卷答案詳解 321第第10頁(yè)共336頁(yè)2021年理科數(shù)學(xué)（甲卷）答案詳解（精編版）適用地區(qū)：四川、云南、貴州、廣西、西藏。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（集合）設(shè)集合M

x0 x

4,N x13

x 5 ，則M Nx

x 1 3

x1 x 43

x4 x 5

x0 x 5【答案】BA1

M N x13

x 4 .圖A12．（概率統(tǒng)計(jì)）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于 4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為 6%該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于 10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為 10%估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò) 6.5萬(wàn)元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于 4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之【答案】C【解析】A．家庭年收入低于 4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為 0.02＋0.04＝0.06＝6%，正確；B．家庭年收入不低于 5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為 2 ＝1＝%，正確；C．家庭年收入的平均值為： 2 2＋3＋)＋4 )＋0 ＋)＋4 0 )＝，不正確；D．家庭年收入介于 4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的農(nóng)戶(hù)比率為 0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.64，正確.（復(fù)數(shù)）(1

2i)z

3 2iz

3i B．

3i C．

i D． 3 i2【答案】B

2 2 2【解析】z

3 2i

3

3i 2

1 3i.(1 i)2 2i 2 24．（函數(shù)）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù) L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù) V的滿足L 5 lgV．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為 則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（ 1010 1.259）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【解析】依題意，4.9 5 lgV，解得V

0.110

1 1100.1 1010

0.8.（解析幾何）已知

F1、F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且

60

，

3，則C的離心率為7 13B．2 2

C．7 D．13【答案】A

，r2

PF2

r2

3a，r2 a，由余弦定理可得：

2 1 2 12 1 1 2 12 1

2r 2r

cos

FPF，化簡(jiǎn)整理得：4c2

27a，2所以e2

22c 7，即e 7.2a 4 2（立體幾何）在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為 EFG該正方體截去三棱錐 A EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是【答案】D【解析】根據(jù)正視圖，畫(huà)出幾何體的立體直觀圖，如圖 A6所示，故側(cè)視圖為選項(xiàng) D.圖A6（簡(jiǎn)單邏輯）等比數(shù)列

an 的公比為qn

Sn，設(shè)甲：q

0，乙：

是遞增數(shù)列，則甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條【答案】B【解析】①先看甲 乙是否成立：若a 0，

0

a aqn

0

S 是遞減數(shù)列，故甲 乙不成立，1 n 1 n簡(jiǎn)單舉例也可以：如

1，

1

1，

n，

是遞減數(shù)列；②再看乙 甲是否成立：若

是遞增數(shù)列，則有

Sn1

Sn，∴a S S 0，即a aqn

0恒成立，n1 n1 n n1 1∴0，q 0，故乙 甲成立.綜上所述，甲是乙的必要條件但不是充分條件 .（三角函數(shù)）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為 8848.86（單位：三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．右圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有 A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影

ABC

ACB

45，ABC 60．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15BB與CC的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45，則A，C兩點(diǎn)到水平面ABC的高度差A(yù)A CC約為（3 1.732）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】如圖A8CMCBM，過(guò)點(diǎn)BBNAABM＝BCM＝ABN＝CAB＝而題目所求的高度差 AA CC則為AN BM，BM已知，求得AN即可.tANBABN＝AN＝BNBN即可.RtBCM

BMtan15

圖A8，而CB

BM ，tan15′

AB CB A

CBsin

BMsin45

BMsin45，而B(niǎo)N A

BMsinsin15

sin45 sin75，

sin75 tan15cos15 sin15∵sin15 sin45 30 sin45cos30 cos45sin30sin45cos30 sin45sin30 sin45 cos30 sin30 ，∴BN BM 100 200 273，cos30 sin30 3 1 3 12 2∴AN BN 273，∴高度差A(yù)A CC約

AN

273 100 373.（三角函數(shù)）若

0,π

,tan2

cos

，則tan2 2 sin15 5 5 15B． C． D．15 5 3 3【答案】A【解析】

tan2

sin2 2sin cos2

cos= ，cos2 1 2sin 2 sin化簡(jiǎn)得：

sin 1，4

15.15（概率統(tǒng)計(jì)）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則 2個(gè)0不相鄰的概率為1 2 2 4B． C． D．3 5 3 5【答案】C【解析】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以分成兩種情況：①先將 4個(gè)1排了，形成五個(gè)空位，任意選兩個(gè)空位，把2個(gè)0放進(jìn)去，這種情況 2個(gè)0不相鄰，

