2021-2022學(xué)年湖北省黃岡市蘄春縣實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析

2021-2022學(xué)年湖北省黃岡市蘄春縣實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是A．

B．

C．

D．

參考答案：A略2.函數(shù)在內(nèi)既有極大值又有極小值，則的取值范圍為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D3.在△ABC中，，向量在上的投影的數(shù)量為，則BC=(

)A.5 B. C. D.參考答案：C【分析】由向量在上的投影的數(shù)量為可得，由可得，于是可得，然后再根據(jù)余弦定理可求得的長度．【詳解】∵向量在上的投影的數(shù)量為，∴．①∵，∴，∴．②由①②得，∵為的內(nèi)角，∴，∴．在中，由余弦定理得，∴．故選C．4.已知圓的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是（

）A.圓

B.橢圓

C.雙曲線

D.拋物線參考答案：B5.記，則函數(shù)，的最小值為（）A. B.0 C. D.參考答案：D【分析】結(jié)合分段函數(shù)，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解最小值即可．【詳解】如圖函數(shù)在上遞減，在上遞增；函數(shù)在（0，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增；又當(dāng)x＜2時，，當(dāng)x＞2時，兩個函數(shù)都是增函數(shù)，且取兩函數(shù)的較大者，則在x=2時取最小值，故選：D．【點睛】本題考查新定義以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力以及數(shù)形結(jié)合，屬于中檔題.6.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：(

)x345678y﹣3.0﹣2.00.5﹣0.52.54.0得到的回歸方程為=x+，則． A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＜0，b＜0 C．a(chǎn)＞0，b＜0 D．a(chǎn)＜0，b＞0參考答案：D考點：線性回歸方程．專題：計算題；概率與統(tǒng)計．分析：利用公式求出b，a，即可得出結(jié)論．解答： 解：樣本平均數(shù)=5.5，=0.25，∴=23.75，=17.5，∴b≈1.4＞0，∴a=0.25﹣1.4?5.5＜0，故選：D．點評：本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，屬于基礎(chǔ)題．7.已知命題P：存在，使得是冪函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞增；命題q：“”的否定是“”.則下列命題為真命題的是A． B． C．

D．參考答案：C當(dāng)時，為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故是真命題，則是假命題；“”的否定是“”，故是假命題，是真命題．所以均為假命題，為真命題，選C．8.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是（

） A．

B．

C．

D．1參考答案：D9.已知函數(shù)滿足對任意，都有

成立，則的取值范圍為（

）A.

B.(0,1)

C.

D.

(0,3)參考答案：A10.已知命題：，使得，則?為

（

）

A.，使得

B.，使得

C.，使得

D.，使得參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是

；體積是__________．參考答案：

12.某工廠生產(chǎn)甲乙丙三種不同型號的產(chǎn)品，三種產(chǎn)品產(chǎn)量之比為1：3：5，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽得容量為n的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測，已知抽得乙種型號的產(chǎn)品12件，則n=．參考答案：36【考點】分層抽樣方法．【分析】求出抽樣比，然后求解n的值即可．【解答】解：某工廠生產(chǎn)的甲、乙、丙三種型號產(chǎn)品的數(shù)量之比為1：3：5，分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本，則乙被抽的抽樣比為：=，樣本中乙型產(chǎn)品有12件，所以n=12÷=36，故答案為36．【點評】本題考查分層抽樣的應(yīng)用，基本知識的考查．13.已知點在直線上，則

▲

；

▲

．參考答案：，14.若n-m表示的區(qū)間長度，函數(shù)的值域的區(qū)間長度為，則實數(shù)a的值為_________________.參考答案：215.已知等比數(shù)列{an}的首項為，公比為，前n項和為，且對任意的*，都有恒成立，則的最小值為______________．參考答案：16.（5分）（2010?東城區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（θ為參數(shù)）和直線l：（t為參數(shù)），則直線l與圓C相交所得的弦長等于4．參考答案：【考點】：直線的參數(shù)方程；圓的參數(shù)方程．【專題】：計算題．【分析】：由題意將圓C和直線l先化為一般方程坐標(biāo)，然后再計算直線l與圓C相交所得的弦長．解：∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（θ為參數(shù)），∴（x+1）2+（y﹣2）2=25，∴圓心為（﹣1，2），半徑為5，∵直線l：（t為參數(shù)），∴3x+4y﹣10=0，∴圓心到直線l的距離d==1，∴直線l與圓C相交所得的弦長=2×=4．故答案為4．【點評】：此題考查參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實際情況選擇不同的方程進(jìn)行求解，這也是每年高考必考的熱點問題．17.以橢圓一條漸近線為y=2x的雙曲線的方程

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項和為.已知，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記為數(shù)列的前項和，求．參考答案：解：（Ⅰ）由題意，，則當(dāng)時，.兩式相減，得（）.

