甘肅省卓尼縣柳林中學(xué)2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

甘肅省卓尼縣柳林中學(xué)2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點(diǎn)A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）A. B.C. D.2．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）A.99 B.131C.139 D.1413．已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切C.相交 D.相離4．若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.5．有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五兩，今三十日屠訖，向共屠幾何？”其意思為：“有一個(gè)姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？"在這個(gè)問題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為（）A.35 B.75C.155 D.3156．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則（）A.14 B.9C.4 D.27．如圖，直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)，若P到平面的距離為2d，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分8．在下列四條拋物線中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1的是（）A. B.C. D.9．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.10．如圖，在正方體中，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若到直線與直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在的曲線是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線11．設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，，為左、右焦點(diǎn)，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形12．一條直線過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，則這條直線的傾斜角是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，將中的所有元素按從大到小的順序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為___________.14．已知點(diǎn)為雙曲線，右支上一點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，的角平分線與線段交于點(diǎn)，且滿足，則________；若為線段的中點(diǎn)且，則雙曲線的離心率為________15．已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓O的切線，則切線方程為___________.16．半徑為的球的體積為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-.（1）求橢圓C的離心率（2）點(diǎn)M（，）在橢圓C上，橢圓的左頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），過(guò)點(diǎn)D的直線L與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，與直線AB交于點(diǎn)Q設(shè)L的斜率為k，若，求k的值.18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）已知圓，直線（1）當(dāng)直線與圓相交，求的取值范圍；（2）當(dāng)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程20．（12分）已知橢圓，四點(diǎn)中，恰有三點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率之和為，證明：直線過(guò)一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)21．（12分）國(guó)家助學(xué)貸款由國(guó)家指定的商業(yè)銀行面向在校全日制高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生發(fā)放.用于幫助他們支付在校期間的學(xué)習(xí)和日常生活費(fèi).從年秋季學(xué)期起，全日制普通本?？茖W(xué)生每人每年申請(qǐng)貸款額度由不超過(guò)元提高至不超過(guò)元，助學(xué)貸款償還本金的寬限期從年延長(zhǎng)到年.假如學(xué)生甲在本科期間共申請(qǐng)到元的助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)后年內(nèi)還清，已知該學(xué)生畢業(yè)后立即參加工作，第一年的月工資為元，第個(gè)月開始，每個(gè)月工資比前一個(gè)月增加直到元，此后工資不再浮動(dòng).（1）學(xué)生甲參加工作后第幾個(gè)月的月工資達(dá)到元；（2）如果學(xué)生甲從參加工作后的第一個(gè)月開始，每個(gè)月除了償還應(yīng)有的利息外，助學(xué)貸款的本金按如下規(guī)則償還：前個(gè)月每個(gè)月償還本金元，第個(gè)月開始到第個(gè)月每個(gè)月償還的本金比前一個(gè)月多元，第個(gè)月償還剩余的本金.則他第個(gè)月的工資是否足夠償還剩余的本金.（參考數(shù)據(jù)：；；）22．（10分）某品牌餐飲公司準(zhǔn)備在10個(gè)規(guī)模相當(dāng)?shù)牡貐^(qū)開設(shè)加盟店，為合理安排各地區(qū)加盟店的個(gè)數(shù)，先在其中5個(gè)地區(qū)試點(diǎn)，得到試點(diǎn)地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)分別為1，2，3，4，5時(shí)，單店日平均營(yíng)業(yè)額（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：加盟店個(gè)數(shù)（個(gè)）12345單店日平均營(yíng)業(yè)額（萬(wàn)元）10.910.297.871（參考數(shù)據(jù)及公式：，，線性回歸方程，其中，.）（1）求單店日平均營(yíng)業(yè)額（萬(wàn)元）與所在地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)（個(gè)）的線性回歸方程；（2）根據(jù)試點(diǎn)調(diào)研結(jié)果，為保證規(guī)模和效益，在其他5個(gè)地區(qū)，該公司要求同一地區(qū)所有加盟店的日平均營(yíng)業(yè)額預(yù)計(jì)值總和不低于35萬(wàn)元，求一個(gè)地區(qū)開設(shè)加盟店個(gè)數(shù)的所有可能取值；（3）小趙與小王都準(zhǔn)備加入該公司的加盟店，根據(jù)公司規(guī)定，他們只能分別從其他五個(gè)地區(qū)（加盟店都不少于2個(gè)）中隨機(jī)選一個(gè)地區(qū)加入，求他們選取的地區(qū)相同的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】根據(jù)題意可表示出漸近線方程，進(jìn)而可知的斜率，表示出直線方程，求出的坐標(biāo)進(jìn)而求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程整理求得和的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率【題目詳解】：由題意設(shè)相應(yīng)的漸近線：，則根據(jù)直線的斜率為，則的方程為，聯(lián)立雙曲線漸近線方程求出，則，，則的中點(diǎn)，把中點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程中，即，整理得，即，求得，即離心率為，故答案為：2、D【解題分析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.【題目詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項(xiàng)為，根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：由圖可得，則.故選：D3、A【解題分析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑之和半徑之差的關(guān)系，即可判斷位置關(guān)系.【題目詳解】對(duì)圓，其圓心，半徑；對(duì)圓，其圓心，半徑；又，故兩圓外切.故選：A.4、D【解題分析】對(duì)選項(xiàng)A，令即可檢驗(yàn)；對(duì)選項(xiàng)B，令即可檢驗(yàn)；對(duì)選項(xiàng)C，令即可檢驗(yàn)；對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后作差即可.