4 2C4C5種排法；②先將41排了，形CC種排法.所以4 5成五個(gè)空位，任意選一個(gè)空位，把 2個(gè)0CC種排法.所以4 5目所求的概率為

4 2C4C54 2 4

10 2.C4C5 C4C5

10 5 311．（立體幾何）已如A，BC是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且

AC BC,AC BC

1，則三棱錐O ABC的體積為2 3 2 3B． C． D．12 12 4 4【答案】A【解析】如圖A11所示，記M為A、B、C所在圓的圓心，則 OM⊥面ABC，在△ABC中，AC BC，AC BC 1，∴M在AB上，且AM 1AB

22AC ，2 2 2在Rt△AOM中，有OM AO

AM2 2，2而CB

BM ，∴

1S

1 1 11 2 2.tan15

OABC 3 ABC 3 2 2 12圖A112（函數(shù)）設(shè)函數(shù)f x的定義域?yàn)镽，f x2

為奇函數(shù)，f x

為偶函數(shù)，當(dāng)x

1,2時(shí)，f(x)

ax b．若f

f 3 6，則f 929 B． 34 2

C．7 D．54 2【答案】D【解析】∵f x

1為奇函數(shù)，∴

f x 1

f x 1 0x

0則有2f

1=0，即f

1 0，又∵f x 2為偶函數(shù)，∴f x

f x

f x 1

f x 1

f x，∴f 3 f 1 0，又∵f

f 3 6，∴

0 6，∴f

f 0 6，∵當(dāng)x

1,2

時(shí)，f

(

2ax b，f(1) a b ∴

a 2，解得 ，f(2) 4a b 6 b 2故f

f 5 f

f 1

f 1 1 f

22 3 2 5．2 2 2 2 2 2 2 2二、填空題：本題共 4小題，每小題 5分，共20分．（函數(shù)）曲線y

2x 1在點(diǎn) 1,3處的切線方程為 ．x 2【答案】y 5x 2【解析】設(shè)

f(x)

y，則f

(x)

2x 2 2x 1 5

，故f

(1) 5，2 2x 2 x 2所以曲線在點(diǎn) 1,3處的切線方程

y 3 5，化簡(jiǎn)整理為x 1

5x 2.（平面向量）已知向量a【答案】 103

3,1,b

1,0,c a

kb．若a c，則k ．【解析】c a

= 3

k,1

，∵a c，∴33 k

11 0，解得k 10.3（解析幾何）已知

x2F1,F2為橢圓C：

y 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，QC上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，216 42且PQ

，則四邊形

2的面積為 ．【答案】8【解析】由橢圓方程可得：a

4，b

2，c

2 3，如圖A15所示，由

PQ

及橢圓對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形

PF1QF2為矩形，圖A15設(shè)

m，

n，則有m n

28，且m

2 n 2c

48，解得mn 8，所以四邊形

2

PF2

mn 8.（三角函數(shù)）已知函數(shù)f x

2cos( x

)的部分圖像如圖所示，則滿足條件f(x) f 7 f(x) f

0的最小正整數(shù) x為 ．4 3【答案】2【解析】由圖可知， f x的最小正周期為 T

4 13ππ 2π2，3 12 3 T由f 13

2cos2

13π

2，解得 π12 12 6∴f

2cos2x π，6∴f 7

f π 2cos2 π

2cos

1，f 4

f π0，4 4 4 6 3 3 3∴ f(1f(x) 0，解得f x 1或f x 0，如圖A16所示，聯(lián)系圖象可知：滿足f

1且離y

4

，無(wú)整數(shù)；滿足f

0且離y軸最近的正數(shù)區(qū)間為 π5π，最小正整數(shù)為x＝2.，3 6，，提示：，

π53 6

3圖A16三、解答題：共 70分．解答應(yīng)寫(xiě)出交字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第 17～21題為必考題，每個(gè)試題生都必須作答．第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共 60分．（概率統(tǒng)計(jì)）（12分）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了 200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少 ?（能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異 ?K

n(ad bc)2(a c d)(a b d2PK2

k 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是 3、3；4 5（2）有.【解析】由表格數(shù)據(jù)得：甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是 150 3；200 4乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是、 120 3；200 5依題意n(ad bc)2K2