……………2分又因為，，，……………4分所以數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，……5分所以數(shù)列的通項公式是（）.

………………6分（Ⅱ）因為，所以，……8分兩式相減得，，

………10分整理得，().

………………12分

19.已知函數(shù)f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再求所求切線的斜率即f′（0），由于切點為（0，0），故由點斜式即可得所求切線的方程；（2）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再對a進(jìn)行討論，得到f'（x）＞0，從而函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（3）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調(diào)性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調(diào)性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關(guān)系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna，∴f′（x）=axlna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函數(shù)f（x）圖象在點（0，1）處的切線斜率為0，∴圖象在點（0，f（0））處的切線方程為y=1；（2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0①當(dāng)a＞1，y=2x單調(diào)遞增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna單調(diào)遞增，故y=2x+（ax﹣1）lna單調(diào)遞增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；②當(dāng)0＜a＜1，y=2x單調(diào)遞增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna單調(diào)遞增，故y=2x+（ax﹣1）lna單調(diào)遞增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；綜上，函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）；（3）因為存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以當(dāng)x∈[﹣1，1]時，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，所以當(dāng)x∈[﹣1，1]時，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，記g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因為g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（當(dāng)t=1時取等號），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（1）=0，所以當(dāng)t＞1時，g（t）＞0；當(dāng)0＜t＜1時，g（t）＜0，也就是當(dāng)a＞1時，f（1）＞f（﹣1）；當(dāng)0＜a＜1時，f（1）＜f（﹣1）①當(dāng)a＞1時，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e，②當(dāng)0＜a＜1時，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1?+lna≥e﹣1?0＜a≤，綜上知，所求a的取值范圍為a∈（0，]∪[e，+∞）．【點評】本題考查了基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，（1）求橢圓E的方程；（2）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。參考答案：（1）由拋物線的焦點可得：，點關(guān)于直線的對稱點為故，因此，橢圓方程為……….4分（2）假設(shè)存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點。當(dāng)AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為：

……………①當(dāng)AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為：

…………②由①②知定點M。（6分）下證：以AB為直徑的圓恒過定點M。設(shè)直線，代入，有。設(shè)，則。

則，在軸上存在定點M，使以為直徑的圓恒過這個定點。（12分）21.（本小題共12）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點，四邊形是邊長為的正方形．（1）求證：平面；(2)求二面角的余弦值．參考答案：（1）證明：在直三棱柱中，

平面，又平面，

所以．

因為，為中點，所以．又，所以平面．又平面，所以．因為四邊形為正方形，，分別為，的中點，所以△≌△，．所以．所以．

又，所以平面．

……6（2）解：如圖，以的中點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系．

則．

由（Ⅱ）知平面，所以為平面的一個法向量．設(shè)為平面的一個法向量，，．由可得令，則．所以．從而．因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．……1222.（本小題滿分14分）已知函數(shù)令.（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；（Ⅲ）若，正實數(shù)滿足，證明：參考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)2；（Ⅲ）見解析【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立的問題；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式B11B12解析：⑴

……2分由得又所以．所以的單增區(qū)間為.………4分（2）方法一：令所以．當(dāng)時，因為，所以所以在上是遞增函數(shù)，又因為所以關(guān)于的不等式不能恒成立．

………6分當(dāng)時，．令得，所以當(dāng)時，當(dāng)時，．因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)．故函數(shù)的最大值為

…………8分令因為又因為在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時，．所以整數(shù)的最小值為2．

……………10分方法二：⑵由恒成立，得在上恒成立．問題等價于在上恒成立．令，只要．

……6分因為令得．設(shè)，因為，所以在上單調(diào)遞減