2024屆安徽省示范中學培優(yōu)聯(lián)盟高二上數(shù)學期末預測試題含解析

2024屆安徽省示范中學培優(yōu)聯(lián)盟高二上數(shù)學期末預測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若橢圓的弦恰好被點平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.2．已知圓，若存在過點的直線與圓C相交于不同兩點A，B，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.3．設等差數(shù)列的前項和為，已知，，則的公差為（）A.2 B.3C.4 D.54．已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則點的坐標為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的極大值為，無極小值 B.函數(shù)的極小值為，無極大值C.函數(shù)的極大值為0，無極小值 D.函數(shù)的極小值為0，無極大值6．已知曲線C的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，曲線C為圓B.“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的充分而不必要條件C.“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要而不充分條件D.存在實數(shù)k使得曲線C為雙曲線，其離心率為7．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于其焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應用于微波和衛(wèi)星通訊等，具有結(jié)構簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點.圖2是圖1的軸截面，，兩點關于拋物線的對稱軸對稱，是拋物線的焦點，是饋源的方向角，記為.焦點到頂點的距離與口徑的比為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.若饋源方向角滿足，則該拋物面天線的焦徑比為（）A. B.C. D.28．在數(shù)列中，，則的值為（）A. B.C. D.以上都不對9．已知拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，則拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.10．《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學專著，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何?”其意思為：“今有人分錢，各人所得錢數(shù)依次為等差數(shù)列，其中前人所得之和與后人所得之和相等，問各得多少錢?”，則第人得錢數(shù)為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢11．點到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.412．已知拋物線的焦點恰為雙曲線的一個頂點，的另一頂點為，與在第一象限內(nèi)的交點為，若，則直線的斜率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不透明袋中裝有完全相同，標號分別為1，2，3，…，8的八張卡片．從中隨機取出3張．設X為這3張卡片的標號相鄰的組數(shù)（例如：若取出卡片的標號為3，4，5，則有兩組相鄰的標號3、4和4、5，此時X的值是2）．則隨機變量X的數(shù)學期望______14．已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為________.15．函數(shù)的圖象在點P（）處的切線方程是，則_____16．甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則密碼被成功破譯的概率_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：，右焦點為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）設M，N是橢圓C上不同的兩點，且直線MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點，求|OT||MN|的取值范圍18．（12分）某廠A車間為了確定合理的工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了五次試驗，得到數(shù)據(jù)如下：加工零件的個數(shù)x12345加工的時間y（小時）1.52.43.23.94.5（1）在給定的坐標系中畫出散點圖；（2）求出y關于x的回歸方程；（3）試預測加工9個零件需要多少時間？參考公式：，19．（12分）在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面積；（2）求的值.20．（12分）如圖1，已知正方形的邊長為，分別為的中點，將正方形沿折成如圖2所示的二面角，點在線段上（含端點）運動，連接（1）若為的中點，直線與平面交于點，確定點位置，求線段的長；（2）若折成二面角大小為，是否存在點M，使得直線與平面所成的角為，若存在，確定出點的位置；若不存在，請說明理由21．（12分）已知直線，圓.（1）證明：直線l與圓C相交；（2）設l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程；（3）在（2）的條件下，設圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.22．（10分）已知橢圓，過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，交直線于點，且，.求證：為定值，并計算出該定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】判斷點M與橢圓的位置關系，再借助點差法求出直線AB的斜率即可計算作答.【題目詳解】顯然點橢圓內(nèi)，設點，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D2、D【解題分析】根據(jù)圓的割線定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進行求解即可.【題目詳解】圓的圓心坐標為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因為，所以，于是有，因為，所以，而，或，所以，故選：D3、B【解題分析】由以及等差數(shù)列的性質(zhì)，可得的值，再結(jié)合即可求出公差.【題目詳解】解：，得，，又，兩式相減得，則.故選：B.4、D【解題分析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.【題目詳解】因為點是點在坐標平面內(nèi)的射影，所以的豎坐標為0，橫、縱坐標與A點的橫、縱坐標相同，所以點的坐標為.故選：D5、A【解題分析】利用導數(shù)來求得的極值.【題目詳解】的定義域為，，在遞增；在遞減，所以的極大值為，沒有極小值.