400 (15080 50

10.256 6.635，(a b)(c d)(a c)(b d) 200 200 230 270所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異 .（數(shù)列）（12分）已知數(shù)列

an

為

的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列

是等差數(shù)列；③

3a1．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】選取①③作為條件，證明②成立．證明過(guò)程如下 ：設(shè)等差數(shù)列

an 的公差為d，∵

3a1，∴

，解得

2a1，∴S

n(n

d na

21)a ，n 1 1 12

n∴

n ，∴ 1

a1，S1

a1，故數(shù)列

為公差的等差數(shù)列 .選取②③作為條件，證明①成立．證明過(guò)程如下 ：∵數(shù)列

是等差數(shù)列，且

3a1，設(shè)等差數(shù)列

的公差為可知

，

4

2 ，∴d

2

a1，∴

(n

1)d

(n 1)

n ，∴

2na1①，∴Sn1

2n 1 ②，②－①得，

an

1

2n 1③，∴

1

1④，③－④得，

an1

2，故

是等差數(shù)列，公差為

2a1.選取①②作為條件，證明③成立．請(qǐng)同學(xué)們自行證明 .（立體幾何）（12分）已知直三棱柱

ABC

AB

E，F(xiàn)分別為ACCC1的D

BF （證明：BF DE；（

B1D

BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最??？【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（ 12【解析】圖A19a（1）證明：如圖A19a所示，取BC的中點(diǎn)M，連接A1E、B1M、EM，EAC的中點(diǎn)，∴EMAB，∴點(diǎn)A1、B1、M、E共面，故DE 面，∵側(cè)面

A11B為正方形，AB BC，∴B AB BCB1BCC1為正方形，∵在正方形1FMBC

BF ，又∵BF ，M

，

面11ME

面A1B1ME，∴BF 面，∴BF DE.圖A19b（2）∵

BF BF AB

AB，∴AB

面，因此可以建立如圖 A19b所示的空間直角坐標(biāo)系， B為原點(diǎn)，BC為x軸的正方向， BA為y軸的正方z

A(0,

(1,1,0)

(1,1,1)，DBt

D(0,t,2)，0

2，所以ED

(1,t

1,2)，設(shè)平面DFE的法向量為n (x,y,z)，則有nEF x y z 0

，取y

，可得

(1 t,3,

t)，nED

1)y 0

面

，故平面

B1BCC1的法向量可取為m

1BA (0,1,0)，22因此面BB1C1C與面DFE所成的二面角余弦值2

n mn

3 3 ，m n 1

2 2t 1 3 t 22

2t 14當(dāng)t 1時(shí)，2

14最小，則

n

m,n最大，即面

BB1C1C與面DFE所成的二面角正弦值最小.（解析幾何）（12分）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x 1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP OQ．已

2,0

，且 M與l相切．（求C， M的方程；（

A2C

，均與 M相切．判斷直

與 M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）Cy2

2x；M：x 2

y2 1；（2）

與 M相切.【解析】2設(shè)拋物線C2

y 2px，lCQ兩點(diǎn)，不妨設(shè)P位于x

P

，Q1，-2p，OP

，

1，-2p，∵OP OQ

OPOQ

1 2

0，即p 1，2∴拋物線C的方程為y2 x.∵點(diǎn)M

2,0

，且 M與l相切．∴ M的半徑為1，故 M的方程為x 2

y2 1.

