河南省商丘市郭店鄉(xiāng)第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

河南省商丘市郭店鄉(xiāng)第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則A． B．

C． D．參考答案：D2.若雙曲線=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓（x﹣2）2+y2=1相切，則雙曲線的離心率為(

)A． B． C．2 D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由于雙曲線=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓（x﹣2）2+y2=1相切，可得圓心（2，0）到漸近線的距離d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．【解答】解：取雙曲線的漸近線y=x，即bx﹣ay=0．∵雙曲線=1（a＞0，b＞0）的漸近線與（x﹣2）2+y2=1相切，∴圓心（2，0）到漸近線的距離d=r，∴=1，化為2b=c，兩邊平方得c2=4b2=4（c2﹣a2），化為3c2=4a2．∴e==故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的漸近線及其離心率、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．3.已知直線，若存在實(shí)數(shù)，使得直線被曲線所截得的線段長(zhǎng)度為，則稱曲線為的“優(yōu)美曲線”.下面給出的曲線：①；②；③，其中是直線的“優(yōu)美曲線”的有（

）A.①②

B.③

C.②③

D.①②③參考答案：C略4.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入n，x的值分別為4，3，則輸出v的值為（）A．20 B．61 C．183 D．548參考答案：C【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的i，v的值，當(dāng)i=﹣1時(shí)，不滿足條件i≥0，跳出循環(huán)，輸出v的值為183．【解答】解：初始值n=4，x=3，程序運(yùn)行過程如下表所示：v=1i=3v=1×3+3=6i=2v=6×3+2=20i=1v=20×3+1=61i=0v=61×3+0=183i=﹣1跳出循環(huán)，輸出v的值為183．故選：C．5.若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則△ABM與△ABC的面積比為

A．

B．

C．

D．參考答案：C6.設(shè)曲線在點(diǎn)(3,2)

處的切線與直線垂直,則(

)A.2

B.

C.

D.參考答案：B7.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是(

)A. B. C. D.參考答案：D8.已知,則A． B． C． D．參考答案：C略9.下列命題中的說法正確的是（

）

A．命題“若＝1，則x＝1”的否命題為“若＝1，則x≠1”

B．“x＝－1”是“－5x－6＝0”的必要不充分條件

C．命題“∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是：“∈R，均有＋x＋1＞0”

D．命題“在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB”的逆否命題為真命題參考答案：D10.已知向量，，，若，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線的漸近線與直線圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)360°，則所得旋轉(zhuǎn)體的體積為___；表面積為_____參考答案：4π

【分析】易得雙曲線的漸近線方程為，求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后得到該旋轉(zhuǎn)體為底面半徑是，高為2的圓柱，挖掉兩個(gè)底面半徑為，高為1，母線長(zhǎng)為2的圓錐，最后根據(jù)體積公式和表面積公式即可得結(jié)果.【詳解】雙曲線的漸近線，與直線的交點(diǎn)為和，該旋轉(zhuǎn)體為底面半徑是，高為2的圓柱，挖掉兩個(gè)底面半徑為，高為1，母線長(zhǎng)為2的圓錐，所以所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，表面積為，故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征與體積、表面積的計(jì)算問題，屬于中檔題.12.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______．參考答案：2【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，將轉(zhuǎn)化為：，由圖象得：過時(shí)，最大，代入求出即可．【詳解】畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖所示：，將轉(zhuǎn)化為：，由圖象得：過時(shí)，最大，．的最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題．13.已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為

.參考答案：11.14.（13）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

.參考答案：16π-1615.已知，且，則的最大值為

.參考答案：16.二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為

▲

.（用數(shù)字作答）參考答案：

略17.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．參考答案：【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的求值．【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（x+），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：∵=sinx+sinx+cosx=sin（x+），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N、P分別是CC1、BC、A1B1的中點(diǎn)．（1）求證：PN⊥AM；（2）若直線MB與平面PMN所成的角為θ，求sinθ的值．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PN⊥AM．（2）求出平面PMN的一個(gè)法向量，由此利用向量法能求出sinθ．【解答】（1）證明：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，1），P（，0，1），M（0，1，），N（，，0），，=（0，1，），∵=0+=0，∴PN⊥AM．（2）解：設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為=（x1，y1，z1），，=（﹣），則，令y1=2，得=（3，2，1），又=（1，﹣1，﹣），∴sinθ===．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．19.在直角坐標(biāo)系xOy中，l是過定點(diǎn)P（4，2）且傾斜角為α的直線；在極坐標(biāo)系（以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，取相同單位長(zhǎng)度）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程，并將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若曲線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，求|PM|+|PN|的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（I）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ可化為ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲線C的極坐標(biāo)方程即可得出．（II）把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．由于曲線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，可得△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，可得．利用根與系數(shù)的關(guān)系t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．及|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，即可得出．【解答】解：（I）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ可化為ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲線C的極坐標(biāo)方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問題，屬于中檔題．20.生產(chǎn)A，B兩種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為正品，小于82為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測(cè)試指標(biāo)元件A81240328元件B71840296 （Ⅰ）試分別估計(jì)元件A、元件B為正品的概率； （Ⅱ）生產(chǎn)一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元，在（Ⅰ）的前提下； （i）求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于300元的概率； （ii）記X為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（Ⅰ）由題可知元件A為正品的概率為，元件B為正品的概率為。……………2分（Ⅱ）（i）設(shè)生產(chǎn)的5件元件中正品件數(shù)為，則有次品5件，由題意知得到，設(shè)“生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于300元”為事件，則。……………6分（ii）隨機(jī)變量的所有取值為150,90,30，-30，則，，，，所以的分布列為：1509030-30 …10分 …………12分

略21.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且.（I）求；（II）令，不等式的解集為M，求所有的和.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和．D1D3D4（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析：（Ⅰ）設(shè)的首項(xiàng)為，公比為，所以，解得…2分又因?yàn)?，所以則，，解得（舍）或

…………4分所以

…………6分（Ⅱ）則,當(dāng)為偶數(shù)，，即，不成立當(dāng)為奇數(shù)，，即，因?yàn)椋?/p>

…………9分則組成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列;組成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列則所有的和為…………12分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）設(shè)的首項(xiàng)為，公比為，可得，解得．再利用，可得，即可得出．（II）由（I）可得：．當(dāng)為偶數(shù)，不成立．當(dāng)為奇數(shù)，，可得，得到m的取值范圍．可知組成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．求出即可．22.（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，經(jīng)過其左焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)。（1）求橢圓的方徎；（2）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得·恒為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù)；若不存在，說明理由。參考答案：（1）設(shè)橢圓的方程為由題意，得，解得，所以

---------3分所