安徽省定遠(yuǎn)縣四中2024年數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

安徽省定遠(yuǎn)縣四中2024年數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若動(dòng)點(diǎn)在方程所表示的曲線上，則以下結(jié)論正確的是（）①曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形；②動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的取值范圍為；③動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的最小距離為；④動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的連線斜率的取值范圍是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④2．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前3項(xiàng)和為21，則()A.84 B.72C.33 D.1893．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）A. B.C. D.4．如圖，在棱長為1的正方體中，M是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面MBD的距離是（）A. B.C. D.5．與向量平行，且經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為（）A. B.C. D.6．在棱長為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.C. D.7．函數(shù)在區(qū)間上平均變化率等于（）A. B.C. D.8．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.9．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.10．在平面上有一系列點(diǎn)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，以點(diǎn)為圓心的與軸都相切，且與彼此外切．若，且,,的前項(xiàng)之和為，則（）A. B.C. D.11．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.12．已知直線，，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，則________14．在空間四邊形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF=，則異面直線AD與BC所成角的大小為____.15．如圖，將一個(gè)正方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截出一個(gè)棱錐，若該棱錐的體積為，則該正方體的邊長為___________.16．命題“任意，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值.18．（12分）在等差數(shù)列中，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知：.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的的值.19．（12分）三棱錐中，，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)在線段上.（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，滿足，點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)使得二面角的余弦值為.20．（12分）已知p：關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，.（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，，離心率，短軸長為21求橢圓的方程；2如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)非長軸端點(diǎn)，的延長線與橢圓交于B點(diǎn)，AO的延長線與橢圓交于C點(diǎn)，求面積的最大值22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)（1）證明：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】將原方程等價(jià)變形為，將方程中的換為，換為，方程不變，可判斷①；利用兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)可判斷②和③；取特殊點(diǎn)可判斷④.【題目詳解】因?yàn)榈葍r(jià)于，即，對(duì)于①，將方程中的換為，換為，方程不變，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，故①正確；對(duì)于②，設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，因?yàn)?，所以，故②正確；對(duì)于③，設(shè)，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，從而取得最小值，故③不正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，故④不正確.綜上所述：結(jié)論正確的是：①②.故選：A2、A【解題分析】分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)前三項(xiàng)的和為列方程，結(jié)合等比數(shù)列中，各項(xiàng)都為正數(shù)，解得，從而可以求出的值.詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為3，前三項(xiàng)的和為，，解之得或，在等比數(shù)列中，各項(xiàng)都為正數(shù)，公比為正數(shù)，舍去），，故選A.點(diǎn)睛：本題考查以一個(gè)特殊的等比數(shù)列為載體，通過求連續(xù)三項(xiàng)和的問題，著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)，等比數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和等知識(shí)點(diǎn)，屬于簡單題.3、C【解題分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系計(jì)算作答.【題目詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，于是得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率，而直線的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C4、A【解題分析】等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.【題目詳解】連接，，則，，由勾股定理得：，，取BD中點(diǎn)E，連接ME，由三線合一得：ME⊥BD，則，故，設(shè)到平面MBD的距離是，則，解得：，故點(diǎn)到平面MBD的距離是.故選：A5、A【解題分析】利用點(diǎn)斜式求得直線方程.【題目詳解】依題意可知，所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.故選：A6、D【解題分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，在直角△中應(yīng)用等面積法求到直線的距離.【題目詳解】由正方體的性質(zhì)：面，又面，故，直角△中，若到上的高為，∴，而，，，∴.故選：D.7、C【解題分析】根據(jù)平均變化率的定義算出答案即可.【題目詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于故選：C8、B【解題分析】雙曲線的離心率為，漸進(jìn)性方程為，計(jì)算得，故漸進(jìn)性方程為.【考點(diǎn)定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質(zhì).9、B【解題分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.詳解】對(duì)于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以不成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，故D不正確.故選：B10、C【解題分析】根據(jù)兩圓的幾何關(guān)系及其圓心在函數(shù)的圖象上，即可得到遞推關(guān)系式，通過構(gòu)造等差數(shù)列求得的通項(xiàng)公式，得出，最后利用裂項(xiàng)相消，求出數(shù)列前項(xiàng)和，即可求出.詳解】由與彼此外切，則，，，又∵，∴，故為等差數(shù)列且，，則，，則，即，故答案選：.11、B【解題分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得，進(jìn)而得出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入直線方程求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可.【題目詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點(diǎn)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，所以中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B12、C【解題分析】由拋物線的定義可知點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離.【題目詳解】解：由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)到直線的距離等于，所以點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】利用“當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，"即可得出.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不適合上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式.故答案為：.14、【解題分析】由已知找到異面直線所成角的平面角，再運(yùn)用余弦定理可得答案.【題目詳解】解：設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接EO，F(xiàn)O，所以，則∠EOF（或其補(bǔ)角）就是異面直線AD，BC所成的角的平面角，又因?yàn)镋O=AD=1，F(xiàn)O=BC=，EF=.根據(jù)余弦定理得=-，所以∠EOF=150°，異面直線AD與BC所成角的大小為30°.故答案為：30°.15、2【解題分析】根據(jù)體積公式直接計(jì)算即可.【題目詳解】設(shè)正方體邊長為，則，解得.故答案為：16、【解題分析】分離常數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值問題.【題目詳解】任意，恒成立恒成立，故只需，記，，易知，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)有焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，從而即可求解；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立拋物線的方程，由韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間的斜率公式即可求解.【小問1詳解】解：依題意，，解得，∴拋物線的方程為；【小問2詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，由消去可得，∵直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，∴，由韋達(dá)定理得，∴.18、（1）；（2）或.【解題分析】(1)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的公差及首項(xiàng)即可計(jì)算作答.(2)由(1)求出，建立方程求解作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，因，則，解得，于是得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.【小問2詳解】由(1)知，，由得：，即，解得或，所以使成立的的值是或.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，，則且，，平面，所以為直線與平面所成的線面角，即，，故，，，平面，平面，因此，.【小問2詳解】解：設(shè)，由（1）可知且，，因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，則，由已知可得，解得.當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角為銳角，合乎題意.綜上所述，.20、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)命題p為真命題，可得，解之即可得解；（2）若p是q的充分不必要條件，則，列出不等式組，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：命題p：關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，∴，解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是；【小問2詳解】解：命題，∵p是q的充分不必要條件，∴，∴，且兩式等號(hào)不能同時(shí)取得，解得，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.21、（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）面積的最大值為【解題分析】（1）由題意得，再由，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，不妨取；②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，又直線的距離點(diǎn)到直線的距離為面積的最大值為.試題解析：（1）由題意得，解得，∵，∴，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨取，故；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡得，設(shè)點(diǎn)到直線的距離因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離為，∴綜上，面積的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、弦長公式和三角形面積公式等知識(shí)，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，并考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于較難題型.第一小題由題意由方程思想建立方程組求得標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）利用分類與整合思想分當(dāng)?shù)男甭什淮嬖谂c存在兩種情況求解，在斜率存在時(shí)，由舍而不求法求得，再求得點(diǎn)到直線的距離為面積的最大值為.22、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）依題意可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，即可得證；（2）取的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，連接，即可得到為與底