A a2,a，A b2,b，A c2,c，1 2 3x a2 b2 a2

y a b

，化簡(jiǎn)為x

(a y ab 0，因直線

與 M相切，所以點(diǎn)M到直

A1A2的距離2 abd1a b2

r 1，化簡(jiǎn)整理，得

a2 1

2ab a2

3 0，因直線

與 M相切，同理可得

a2 1c2

a2

3 0，bc

a2 1x2

a2

3 0的兩個(gè)根，所以有2同理可知，點(diǎn) M到直2

b cA2A3的距離

2a ，a 1

22a 2a a 1②，2 bc②，2d32b c將①帶入②中，得22 a 3 2a2 12d322 1 a2 1

a 14，14，a 2a2 1d3

r，故直線

A2A3與 M相切.（函數(shù)）（12分）

0

1

f(

ax (

0)．a(chǎn)x（當(dāng)a 2時(shí)，求f x的單調(diào)區(qū)間；（若曲線y f x與直線y 1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求 a的取值范圍．【答案】（1）見(jiàn)解析；（a 1且a e.【解析】a

2時(shí)，

f(x)

x2x，則有2xx2xx

In2 x 2 x2x2 x

x2 xIn2f(x)

2 In2 In2 ，2 x x2x 2 2當(dāng)x In2

時(shí)，f

(x) 0，f x單調(diào)遞增；當(dāng)

2In2

時(shí)，f

(x) 0，f x.故f x

2In2

上單調(diào)遞增；在 2 In2

上單調(diào)遞減.曲線y f x與直線y

1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于

f x 1有兩個(gè)不等根，xaf(x) 1

xa ax aInx xIna Inx

Ina，g(x)

Inx，則x

g(x)

ax1 Inx2x

，g(

在

x a上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，x

g(0

g(e)

1，g(1) 0e所以f

1Ina

1且a e.a e（二）選考題：共 10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C的極坐標(biāo)方程為2 2cos ．（將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為 1,0，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P滿足

2AM，寫(xiě)出P

C1的參數(shù)方程，并判斷C是否有公共點(diǎn)．【答案】（1）x

22y 2；（C沒(méi)有公共交點(diǎn).2【解析】將曲線C的極坐標(biāo)方程化為 2 2 2 cos ，則有2 2x y 2 2x，所以C的直角坐標(biāo)方程為

22x 2 y 2，2 22 y 2.

x,

，M(

y0)，則AP

(x 1,y)，AM

(

1,y0)，x1x 1x1x 2(x 1) 0由AP 2AM可得 0 ，解得 2 ，yM為C上的動(dòng)點(diǎn)，故有

2y02 2 y0

yy022，即x 1 1

2 22 y 2，2 2整理得

2x 3 2

2y 4，即C1是以3

為圓心，2為半徑的圓，所以 C1的參數(shù)方程為x 322cosx2cos32，y 2siny2sin因r2，所以?xún)蓤A為內(nèi)含關(guān)系，即 C與沒(méi)有公共交點(diǎn).[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)

f(x)

x 2,g(x) 2x

3 2x 1．（畫(huà)出y f x和y gx的圖像；（若f x a gx，求a的取值范圍．11【答案】（1）見(jiàn)解析；（a ，2【解析】（1）

f(

x x2 x

2，g(x) 4x 2

323 x 1，2 2x 12圖像如圖A23所示：圖A23（2）f x a由f a向右或左平移 |a|個(gè)單位得到.①當(dāng)≤，f x a由f a向右平移 |a|個(gè)單位得到，由圖象可知，此時(shí) f x a最小值為f 2 a

0，而g2

4，不滿足 f x a gx；②當(dāng)f x a由f a向左平移a個(gè)單位得到，由圖象可知， f x a gx恒成立，必有f 1 a g 1 ，2 23 11即a 4，解得a .2 2a 所以a的取值范圍為 11 a 22021年理科數(shù)學(xué)（甲卷）試題適用地區(qū)：四川、云南、貴州、廣西、西藏。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題要求的。（集合）設(shè)集合M

x0 x

4,N x13

x 5 ，則M Nx

x 1 3

x1 x 43

x4 x 5

x0 x 52．（概率統(tǒng)計(jì)）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于 4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為 6%該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于 10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為 估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò) 6.5萬(wàn)元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于 4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間（復(fù)數(shù)）(1

2i)z

3 2iz

3i B． 2

3i C． 2

i D． 3 24．（函數(shù)）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù) L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù) V的滿足L 5 lgV．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為 則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（ 1010 1.259）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6（解析幾何）已知

