幾何解題策略

推理探究題動態(tài)軌跡題全新定義型規(guī)律探索題題型分類1432例題賞析1例1（2018.寧波25）若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．（1）△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AD//BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC，求證△ABC是比例三角形；（3）如圖2，在（2）的條件下，當∠ADC=90°時，求的值.

全新定義型直接給出定義試題分析：考查相似三角形、等腰三角形、勾股定理等；考查計算能力、轉(zhuǎn)化能力、分類討論思想.考查新定義的性質(zhì)考查新定義的判定例2（南潯期末24）

感知定義：在一次數(shù)學活動課中，老師給出這樣一個新定義：如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足α+2β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“類直角三角形”．嘗試運用：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，BD是∠ABC的平分線．①證明△ABD是“類直角三角形”；②試問在邊AC上是否存在點E（異于點D），使得△ABE也是“類直角三角形”？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由．類比拓展全新定義型例題賞析1直角三角形內(nèi)部存在的類直角三角形的兩種情況圖1（2）如圖2，△ABD內(nèi)接于⊙O，直徑AB=10，弦AD=6，點E是

上一動點（包括端點A，D），延長BE至點C，連結(jié)AC，且∠CAD=∠AOD，當△ABC是“類直角三角形”時，求AC的長．全新定義型例題賞析1圖2試題分析：考查角平分線、直角三角形、相似三角形、勾股定理等；考查學生計算能力、方程思想、類比思想、分類討論思想等.F（一）培養(yǎng)讀題理解能力全新定義型復習策略2

（二）培養(yǎng)即學即用能力

“新定義”給出后，接下來即會考查一定義的性質(zhì)或判定，因此需要學生有較強的獨立學習、解題能力，因此平時要培養(yǎng)學生的即學即用的能力.（三）培養(yǎng)轉(zhuǎn)化運用能力幾何題的連貫性要求學生會充分利用前面小題解題時總結(jié)的知識和方法進行轉(zhuǎn)化運用.教師多培養(yǎng)學生歸納知識和運用題目帶來的結(jié)論的能力，有助于學生更好的學習和應用新知識.讀懂“新定義”是解題的第一步，教師要引導學生在這種“新”面孔下，找到考查的知識點，因此要培養(yǎng)學生的讀題分析能力.例題賞析1例3（2018.衢州16）定義：在平面直角坐標系中，一個圖形先向右平移a個單位，再繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度，這樣的圖形運動叫作圖形的γ（a，θ）變換．

如圖，等邊△ABC的邊長為1，點A在第一象限，點B與原點O重合，點C在x軸的正半軸上．△A1B1C1就是△ABC經(jīng)γ（1，180°）變換后所得的圖形．

若△ABC經(jīng)γ（1，180°）變換后得△A1B1C1，△A1B1C1經(jīng)γ（2，180°）變換后得△A2B2C2，△A2B2C2經(jīng)γ（3，180°）變換后得△A3B3C3，依此類推……△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1經(jīng)γ（n，180°）變換后得△AnBnCn，則點A1的坐標是

，點A2018的坐標是

．

規(guī)律探索題試題分析：本題是規(guī)律探究題，又是材料閱讀理解題，關鍵是能正確理解圖形的γ（a，θ）變換的定義后運用，能發(fā)現(xiàn)連續(xù)變換后出現(xiàn)的規(guī)律，該題難點在于點的橫縱坐標各自存在不同的規(guī)律，需要分別來研究．例題賞析1例4（2017.嘉興15）如圖，把n個邊長為1的正方形拼接成一排，求得

