數(shù)學(xué)課件（新人教B版）第二章23函數(shù)的奇偶性周期性

函數(shù)的奇偶性、

周期性第二章函數(shù)1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于_____對(duì)稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且_____________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于_____對(duì)稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點(diǎn)2.周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都滿足____________，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它的所有周期中存在一個(gè)_____的正數(shù)，那么這個(gè)___________就稱為f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小的正數(shù)1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.(

)(2)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).(

)(3)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù).(

)(4)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則kT(k∈N＋)也是函數(shù)的一個(gè)周期.(

)√×××1.若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上A.單調(diào)遞增，且有最小值f(1)B.單調(diào)遞增，且有最大值f(1)C.單調(diào)遞減，且有最小值f(2)D.單調(diào)遞減，且有最大值f(2)√偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減，則由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則有f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，即有最小值為f(1)，最大值為f(2).對(duì)照選項(xiàng)，A正確.2.已知函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，有f(x)＝x＋2x，則f(－2)＝____.－6因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，有f(x)＝x＋2x，所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，若f(1)＝1，則f(2023)＝_____.－1因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，所以f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.探究核心題型第二部分例1

(多選)下列命題中正確的是A.奇函數(shù)的圖象一定過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)B.函數(shù)y＝xsinx是偶函數(shù)C.函數(shù)y＝|x＋1|－|x－1|是奇函數(shù)D.函數(shù)y＝

是奇函數(shù)√題型一函數(shù)奇偶性的判斷√對(duì)于A，只有奇函數(shù)在x＝0處有定義時(shí)，函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，所以A不正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)y＝xsinx的定義域?yàn)镽且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，所以B正確；對(duì)于C，函數(shù)y＝|x＋1|－|x－1|的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以C正確；所以該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以D不正確.判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則即為非奇非偶函數(shù).(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

已知函數(shù)f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，則下列結(jié)論正確的是A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)√選項(xiàng)A，f(x)g(x)＝(ex＋e－x)sinx，f(－x)g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(ex＋e－x)sinx＝－f(x)g(x)，是奇函數(shù)，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，|f(x)|g(x)＝|sinx|(ex＋e－x)，|f(－x)|g(－x)＝|sin(－x)|(e－x＋ex)＝|sinx|(ex＋e－x)＝|f(x)|g(x)，是偶函數(shù)，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，f(x)|g(x)|＝|ex＋e－x|sinx，f(－x)|g(－x)|＝|e－x＋ex|sin(－x)＝－|ex＋e－x|sinx＝－f(x)|g(x)|，是奇函數(shù)，判斷正確；選項(xiàng)D，|f(x)g(x)|＝|(ex＋e－x)sinx|，|f(－x)g(－x)|＝|(e－x＋ex)sin(－x)|＝|(ex＋e－x)sinx|＝|f(x)g(x)|，是偶函數(shù)，判斷錯(cuò)誤.命題點(diǎn)1利用奇偶性求值(解析式)例2

(1)(2023·福州模擬)已知函數(shù)f(x)＝

為偶函數(shù)，則2a＋b等于題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用√由已知得，當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(－x)＝－ax3＋b，∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即x3＋1＝－ax3＋b，∴a＝－1，b＝1，(2)(2023·呂梁模擬)已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋x－1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)等于－x－x－－x＋x＋1C.－2－x－x－1 D.－2－x＋x＋1當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1.√命題點(diǎn)2利用奇偶性解不等式例3

函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝0.則不等式

>0的解集為A.(－2,2)B.(－∞，0)∪(0,2)C.(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)√由于f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝0，所以f(x)的大致圖象如圖所示.由于x在分母位置，所以x≠0，當(dāng)x<0時(shí)，只需f(x)<0，由圖象可知x<－2；當(dāng)x>0時(shí)，只需f(x)>0，由圖象可知x>2；綜上，不等式的解集為(－∞，－2)∪(2，＋∞).(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫(huà)出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋x3＋

＋3，若f(a)＝1，則f(－a)等于A.1 B.3√(2)已知函數(shù)f(x)＝log2(|x|＋1)，若f(log2x)<f(2)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是√依題意，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，則f(log2x)<f(2)等價(jià)于|log2x|<2，∴－2<log2x<2，(3)(2021·新高考全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝____.1方法一

(定義法)因?yàn)閒(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域?yàn)镽，且是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)對(duì)任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)對(duì)任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0對(duì)任意的x∈R恒成立，所以a＝1.方法二

(取特殊值檢驗(yàn)法)因?yàn)閒(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域?yàn)镽，且是偶函數(shù)，解得a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數(shù)，所以a＝1.方法三