F1、F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且

60

，

3，則C的離心率為7 13B．2 2

C．7 D．13（立體幾何）在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為 EFG該正方體截去三棱錐 A EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（簡(jiǎn)單邏輯）等比數(shù)列

an 的公比為qn

Sn，設(shè)甲：q

0，乙：

Sn是遞增數(shù)列，則甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條（三角函數(shù)）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為 8848.86（單位：三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．右圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有 A，C三點(diǎn)，B，C

AB,C

AC

45，

AB

60．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15BBCC的差為；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45，則A，C兩點(diǎn)到水平面ABC的高度差A(yù)A CC約為（ 3 1.732）A．346 B．373 C．446 D．473（三角函數(shù)）若

0,π

,tan2

cos

，則tan2 2 sin15 5 5 15B． C． D．15 5 3 3（概率統(tǒng)計(jì)）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則 2個(gè)0不相鄰的概率為1 2 2 4B． C． D．3 5 3 511．（立體幾何）已如A，BC是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且

AC BC,AC BC

1，則三棱錐O ABC的體積為2 3 2 3B． C． D．12 12 4 42（函數(shù)）設(shè)函數(shù)f x的定義域?yàn)镽，f x2

為奇函數(shù)，f x

為偶函數(shù)，當(dāng)x

1,2時(shí)，f(x)

ax b．若f

f 3 6，則f 929 B． 34 2

C．7 D．54 2二、填空題：本題共 4小題，每小題 5分，共20分．（函數(shù)）曲線y

2x 1在點(diǎn) 1,3處的切線方程為 ．x 2（平面向量）已知向量a

3,1,b

1,0,c a

kb．若a c，則k ．（解析幾何）已知

x2F1,F2為橢圓C：

y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，QC上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，16 4且PQ

，則四邊形

2的面積為 ．（函數(shù)）已知函數(shù)f x

2cos( x

)的部分圖像如圖所示，則滿足條件f(x) f 7 f(x) f

0的最小正整數(shù) x為 ．4 3三、解答題：共 70分．解答應(yīng)寫(xiě)出交字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第 17～21題為必考題，每個(gè)試題生都必須作答．第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共 60分．（概率統(tǒng)計(jì)）（12分）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了 200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少 ?（能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異 ?K

n(ad bc)2(a c d)(a b d2PK2

k 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828（數(shù)列）（12分）已知數(shù)列

an

為

的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列

是等差數(shù)列；③

3a1．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．（立體幾何）（12分）已知直三棱柱

ABC

AB

2E，F(xiàn)分別為ACCC1的D

BF （證明：BF DE；（

B1D

BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最??？（解析幾何）（12分）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x 1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP OQ．已

2,0

，且 M與l相切．（求C， M的方程；（

A2C

，均與 M相切．判斷直

與 M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（函數(shù)）（12分）

0

1

f(

axx (xa

0)．（當(dāng)a 2時(shí)，求f x的單調(diào)區(qū)間；（若曲線y f x與直線y 1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求 a的取值范圍．（二）選考題：共 10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C的極坐標(biāo)方程為2 2cos ．（將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為 1,0，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P滿足

2AM，寫(xiě)出P

C1的參數(shù)方程，并判斷C是否有公共點(diǎn)．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)

f(x)

2,g(x) 2x

3 2x 1．（畫(huà)出y f x和y gx的圖像；（若f x a gx，求a的取值范圍．2021年理科數(shù)學(xué)（乙卷）答案詳解一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題要求的。復(fù)數(shù)）設(shè)2(z z) 3(z z) 4 ，則A.1－2i B.1＋C.1＋i D.1－i【答案】C【解析】設(shè)z a bi，則2

6bi

4a ，∴a

1，∴

1 i.集合）已知集合2n＋1,nZ｝，T＝｛t|t＝4n＋1,nZ｝，則A.? B.S C.T D.Z【答案】C【解析】∵S T，∴S T T.x簡(jiǎn)單邏輯）已知命題p?xRsinx1；命題qx∈Re

1，則下列命題中為真命題的是A.B.?C.p∧?q D.?(p∨q)【答案】A【解析】①根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，命題 p是真命題；②對(duì)于任意 x∈x 0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)x可知，e

1，故q是真命題，是真命題，是假命題，?q是假命題，?(pq).4.（函數(shù)）設(shè)函數(shù)

f(x)

1 x，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是1 xA.f(x－1)－1 B.f(x－1 C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1【答案】B【解析】

f(x)