【題目詳解】若，則可得：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若，則可得：，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若，則可得：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；不妨設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，則有：則有：，故選項(xiàng)D正確故選：D5、C【解題分析】構(gòu)造等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得結(jié)果.【題目詳解】由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，所以，，因此前5天所屠肉的總兩數(shù)為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列模型，考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓、雙曲線方程的特點(diǎn)直接列式計(jì)算作答.【題目詳解】設(shè)橢圓半焦距為c，則，而橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則在雙曲線中，，即有，解得，所以.故選：C7、B【解題分析】取的中點(diǎn)，得出平面，作，在直角中，求得，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可求解.【題目詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，得到平行于平面且過(guò)點(diǎn)的平面，如圖（1）（2）所示，作，則P1與E重合，則，在直角中，可得，在圖（3）中，設(shè)直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，即所以，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分.故選：B.8、D【解題分析】由題意可知，然后分析判斷即可【題目詳解】由題意知，即可滿足題意，故A，B，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D9、A【解題分析】由，得，從而可得答案.【題目詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解?故選：A.10、D【解題分析】由到直線的距離等于到點(diǎn)的距離可得到直線的距離等于到點(diǎn)的距離，然后可得答案.【題目詳解】因?yàn)榈街本€的距離等于到點(diǎn)的距離，所以到直線的距離等于到點(diǎn)的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線故選：D11、D【解題分析】根據(jù)橢圓方程求出，然后結(jié)合橢圓定義和已知條件求出并求出，進(jìn)而判斷答案.【題目詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構(gòu)成三角形.故選：D.12、C【解題分析】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得所求直線的傾斜角.【題目詳解】設(shè)這條件直線的傾斜角為，則，，因此，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題意設(shè)，，根據(jù)可得，從而，即可得出答案.【題目詳解】設(shè)，由，得，由，得中的元素滿足，即，可得所以，由,所以所以，要使得數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值，即求出數(shù)列中所以滿足的項(xiàng)的和即可.即，得，則所以數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為故答案為：147214、①.②.【解題分析】過(guò)作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，由向量共線定理可得；再由角平分線性質(zhì)定理和雙曲線的定義、結(jié)合余弦定理和離心率公式，可得所求值【題目詳解】解：過(guò)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，由，得，由角平分線定理；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由雙曲線的定義，，所以，，，在中，由余弦定理，所以.故答案為：；.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)定理和余弦定理的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題15、或【解題分析】首先判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系，再設(shè)切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程求參數(shù)k，即可寫出切線方程.【題目詳解】由題設(shè)，，故在圓外，根據(jù)圓及，知：過(guò)作圓O的切線斜率一定存在，∴可設(shè)切線為，聯(lián)立圓的方程，整理得，∴，解得或.∴切線方程為或.故答案為：或.16、【解題分析】根據(jù)球的體積公式求解【題目詳解】根據(jù)球的體積公式【題目點(diǎn)撥】球的體積公式三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）1【解題分析】（1）根據(jù)橢圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-，由求解；（2）根據(jù)點(diǎn)M（，）在橢圓C上，頂點(diǎn)，再由，求得橢圓方程，由，結(jié)合，得到，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由，求得Q的坐標(biāo)，代入求解.【小問1詳解】解：設(shè)橢圓C：的上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-,所以，即，又所以，解得；【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M（，）在橢圓C上，所以，又，解得，所以橢圓方程為，，則，因?yàn)?，所以，又，所以，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)直線方程為，與題意方程聯(lián)立，消去y得：則，所以，則，因?yàn)?，由，得，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，因，則.18、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)已知求出首項(xiàng)和公差即可求出；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，解得，所以【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以.19、（1）；（2）或【解題分析】（1）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，利用幾何法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)勾股定理求出圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的值，即可求出直線的方程.【小問1詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相交，則，解得.【小問2詳解】解：因?yàn)?，則圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，整理得，解得或.所以，直線的方程為或.20、（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)【解題分析】（1）先判斷出在橢圓上，再代入求橢圓方程；（2）假設(shè)斜率存在，設(shè)出直線，利用斜率之和為，求出之間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn)，再說(shuō)明斜率不存在時(shí)，直線仍過(guò)該點(diǎn)即可.【小問1詳解】由對(duì)稱性同時(shí)在橢圓上或同時(shí)不在橢圓上，從而在橢圓上，因此不在橢圓上，故在橢圓上，將，代入橢圓的方程，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，令方程為，由得所以得方程為，過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，令方程為，由，即解得此時(shí)直線方程為，也過(guò)點(diǎn)綜上，直線過(guò)定點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于先假設(shè)斜率存在，設(shè)出直線，利用題目所給條件得到之間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn)，再說(shuō)明斜率不存在時(shí)，直線仍過(guò)該點(diǎn)即可，屬于定點(diǎn)問題的常見解法，注意積累掌握.21、（1）；（2）不能，理由見解析.【解題分析】（1）設(shè)甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的