，

，

，計算

▲

，……按此規(guī)律，寫出

▲（用含n的代數(shù)式表示）．

規(guī)律探索題（第15題）試題分析：找到求正切值的方法，而不是只看數(shù)字的規(guī)律.（2017湖州15）如圖，已知∠AOB=30°，在射線

上取點O1

，以O1

為圓心的圓與OB相切；在射線O1A上取點O2，以O2為圓心，

O2O1為半徑的圓與OB相切；在射線O2A上取點O3，以O3為圓心，O3O2為半徑的圓與OB相切；…；在射線

O9A上取點O10，以O10為圓心，

O10O9為半徑的圓與OB切．若⊙O1

的半徑為1，則⊙O10的半徑長是

▲

．

規(guī)律探索題（第15題）試題分析：根據(jù)切線帶來的垂直，用含30°直角三角形的邊關系，利用方程思想求解半徑長，從而找到規(guī)律.（一）培養(yǎng)閱讀理解能力規(guī)律探索題都會給出一些文字來敘述題目的規(guī)律，因此需要學生有一定的閱讀理解的能力，平時注重培養(yǎng)學生獨立審題、讀題、分析題的習慣與能力.（二）培養(yǎng)知識運用能力規(guī)律探索不能只停留在數(shù)字層面的探究，需要找到方法，尋找通項，因此要注重培養(yǎng)學生尋找規(guī)律題背后的幾何知識，然后從中找到解題的關鍵.（三）培養(yǎng)類比探究能力一般規(guī)律探索題，都會從特殊過渡到一般情況，因此要讓學生養(yǎng)成初步探究特殊情況的習慣，然后通過類比的方法來找到一般情況下的結(jié)論.復習策略2規(guī)律探索題例題賞析1例5（2013.湖州23）一節(jié)數(shù)學課后，老師布置了一道課后練習題：如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于點O，點P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點E，求證：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答.本題證明的思路可用下列框圖表示：根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程．（2）特殊位置，證明結(jié)論若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD．

（3）知識遷移，探索新知若點P是一個動點，點P運動到OC的中點P′時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D′，請直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關系．（不必寫解答過程）

推理探究題框圖展示推理過程試題分析：考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點的綜合應用，主要考查學生的推理和計算能力．（2015.湖州23）問題背景：已知在△ABC中，AB邊上的動點D由A向B運動(與A，B不重合)，點E與點D同時出發(fā)，由點C沿BC的延長線方向運動(E不與C重合)，連結(jié)DE交AC于點F，點H是線段AF上一點.(1)初步嘗試：如圖1，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點D，E的運動速度相等，求證：HF=AH+CF.小王同學發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問題：思路一：過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證GH=AH，再證GF=CF，從而證得結(jié)論成立.思路二：過點E作EM⊥AC，交AC的延長線于點M，先證CM=AH，再證HF=MF，從而證得結(jié)論成立.請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程。(2)類比探究：如圖2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且點D，E的運動速度之比是

：1，求

的值..(3)延伸拓展：如圖3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，記=m，且點D、E的運動速度相等，試用含m的代數(shù)式表示(直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程).

推理探究題給出思路，考查綜合分析能力例6（2017.湖州22）已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．（1）如圖1，E，G分別是OB，OC上的點，CE與DG的延長線相交于點F．若DF⊥CE，求證：OE=OG；（2）如圖2，H是BC上的點，過點H作EH⊥BC，交線段OB于點E，連結(jié)DH交CE于點F，交OC于點G．若OE=OG，①求證：∠ODG=∠OCE；②當AB=1時，求HC的長．

推理探究題試題分析：（1）（2）兩小問條件、結(jié)論互換，但用全等解題的方法不變；最后一問考查相似三角形的知識，利用方程思想解題.例題賞析1（2018.紹興23）小敏思考解決如下問題：原題：如圖1，點P，Q分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，∠PAQ=∠B，求證AP=AQ．（1）小敏進行探索，若將點P，Q的位置特殊化：把∠PAQ繞點A旋轉(zhuǎn)得到∠EAF，使AE⊥BC，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，如圖2，此時她證明了AE=AF.請你證明.（2）受以上（1）的啟發(fā)，在原題中，添加輔助線：如圖3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).請你繼續(xù)完成原題的證明.（3）如果在原題中添加條件：AB=4，∠B=60°，如圖1，請你編制一個計算題（不標注新的字母），并直接給出答案。