1 x 21 x 1 x

，由此可知原函數(shù)

f(

是由奇函數(shù)

g(x)

向左平移1個(gè)單位再向下平x1B.

f(x)

向右平移1個(gè)單位再向上平移 1個(gè)單位即可得

g(x)

2，故x立體幾何）在正方體ABCDA1B1C1D1PB1D1的中點(diǎn)，則直線PBAD1所成的角為π πB.2 3

π πC. D.4 6【答案】D【解析】解法一：建立圖A5左的直角坐標(biāo)系，設(shè) AB為一個(gè)單位，A為原點(diǎn)，AB為x軸的正方向，AD為y

z

，B(1,0,0)

D1(0,1,1)

1 1P( , 2 2

，所以AD1

(0,1,1)，BP(

1 1, ,1)，故2 21 1cos

AD1

,

AD1BPAD1

2 3，3 222.∴直線PBAD1所成的角為π.6圖A5解法二：如圖A5右，連接C1P、C1B，計(jì)算出C1P、C1、BP的長(zhǎng)，在C1BP中，利用余弦定理，即可得到答案.具體計(jì)算過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們自己練習(xí) .概率統(tǒng)計(jì)）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺 4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每志愿者只分到 1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配 1名志愿者，則不同的分配方案共有A.60種 B.120種 C.240種 D.480種【答案】C【解析】故本任務(wù)可以分為兩步完成：①?gòu)?5名志愿者中任意選出 2名，組成一個(gè)小組，其余 3名志愿者54各自為一個(gè)小組，共四個(gè)小組，有C2種選法；②再將四個(gè)小組分配到 4個(gè)項(xiàng)目中，有種排法.故54CA 5 4CA 5 4函數(shù)）把函數(shù)y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 12

倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移 π3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

sin

π的圖像，則f(x)＝4sin x 7π2 12

sin x π2 12sin 2x 7π12

sin 2x π12【答案】B【解析】由已知的函數(shù) y sin x

π逆向變換.第一步：向左平移 π個(gè)單位長(zhǎng)度，得到4 3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng) sin x ππ sin x π的圖象；第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2倍，縱3 4 12坐標(biāo)不變，得到y(tǒng) sin x π的圖象，即為 y＝f(x)的圖象，所以f(x) sin x π.2 12概率統(tǒng)計(jì)）在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機(jī)取 1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于 4

2 12的概率為（）742332

29【答案】B【解析】如圖A8所示，設(shè)從區(qū)間(0,1)、(1,2)中隨機(jī)取出的數(shù)分別為 、y，則所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)閤,y|0

x 1,1

2，其面積為S

1．設(shè)事件A表示兩數(shù)之和大于 4

，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳 y|

x 1,1 23

2,x

7 4

SA

1 3 3 23，2 4 4 32所以P(A)S

32.圖A89.（三角函數(shù)）魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高。如圖，點(diǎn)E、H、G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為 表高，EG稱(chēng)為表距，GC和EH都稱(chēng)為表目距，GC與EH的差稱(chēng)為表目距的差。則海島的高＝ 表高表距 表表目距的差C. 表高表距 表表目距的差

B. 表高表距 表表目距的差D. 表高表距 表表目距的差【答案】A【解析】由平面相似可知， DE EHAB AH

,FG AB

，而DE FG，DEEHDEEHCGCGEHCGEH，ABAHACACAHCH而CH CE EH CG EH EG，即CG EH EGAB

EG

DE 表高表距 表高.2CG EH CG 2

表目距的差.（函數(shù)）≠，若x＝a

f(

ax a)(x b的極大值點(diǎn)，則A.a＜b B.a＞b C.ab＜D.ab＞3【答案】D3a＝b

f(x)

a(x 為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故 ∴f(x)有x＝a和x＝b兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在 x＝a左右附近是不變號(hào)，在 b左右附近是變號(hào)的 .x＝a為函數(shù)fx)的極大值點(diǎn)，∴在x＝a左右附近都是小于零的.①當(dāng)a＜0時(shí)，由x