故選：A6、C【解題分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義及簡單幾何性質(zhì)計算可得；【題目詳解】解：由題意，曲線C的方程為，對于A中，當時，曲線C的方程為，此時曲線C表示橢圓，所以A錯誤；對于B中，當曲線C的方程為表示焦點在x軸上的雙曲線時，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以B不正確；對于C中，當曲線C的方程為表示焦點在x軸上的橢圓時，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以C正確；對于D中，當曲線C的方程為表示雙曲線，且離心率為時，此時雙曲線的實半軸長等于虛半軸長，此時，解得，此時方程表示圓，所以不正確.故選：C.7、B【解題分析】建立平面直角坐標系，利用題設條件得到得點坐標，代入拋物線方程化簡即可求解【題目詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為（）在中，則所以則所以，所以將代入拋物線方程中得所以或即或（舍）當時，故選：B8、C【解題分析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點，進而可求.【題目詳解】解：，數(shù)列是以3為周期的數(shù)列故選：【題目點撥】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項，解題的關鍵是由遞推關系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點，屬于基礎題.9、D【解題分析】先求得拋物線的焦點坐標，再根據(jù)點F與圓上點的距離的最大值為6求解.【題目詳解】因為拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，所以，解得，所以拋物線準線方程為，故選：D10、A【解題分析】設第所得錢數(shù)為錢，設數(shù)列、、、、的公差為，根據(jù)已知條件可得出關于、的值，即可求得的值.【題目詳解】設第所得錢數(shù)為錢，則數(shù)列、、、、為等差數(shù)列，設數(shù)列、、、、公差為，則，解得，故.故選：A.11、B【解題分析】直接利用點到直線的距離公式得到答案.【題目詳解】，答案為B【題目點撥】本題考查了點到直線的距離公式，屬于簡單題.12、D【解題分析】根據(jù)題意，列出的方程組，解得，再利用斜率公式即可求得結(jié)果.【題目詳解】因為拋物線的焦點，由題可知；又點在拋物線上，故可得；又，聯(lián)立方程組可得，整理得，解得（舍）或，此時，又，故直線的斜率為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解題分析】設為這3張卡片的標號相鄰的組數(shù)，則的可能取值為0，1，2，利用列舉法分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量的數(shù)學期望【題目詳解】解：不透明袋中裝有完全相同，標號分別為1，2，3，，8的八張卡片從中隨機取出3張，共有種，設為這3張卡片的標號相鄰的組數(shù)，則的可能取值為0，1，2，的情況有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6個，，的情況有：取，另外一個數(shù)有5種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有5種取法的情況一共有：，，，隨機變量的數(shù)學期望：故答案為：14、【解題分析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【題目詳解】∵∴∴∴.故答案為：.15、【解題分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線方程，即可求解.【題目詳解】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，，且，所以.故答案為：16、【解題分析】根據(jù)題意，由相互獨立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進而由對立事件的概率性質(zhì)分析可得答案【題目詳解】解：根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼概率，故該密碼被成功破譯的概率故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）[，3].【解題分析】（1）由題可得，即求；（2）當直線的斜率不存在或為0，易求，當直線MN斜率存在且不為0時，設直線MN的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應用韋達定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問2詳解】當直線MN斜率為0時，不妨取直線MN為??=，則，此時，則；當直線MN斜率不存在，不妨取直線MN為x=，則，此時，則；當直線MN斜率存在且不為0時，設直線MN的方程為：，，因為直線MN與圓相切，所以，即，又因為直線MN與橢圓C交于M，N兩點：由，得，則，所以MN中點T坐標為，則，，所以又，當且僅當，即取等號，∴|OT||MN|；綜上所述：|OT|?|MN|的取值范圍為[，3].18、（1）圖見解析；（2）；（3）小時.【解題分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)在坐標系中描出對應點即可.（2）由表格中的數(shù)據(jù)代入公式算出，再求，即可得到方程；（3）中將自變量為9代入回歸方程可得需用時間.【小問1詳解】【小問2詳解】由表中數(shù)據(jù)得：，，，，由x與y之間具有線性相關關系，根據(jù)公式知：，，∴回歸直線方程為：【小問3詳解】將代入回歸直線方程得，，∴預測加工9個零件需要小時19、（1），△的面積為；（2）.【解題分析】（1）應用余弦定理求的大小，由三角形面積公式求△的面積；（2）由（1）及正弦定理的邊角關系可得，即可求目標式的值.【小問1詳解】在△中，由余弦定理得：，又，則.所以△的面積為.【小問2詳解】由（1）得：，由正弦定理得：，則，所以.20、（1）是的延長線與延長線的交點，且（2）存在，使得直線與平面所成的角為，且.【解題分析】（1）通過延長、以及全等三角形確定點的位置并求得線段的長.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法判斷符合題意的點是否存在.【小問1詳解】延長，連接并延長，交的延長線于，由于，所以，所以.所以是的延長線與延長線的交點，且.【小問2詳解】由于，所以平面，，由于平面，所以平面平面.建立如圖所示空間直角坐標系，，設，，設平面的法向量為，則，故可設，由于直線與平面所成的角為，所以，整理得，解得或（舍去）存在，使得直線與平面所成的角為，且.21、（1）證明見解析；（2）；（3）點Q恒在直線上，理由見解析.【解題分析】（1）求出直線過定點，得到在圓內(nèi)部，故證明直線l與圓C相交；（2）設出點，利用垂直得到等量關系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點共圓，得到此圓方程，聯(lián)立，求出相交弦的方程，即直線的方程，根據(jù)直線過的定點，得到，從而得到點Q恒在直線上.【小問1詳解】證明：直線過定點，代入得：，故在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交；【小問2詳解】圓的圓心為，設點，由垂徑定理得：，即，化簡得：，點M的軌跡方程為：【小問3詳解】設點，由題意得：Q、A、B、C四點共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程聯(lián)立，消去二次項得：，即為直線的方程，因為直線過定點，所以，解得