推理探究題試題分析：圖形改變，但方法不變，借助（1）問的方法幫助解決第（2）問，第（3）問設置開放題型，充分考查學生的知識運用、拓展能力.例題賞析1例7（2017.寧波16）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=2，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F，G分別在邊AB，AD上，則cos∠EFG的值為

▲

．

推理探究題試題分析：考查折疊帶來的邊、角不變性，折痕是中垂線、角平分線等情況，是考查菱形、三角函數(shù)相結(jié)合的綜合型問題.(第18題圖)AFGBCDE（2016.湖州24）數(shù)學活動課上，某學習小組對有一內(nèi)角為120°的平行四邊形ABCD（∠BAD=120°）進行探究：將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，且60°角的頂點始終與點C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點E，F(xiàn)（不包

括線段的端點）．（1）初步嘗試：如圖1，若AD=AB，求證：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；（2）類比發(fā)現(xiàn)：如圖2，若AD=2AB，過點C作CH⊥AD于點H，求證：AE=2FH；（3）深入探究：

如圖3，若AD=3AB，探究得：

的值為常數(shù)t，則t=

．

試題分析：考查旋轉(zhuǎn)帶來的條件不變后的三角形全等，小題之間條件發(fā)生變化，但方法幾乎不變，重在考查學生的探究能力.推理探究題（2019.南潯一模16）如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，動點N從點C出發(fā)，沿著CA方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動，同時動點M從點A出發(fā)，沿著AB方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動，設運動時間為t秒（0＜t≤2.5），以M為圓心，MA長為半徑的⊙M與AB的另一個交點為點D，連結(jié)DN．當⊙M與線段DN只有一個公共點時，t的取值范圍是▲.

推理探究題（第16題圖）試題分析：考查三角形相似、等腰三角形、相切等知識，以及動態(tài)過程中的特殊位置時刻，考查學生的探究、作圖、分析能力.復習策略2推理探究題（一）培養(yǎng)邏輯推理能力教學中重視培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，平時可以多以思維框圖的形式與學生一起分析推理過程.（二）培養(yǎng)綜合運用能力幾何綜合題中知識點涉及較多，因此學生要充分用到每一個條件，平時讓學生養(yǎng)成劃出條件，分析每一條件得出相關結(jié)論的習慣.（三）培養(yǎng)動手畫圖能力具體解題時，當條件分析不清楚或者找不到方法時，可以建議學生根據(jù)條件重新畫圖，這樣能更好的審題，并且在這個過程中可能會找到解題的關鍵，因此要培養(yǎng)學生動手畫圖的能力.例題賞析1例9（南潯期末16）如圖，已知點D，E是半圓O上的三等分點，C是圓上的一個動點，連結(jié)AC和BC，點I是△ABC的內(nèi)心，若⊙O的半徑為3，當點C從點D運動到點E時，點I隨之運動形成的路徑長是▲．

動態(tài)軌跡題試題分析：不變量：I是內(nèi)心，因此∠AIB的角度固定，因此可以找到I的軌跡是圓弧.（第16題圖）例題賞析1例10（2017.嘉興16）一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與EF重合，BC＝EF＝12cm（如圖1），點G為邊BC（EF）的中點，邊FD與AB相交于點H，此時線段BH的長是

▲

．現(xiàn)將三角板DEF繞點G按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），在

從0°到60°的變化過程中，點H相應移動的路徑長共為

▲

．（結(jié)果保留根號）

動態(tài)軌跡題試題分析：根據(jù)AB是確定的線段，以及H始終在AB上運動，判斷H點的運動路徑是線段，考慮運動過程中的起點終點找到路線，然后求解.考查直角三角形、勾股定理、全等三角形、相似三角形等內(nèi)容，考查轉(zhuǎn)化思想