彈性力學(xué)基礎(chǔ)_第1頁
彈性力學(xué)基礎(chǔ)_第2頁
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彈性力學(xué)基礎(chǔ)第一頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日本章主要內(nèi)容2.1變形體的描述、變量定義、分量表達(dá)和指標(biāo)記法2.2彈性體的基本假設(shè)2.3平面問題的基本力學(xué)方程2.4空間問題的基本力學(xué)方程2.5彈性問題中的能量表達(dá)2.6特殊問題的討論(兩大類平面問題)第二頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日本章要點(diǎn)變形體的三大類基本變量變形體的三大類基本方程及兩類邊界條件彈性問題中的能量表示平面應(yīng)力、平面應(yīng)變、剛體位移的特征及表達(dá)應(yīng)力及應(yīng)變的分解第三頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日由固體材料組成的具有一定形狀的物體在一定約束邊界下將產(chǎn)生變形,該物體中任意一個(gè)位置的材料都將處于復(fù)雜的受力狀態(tài)之中。本章將定義用于刻畫任意形狀彈性變形體的力學(xué)變量和表達(dá)這些變量之間的關(guān)系。本章主要內(nèi)容就是定義位移、變形和力三大變量之間的三大方程給出典型的邊界條件第四頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日2.1變形體的描述、變量定義、分量表達(dá)與指標(biāo)記法變形體:在外力作用下,物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間能夠發(fā)生相對(duì)移動(dòng)。從幾何形狀復(fù)雜程度來考慮可以分為:

1)簡(jiǎn)單形狀變形體—材料力學(xué)

2)任意形狀變形體—彈性力學(xué)任意變形體是有限元方法處理的對(duì)象,因而,彈性力學(xué)中有關(guān)變量和方程的描述是有限元方法的重要基礎(chǔ)。

第五頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日基本變量第六頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日基本方程受外部作用的任意形狀變形體,在其微小體元dxdydz中,基于位移、應(yīng)變和應(yīng)力這三大類變量,可以建立以下三大類方程平衡方程:外力和內(nèi)力之間的平衡關(guān)系

幾何方程:描述的是位移和應(yīng)變之間關(guān)系

物理方程:應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系第七頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日基本變量的指標(biāo)表達(dá)自由指標(biāo):每項(xiàng)中只出現(xiàn)一次的下標(biāo)。如啞指標(biāo):在表達(dá)式的每一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)。

Einstein求和約定:?jiǎn)≈笜?biāo)意味著求和。張量:能夠用指標(biāo)表示的物理量,并且該物理量能夠滿足一定的坐標(biāo)變換關(guān)系。Voigt標(biāo)記第八頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日基本變量的指標(biāo)表達(dá)自由指標(biāo):每項(xiàng)中只出現(xiàn)一次的下標(biāo)。如啞指標(biāo):在表達(dá)式的每一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)。

第九頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日Einstein求和約定:?jiǎn)≈笜?biāo)意味著求和。小結(jié):自由指標(biāo)在同一項(xiàng)中只出現(xiàn)一次,可任意取值;求和指標(biāo)在同一項(xiàng)中出現(xiàn)兩次,可以被另一表示求和指標(biāo)置換。第十頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日張量:能夠用指標(biāo)表示的物理量,并且該物理量能夠滿足一定的坐標(biāo)變換關(guān)系。

0階張量:無自由指標(biāo)的量,如標(biāo)量。

1階張量:有1個(gè)自由指標(biāo)的量,如矢量。

2階張量:有2個(gè)自由指標(biāo)的量,如應(yīng)力和應(yīng)變。

n階張量:有n個(gè)自由指標(biāo)的量,如四階彈性系數(shù)張量。第十一頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日Voigt標(biāo)記ijpijp111222123二維問題Voigt移動(dòng)規(guī)則的下標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系第十二頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日Voigt標(biāo)記ijpijp111222333234135126三維問題Voigt移動(dòng)規(guī)則的下標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系第十三頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日有了以上的移動(dòng)規(guī)則的下標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系,就可以按照同一規(guī)則來處理更為復(fù)雜的問題。第十四頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日2.2彈性體的基本假設(shè)連續(xù)性假設(shè)。物體是連續(xù)的,亦即物體整個(gè)體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿,不留任何空隙。這樣,物體內(nèi)的一些物理量,如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示。均勻性假設(shè)。也就是說整個(gè)物體是由同一種材料組成的。這樣,整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì),因而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和波桑系數(shù))才不隨位置座標(biāo)而變。第十五頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日各向同性假設(shè)。物體是各向同性的,也就是說物體內(nèi)每一點(diǎn)各個(gè)不同方向的物理性質(zhì)和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。完全彈性假設(shè)。物體是完全彈性的,亦即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后,物體能夠完全恢復(fù)原形,而不留任何殘余變形。這樣,當(dāng)溫度不變時(shí),物體在任一瞬時(shí)的形狀完全決定于它在這一瞬時(shí)所受的外力,與它過去的受力情況無關(guān)。第十六頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日小變形假設(shè)。物體的變形是微小的,亦即當(dāng)物體受力以后,整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸,因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1,這樣,在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時(shí),可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸,而不致有顯著的誤差;并且,在考慮物體的變形時(shí),應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘積項(xiàng)都可以略去不計(jì),這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。第十七頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日2.3平面問題的基本力學(xué)方程平衡方程:外力和內(nèi)力之間的平衡關(guān)系幾何方程:描述的是位移和應(yīng)變之間關(guān)系物理方程:應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系邊界條件:第十八頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日

