數(shù)學(xué)選修2-1第一章常用邏輯用語典型例題含解析

一．知識(shí)點(diǎn)回顧：1、命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題;復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題.常用小寫的拉丁字母，，，，……表示命題.2、四種命題及其相互關(guān)系四種命題的真假性之間的關(guān)系：⑴、兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；⑵、兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．3、充分條件、必要條件與充要條件⑴、一般地，如果已知，那么就說：是的充分條件，是的必要條件；若，則是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件．⑵、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區(qū)分命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系：Ⅰ、從邏輯推理關(guān)系上看：①若，則是充分條件，是的必要條件；②若，但，則是充分而不必要條件;③若，但，則是必要而不充分條件;④若且，則是的充要條件；⑤若且，則是的既不充分也不必要條件.Ⅱ、從集合與集合之間的關(guān)系上看：已知滿足條件，滿足條件：①若,則是充分條件；②若,則是必要條件；③若AB，則是充分而不必要條件;④若BA，則是必要而不充分條件;⑤若，則是的充要條件；⑥若且，則是的既不充分也不必要條件.4、復(fù)合命題⑴復(fù)合命題有三種形式：或（）；且（）；非（）.⑵復(fù)合命題的真假判斷“或”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：一真必真；“且”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：一假必假；“非”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：真假相對(duì).5、全稱量詞與存在量詞⑴全稱量詞與全稱命題短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.⑵存在量詞與特稱命題短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.⑶全稱命題與特稱命題的符號(hào)表示及否定①全稱命題：，它的否定：全稱命題的否定是特稱命題．②特稱命題：，它的否定：特稱命題的否定是全稱命題.二．典題訓(xùn)練：【例1】判斷下列命題的真假．(1)若x∈A∪B，則x∈B的逆命題與逆否命題；(2)若0<x<5，則|x－2|<3的否命題與逆否命題；(3)設(shè)a、b為非零向量，如果a⊥b，則a·b＝0的逆命題和否命題．例8.已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根的充要條件．例題解析：例1解(1)若x∈A∪B，則x∈B是假命題，故其逆否命題為假，逆命題為若x∈B，則x∈A∪B，為真命題．(2)∵0<x<5，∴－2<x－2<3，∴0≤|x－2|<3.原命題為真，故其逆否命題為真．否命題：若x≤0或x≥5，則|x－2|≥3.例如當(dāng)x＝－eq\f(1,2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－2))＝eq\f(5,2)<3.故否命題為假．(3)原命題：a，b為非零向量，a⊥b?a·b＝0為真命題．逆命題：若a，b為非零向量，a·b＝0?a⊥b為真命題．否命題：設(shè)a，b為非零向量，a不垂直b?a·b≠0也為真．例2解若a＝－1，b＝eq\f(1,2)，則Δ＝a2－4b<0，關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0無實(shí)根，故pq.若關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0有兩個(gè)小于1的正根，不妨設(shè)這兩個(gè)根為x1、x2，且0<x1≤x2<1，則x1＋x2＝－a，x1x2＝b.于是0<－a<2,0<b<1，即－2<a<0,0<b<1，故q?p.所以，p是q的必要不充分條件．【例3】解設(shè)A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a<x<a，a<0}．B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x<－4或x≥－2}．∵綈p是綈q的必要不充分條件，∴q是p的必要不充分條件．∴AB，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－4,a<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥－2,a<0))，解得－eq\f(2,3)≤a<0或a≤－4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－4]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0)).【例4】：解(1)3≠2，真命題；(2)5≤4，假命題；(3)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，x≤0，真命題；(4)所有質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)，假命題．例5.解∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的兩個(gè)實(shí)根，則x1＋x2＝m且x1x2＝－2，∴|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(m2＋8)，當(dāng)m∈[－1,1]時(shí)，|x1－x2|max＝3，由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈[－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.所以命題p為真命題時(shí)，a≥6或a≤－1.命題q：不等式ax2＋2x－1>0有解，當(dāng)a>0時(shí)，顯然有解；當(dāng)a＝0時(shí)，2x－1>0有解；當(dāng)a<0時(shí)，∵ax2＋2x－1>0有解，∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，從而命題q：不等式ax2＋2x－1>0有解時(shí)a>－1.又命題q為假命題，∴a≤－1.綜上得，若p為真命題且q為假命題則a≤－1.例6.解方法一(直接法)逆否命題：已知a、x為實(shí)數(shù)，如果a<1，則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集．判斷如下：二次函數(shù)y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2圖象的開口向上，判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0.即二次函數(shù)y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2與x軸無交點(diǎn)，∴關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集，故逆否命題為真．方法二(先判斷原命題的真假)∵a、x為實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥eq\f(7,4)，∵a≥eq\f(7,4)>1，∴原命題為真．又∵原命題與其逆否命題等價(jià)，∴逆否命題為真．方法三(利用集合的包含關(guān)系求解)命題p：關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集．命題q：a≥1.∴p：A＝{a|關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有實(shí)數(shù)解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≥\f(7,4)))，q：B＝{a|a≥1}．∵A?B，∴“若p，則q”為真，∴“若p，則q”的逆否命題“若綈q，則綈p”為真．即原命題的逆否命題為真．例7．解綈p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))>2，解得x<－2，或x>10，A＝{x|x<－2，或x>10}．綈q：x2－2x＋1－m2>0，解得x<1－m，或x>1＋m，B＝{x|x<1－m，或x>1＋m}．∵綈p是綈q的必要非充分條件，∴BA，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2,1