(轉(zhuǎn)化法)由題意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域?yàn)镽，且是偶函數(shù).設(shè)g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因?yàn)間(x)＝x3為奇函數(shù)，所以h(x)＝a·2x－2－x為奇函數(shù)，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數(shù)，所以a＝1.題型三函數(shù)的周期性√∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，又∵f(2－x)＝－f(x)，∴f(2－x)＝－f(－x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為4，(2)設(shè)f(x)是定義在R上周期為4的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則函數(shù)f(x)在[2,4]上的解析式為_(kāi)______________________.f(x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]根據(jù)題意，設(shè)x∈[2,4]，則x－4∈[－2,0]，則有4－x∈[0,2]，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)為周期為4的偶函數(shù)，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]，則有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2,4].(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練3

(多選)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其周期為4，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－2，則A.f(2023)＝0B.f(x)的值域?yàn)閇－1,2]C.f(x)在[4,6]上單調(diào)遞減D.f(x)在[－6,6]上有8個(gè)零點(diǎn)√√f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正確；當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－2單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇－1,2]，由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)閇－1,2]，所以B正確；當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－2單調(diào)遞增，又函數(shù)的周期是4，所以f(x)在[4,6]上單調(diào)遞增，所以C錯(cuò)誤；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函數(shù)的周期為4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6,6]上有6個(gè)零點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤.課時(shí)精練第三部分1.(多選)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是A.y＝2x3＋4x B.y＝x＋sin(－x)C.y＝log2|x| D.y＝2x－2－x1234567891011121314√基礎(chǔ)保分練√√1234567891011121314對(duì)于A，定義域?yàn)镽，且f(－x)＝－2x3－4x＝－f(x)，故為奇函數(shù)，又y′＝6x2＋4>0，所以y＝2x3＋4x在(0,1)上單調(diào)遞增，故A滿足題意；對(duì)于B，定義域?yàn)镽，f(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，故為奇函數(shù)，又y′＝1－cosx≥0，且y′不恒為0，所以y＝x＋sin(－x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故B滿足題意；對(duì)于C，定義域?yàn)閧x|x≠0}，f(－x)＝log2|x|＝f(x)，故為偶函數(shù)，故C不滿足題意；1234567891011121314對(duì)于D，定義域?yàn)镽，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，為奇函數(shù)，又y′＝2xln2＋2－xln2>0，所以y＝2x－2－x在(0,1)上單調(diào)遞增，故D滿足題意.2.(2023·聊城模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則“f(x)是偶函數(shù)”是“|f(x)|是偶函數(shù)”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√12345678910111213141234567891011121314偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)這一特征，若f(x)是偶函數(shù)，則|f(x)|是偶函數(shù)，若f(x)是奇函數(shù)，|f(x)|也是偶函數(shù)，所以“f(x)是偶函數(shù)”是“|f(x)|是偶函數(shù)”的充分不必要條件.√12345678910111213141234567891011121314∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又f(x)在R上的周期為2，12345678910111213144.(2022·亳州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋log2|x|，a＝f(2－)，b＝f(lgπ)，c＝f(log6)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<b<a√2－<20＝1，lgπ>0，log6<0，因?yàn)閒(－x)＝(－x)2＋log2|－x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，所以只需判斷2－，lgπ，－log6的大小即可，所以－log6>1>2－>lgπ>0，當(dāng)x>0時(shí)，y＝x2，y＝log2x都單調(diào)遞增，所以f(x)＝x2＋log2|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以c＝f(log6)＝f(－log6)>a＝f(2－)>b＝f(lgπ).123456789101112131412345678910111213145.(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝

，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1√12345678910111213146.(多選)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)?x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝log2(2－x)，則下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為4B.f(2022)＝1C.當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)＝－log2(4－x)D.函數(shù)f(x)在[0,2021]內(nèi)有1010個(gè)零點(diǎn)√√1234567891011121314∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)?x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)的周期為4，故A正確；f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－1，故B錯(cuò)誤；當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，x－2∈[0,1]，則f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正確；1234567891011121314易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2019)＝f(2021)＝0，于是函數(shù)f(x)在[0,2021]內(nèi)有1011個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.7.寫(xiě)出一個(gè)定義域?yàn)镽，周期為π的偶函數(shù)f(x)＝__________________.1234567891011121314cos2x(答案不唯一)8.若函數(shù)f(x)＝ex－e－x，則不等式f(lnx)＋f(lnx－1)>0的解集是__________.1234567891011121314因?yàn)閒(x)＝ex－e－x，定義域?yàn)镽，且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故其為奇函數(shù)，又y＝ex，y＝－e－x均為增函數(shù)，故f(x)為R上的增函數(shù)，(1)求實(shí)數(shù)m的值；12345678910111213141234567891011121314設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1234567891011121314所以1<a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3].10.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x).當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；1234567891011121314∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).∴f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，求f(x)的解析式；12345678910111213141234567891011121314當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.從而求得x∈[2,4]時(shí)，f(x)＝x2－6x＋8.(3)計(jì)算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023).1234567891011121314f(0)＝0,f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝0.11.(2023·廊坊模擬)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足：?x，y∈R，f(x＋y)＋