fx) 0

f的圖象如圖A10左所示，由圖可知a，aa2.圖A10②當(dāng)a＞0時(shí)，由x

fx) 0

f(x)的圖象如圖A10右所示，由圖可知 b＞a，aba2.綜上所述，aba2.2 2 2 解析幾何）設(shè)B是橢圓C：2 a b

1（ab的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足PB

2b，則C的離心率的取值范圍是21

11

2 10A. B.2 2

D. ，2 2【答案】CPx,

2 2y2 xB(0,b)，因?yàn)? y2 x

1，a2

2 2b c，所以0 0a b2 2 3 2 4222PB

22y b 2

1

y b2 c y b

a b2，20 0 2 2

2 0 2 2b b c c因?yàn)?，當(dāng) ，即 時(shí)， ，即 ，符合題意，由可得 ，即 ；當(dāng) 即 時(shí)， 即 化簡(jiǎn)得， 顯然該不等式不成立．故選 C．12.（函數(shù)）設(shè)a

2In1.01，b

In1.02，c

1.04 1，則A.a＜b＜c B.b＜c＜a c D.c＜a＜b【答案】D【解析】a

22In1.01 In1.01

In1.0201 In1.02

b，∴a b.下面比較c與a、b的大小關(guān)系.記f(x) 2In(

1) 1 4x

1

f(0) 0，∴f(2 2

2 1 4x x 1，22x 1 1 4x 22

1 1 4x由于1 4

(1 x)

2x

x(2

x)，所以當(dāng)0＜x＜2時(shí)， ，即 ， ，所以fx)在02上單調(diào)遞增，所以 ，即 ，即令 ，則 ，，由于 ，在0時(shí)， ，所以 ，即函數(shù) 在[0，∞上單調(diào)遞減，所以 即 ，即b＜b＜c二、填空題：本題共 4小題，每小題 5分，共20分。2：22：.

解析幾何）已知雙曲線C x ym

（＞0的一條漸近線為 x my

0則C的焦距為 .【答案】4【解析】由漸近線方程 3x my

0化簡(jiǎn)得y

3x，即b

22 3，同時(shí)平方得 b 32 2 m a m 2 2又雙曲線中a2

m，b 1，2故1 22m m2

，解得m

3，

0（舍去），2故c2 2

b 4，∴故焦距2c＝4..（平面向量）已知向量＝（1，3），b＝（，），若（－）⊥，則＝ .【答案】35【解析】a b

(1 3,3 4)，∵（－b）⊥b，∴1 3) 3 4) 0，解得 3.5.（三角函數(shù)）ABC的內(nèi)角A，，C的對(duì)邊分別為a，，面積為3，B＝02＋2＝c，則b＝ .【答案】2 2【解析】由正弦定理可得S

1acsinB

1ac 3

3，解得ac 4，2 2 22則a22

c

12，22由余弦定理有， 22

a c cos

12 2 4 1 8，22解得b 2 2.2【答案】③④（答案不唯一，如②⑤）【解析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.如圖A16所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1【答案】③④（答案不唯一，如②⑤）【解析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.如圖A16所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，BB1＝E、F分別為棱B1C1、BC的中點(diǎn)，則三棱錐 E-ADF的正視圖為①、側(cè)視圖為③、俯視圖為④，故答案為③④.圖A16三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第 17－21題為必考題，每個(gè)試題生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60分。17.（概率統(tǒng)計(jì)）（12分）某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了 10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.512舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為 和 ，樣本方差分別記為 s2和s21212（xys2s2；1212（）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果 －＋，則認(rèn)為新設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高） .12【答案】（1）x

10，y

10.3，s2

0.036，

0.04；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高 .【解析】（1） ，，，.（2）依題意，，，所以 ，故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高 .18.（立體幾何）(12分)PABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝BCPBAM，（求BC；（求二面角A-PMB的正弦值。【答案】【答案】（1）2；（2）70.14【解析】（1）PD⊥平面ABCD，且矩形ABCDADDC，故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖A18的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，BC＝2aD(0,0,0)P(0,0,1)B(2M(a,1,0)a,0,0)，所以PB (2a,1,1)，AM(a,1,0)，∵PB⊥AM，∴PBMA210，解得a2，2故BC 2a2.圖A18（2）設(shè)平面PAM的法向量為m