平衡方程第十九頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日

幾何方程第二十頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日變形協(xié)調(diào)條件它的物理意義是:材料在變形過程中應(yīng)該是整體連續(xù)的,不應(yīng)該出現(xiàn)“撕裂”和“重疊”現(xiàn)象發(fā)生。第二十一頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日寫成矩陣形式為物理方程第二十二頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日按照邊界情況,彈性力學(xué)問題一般分為三類:

位移邊界問題:在邊界面上全部給定位移,即全部是Su

邊界

應(yīng)力邊界問題:在邊界面上全部給定表面力,即全部是應(yīng)力邊界。這時(shí),外力(包括體力和面力)應(yīng)是平衡力系。

混合邊界問題:既有Su

邊界,又有應(yīng)力邊界。二者可以分別在邊界表面不同的區(qū)域上,或同一區(qū)域不同的方向上。邊界條件第二十三頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日作用在任意平面上該點(diǎn)的應(yīng)力分量可以由下式表示為:其中

第二十四頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日2.4空間問題的基本力學(xué)方程平衡方程:外力和內(nèi)力之間的平衡關(guān)系幾何方程:描述的是位移和應(yīng)變之間關(guān)系物理方程:應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系邊界條件:第二十五頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日

平衡方程第二十六頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日X方向負(fù)面X方向正面Y方向負(fù)面Y方向正面Z方向負(fù)面Z方向正面第二十七頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日X方向力平衡化簡(jiǎn)得第二十八頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日Y方向力平衡化簡(jiǎn)得第二十九頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日Z方向力平衡化簡(jiǎn)得第三十頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日如果這六個(gè)量在某點(diǎn)是已知的,就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力,因此,這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量。一般說來,彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同,因此,描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量,而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。六個(gè)應(yīng)力分量的總體,可以用一個(gè)列矩陣來表示:第三十一頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日

幾何方程哥西應(yīng)變工程應(yīng)變第三十二頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日寫成矩陣形式為第三十三頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日幾何方程可見,當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時(shí),應(yīng)變分量是完全確定的。反過來,當(dāng)應(yīng)變分量完全確定時(shí),位移分量卻不完全確定;這是因?yàn)?,具有確定形狀的物體,可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說明這一點(diǎn),試命:式中的u0,v0,w0,x,y,z是積分常數(shù)。第三十四頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日u0——彈性體沿x方向的剛體移動(dòng)v0——彈性體沿y方向的剛體移動(dòng)w0——彈性體沿z方向的剛體移動(dòng)x——彈性體繞x軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)y——彈性體繞y軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)z——彈性體繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)為了完全確定彈性體的位移,必須有六個(gè)適當(dāng)?shù)募s束條件來確定這六個(gè)剛體位移。第三十五頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日變形協(xié)調(diào)條件當(dāng)6個(gè)應(yīng)變分量滿足以上應(yīng)變協(xié)調(diào)方程時(shí),就能保證得到單值連續(xù)的位移函數(shù)。第三十六頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日當(dāng)沿x軸方向的兩個(gè)對(duì)面受有均勻分布的正應(yīng)力時(shí),在滿足先前假定的材料性質(zhì)條件下,正應(yīng)力不會(huì)引起角度的任何改變,而其在x方向的單位伸長(zhǎng)則可表以方程

彈性體在x方向的伸長(zhǎng)還伴隨有側(cè)向收縮,即在y和z方向的單位縮短可表示為:方程既可用于簡(jiǎn)單拉伸,也可用于簡(jiǎn)單壓縮,且在彈性極限之內(nèi),兩種情況下的彈性模量和波桑系數(shù)相同。應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系----虎克定律物理方程第三十七頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日設(shè)圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應(yīng)力,則合成應(yīng)變的分量可用前面兩式求得。實(shí)驗(yàn)證明,只須將三個(gè)應(yīng)力中的每一應(yīng)力所引起的應(yīng)變分量疊加,就得到合成應(yīng)變的分量。單位伸長(zhǎng)與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個(gè)物理常數(shù)E及μ所確定。兩個(gè)常數(shù)也可用來確定剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系。公式的適用范圍:

在線彈性范圍內(nèi),小變形條件下,各向同性材料。第三十八頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日如果彈性體的各面有剪應(yīng)力作用任何兩坐標(biāo)軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應(yīng)力分量有關(guān),即得到:

正應(yīng)變與剪應(yīng)變是各自獨(dú)立的。因此,由三個(gè)正應(yīng)力分量與三個(gè)剪應(yīng)力分量引起的一般情形的應(yīng)變,可用疊加法求得;即將六個(gè)關(guān)系式寫在一起,得彈性方程或物理方程,這種空間狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義虎克定律。第三十九頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日寫成矩陣形式為第四十頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日

邊界條件XN,YN,ZN分別為作用在某一任意平面上的沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量。對(duì)于已知應(yīng)力邊界條件的情況,相應(yīng)的應(yīng)力邊界條件為

第四十一頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日二維問題:

2個(gè)位移分量,3個(gè)應(yīng)力分量,3個(gè)應(yīng)變分量

2個(gè)平衡方程,3個(gè)幾何方程,3個(gè)物理方程三維問題:3個(gè)位移分量,6個(gè)應(yīng)力分量,6個(gè)應(yīng)變分量

3個(gè)平衡方程,6個(gè)幾何方程,6個(gè)物理方程我們得到的變量和方程都是從任意變形體中所取出來的微單元體來建立的,因此無論對(duì)象的幾何形狀和邊界條件如何不同,其基本變量和基本方程是完全相同,不同之處在于邊界條件,所以求解的難度是如何處理邊界條件(幾何形狀)。第四十二頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日2.5彈性問題中的能量表示能量分類1)施加外力在可能位移上所作的功。2)變形體由于變形而存儲(chǔ)的能量。第四十三頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日2.5.1外力功施加外力在可能位移上所作的功,外力有兩種,包括作用在物體上的面力和體力,這些力被假設(shè)為與變形無關(guān)的不變力系(保守力),則外力功包括這兩部分力在可能位移上所作的功。第四十四頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日2.5.2應(yīng)變能以位移(或應(yīng)變)為基本變量所表達(dá)的變形能叫做應(yīng)變能(strainenergy)。它也包括兩部分

1)對(duì)應(yīng)于正應(yīng)力與正應(yīng)變的應(yīng)變能

2)對(duì)應(yīng)于剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的應(yīng)變能第四十五頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日對(duì)應(yīng)于正應(yīng)力與正應(yīng)變的應(yīng)變能,另外兩個(gè)方向上的計(jì)算類似。第四十六頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日對(duì)應(yīng)于剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的應(yīng)變能(其它兩個(gè)剪應(yīng)力類似)第四十七頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日由疊加原理,將所有方向的正應(yīng)力應(yīng)變和剪應(yīng)力應(yīng)變疊加得哥西應(yīng)變張量第四十八頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日哥西應(yīng)變張量工程應(yīng)變?chǔ)?/p>

第四十九頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日從而得系統(tǒng)勢(shì)能第五十頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日****虛功原理****剛體:在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系,當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí),體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒等于零。第五十一頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日****虛功原理****變形體:外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體,如果發(fā)生了虛位移,那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。第五十二頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日2.6特殊問題的討論實(shí)際問題中,經(jīng)常有一些比較典型的情況,需要有針對(duì)性的進(jìn)行處理,如厚度較薄的平面問題厚度較厚的等截面平面應(yīng)變問題物體的剛體移動(dòng)物體變形后的體積變化等第五十三頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題,嚴(yán)格地說,任何一個(gè)彈性體都是空間物體,一般的外力都是空間力系,因而任何實(shí)際問題都是空間問題,都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是,如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀,并且承受的是特殊外力,就有可能把空間問題簡(jiǎn)化為近似的平面問題,只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題第五十四頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日2.6.1平面應(yīng)力問題幾何形狀特征:物體在一個(gè)坐標(biāo)方向(例如z)的幾何尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)坐標(biāo)方向的幾何尺寸,如圖所示的薄板。載荷特征:在薄板的兩個(gè)側(cè)表面上無表面載荷,作用于邊緣的表面力平行于板面,且沿厚度不發(fā)生變化,或雖沿厚度變化但對(duì)稱于板的中間平面,體積力亦平行于板面且沿厚度不變。第五十五頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日幾何方程物理方程平衡方程考察應(yīng)力邊界特點(diǎn)注意:第五十六頁,共六十三頁,編輯于2023年,星期日2.6.2平面應(yīng)變問題幾何形狀特征:物體沿一個(gè)坐標(biāo)軸(例如z軸)方向的長(zhǎng)度很長(zhǎng),且所有垂直于z軸的橫截面都相同,即為一等直柱

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