(x1,y1,z1)，由（有

( 2,1,0)，2

( 2,0,1)，mAM

2x y 0故

22x1

1 1z1

，取

2，可得m

( 2,1,2).設(shè)平面PBM的法向量為n

(x2,y2,z2)，由（有

( 22

，

( 2, 1,1)，2由BM x2 0由2

，取y2

1，可得

(0,1,1)，nBP

2x2

y2 z2 0

n mn

3 314，2m n 7 2 142

1

m,n

70，即二面角A-PM-B的正弦值為 70.14 1419.（數(shù)列）（12分）記為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，為數(shù)列{的前n項(xiàng)積，已知2 1 2.（證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（an的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（ an

3，n 12 .1 ，n 2n 1n【解析】n證明：由已知 2 1 2得Sn

2bn

10，，1 2由

，解得，31 23∵bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)積，∴b SS S

21

2b2

，n 1

n1n

1

1 2bn 1b SS S

2b1

2bn

1 ，n1 1

n1n

12b2

1

11 1∴bn1

1 ，1 1又∵1 0，∴1 21

，即b b 1，其中n N ，nn1 bn

3為首項(xiàng)，以d2

1為公差等差數(shù)列.23 由（1）可得，3

n 1，2 2 2S2bnSn2bn

1 1，n 1n=1

3，2n≥

an

1 1 1 1

1 ，顯然對(duì)于n=1不成立，n 1 n n 1n3，n 1a故 2 .an 1，n 2n 1n20.（函數(shù)）（12分）設(shè)函數(shù)

fx) In(a x)，已知x＝0

y xfx的極值點(diǎn).（求a；（

g(x)

x f(x)

，證明：

g(x) 1.xf(x)【答案】（1）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由已知有

y xf(x)

xIn(a x)，所以y

In(a x) x ，x a∵x 0是函數(shù)y xf(x)的極值點(diǎn)，∴ y 0 Ina

0，解得a 1.（2）由（1）

f(x) In(1

x)，

g(x)

x f(x) x In(1 x)(x

1且x

0)，xf(x) xIn(1 x)hx)

x In(1

xIn(1 x)

1 x

x)(x

1)，則h(0) 0，h(x) In(1 x)，①當(dāng)x

0

x 1，

x) 0，∴

x) 0，

(x)

x) 0，∴x單調(diào)遞減，∴h(x)

0

In(1 x)

xIn(1

x) 0，∴x In(1

xIn(1

x)，∴ x In(1

g(x) 1；xIn(1 x)②當(dāng)0

x 1時(shí)，0 1

1，

0，∴

x) 0，

x) 0，∴x單調(diào)遞增，∴h(x)

0

In(1 x)

xIn(1

x) 0，∴x In(1

xIn(1

x)，∴ x In(1

g(x) 1；xIn(1 x)綜上所述，g(x) 1.21.（解析幾何）（12分）己知拋物線p＞0）的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上點(diǎn)的距離的最小值為 4.（求p；（若點(diǎn)PMPAPBC的兩條切線，AB是切點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）20 5.【解析】拋物線C的焦點(diǎn)為 ， ，所以F與圓M上點(diǎn)的距離的最小值為 ，解得 ；拋物線C的方程為x2＝4y，即 ，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得 ，設(shè)點(diǎn) 、 、 ，直線PA的方程為 ，即 ，即 ，同理可知，直線PB的方程為 ，由于點(diǎn)P為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以點(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿足方程所以直線AB的方程為，，聯(lián)立 ，可得，由韋達(dá)定理可得 ，，所以，，點(diǎn)P到直線AB的距離為 ，所以， ，，由已知可得 ，所以，當(dāng) 時(shí)，的面積取最大值 .（二）選考題：共 10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.［選修-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（ 10分）在直角坐標(biāo)系 xOy中，⊙C的圓心為C(2,1)，半徑為1.（C的一個(gè)參數(shù)方程；（過(guò)點(diǎn)F(4,1)作⊙C的兩條切線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩直線的極坐標(biāo)方程 .【答案】（1） （ 為參數(shù)）；（2） 或 .【解析】由題意，⊙C的普通方程為 ，所以⊙C的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)）；由題意，切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為 即 ，由圓心到直線的距離等于 可得，解得，所以切線方程為將 ， 代入化簡(jiǎn)得或，或.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)

f