高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊復(fù)數(shù)的三角表示式

引言：前面我們已經(jīng)學(xué)習了復(fù)數(shù)a+bi及其四則運算，本節(jié)我們來研究復(fù)數(shù)的另一種重要表示形式——復(fù)數(shù)的三角表示.問題1：前面我們已經(jīng)學(xué)習了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，請同學(xué)們回憶下它們分別是什么？一、溫故知新奠定基礎(chǔ)復(fù)數(shù)z＝a＋bi

復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)

一一對應(yīng)復(fù)數(shù)z＝a＋bi

平面向量

一一對應(yīng)追問1：你能在復(fù)平面內(nèi)用平面向量表示z＝a＋bi嗎？abZ:a＋bi追問2：已知平面向量,能唯一確定與之對應(yīng)的復(fù)數(shù)z嗎？為什么？一、溫故知新奠定基礎(chǔ)二、引導(dǎo)探究得出概念問題2：我們知道復(fù)數(shù)z＝a＋bi可以由向量的坐標唯一確定，向量既可以由它的坐標唯一確定，也可以由它的大小和方向唯一確定，觀察分析圖1，能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復(fù)數(shù)呢？你認為如何表示？abZ:a＋bi圖1追問1：為了解決問題2，首先應(yīng)研究什么？追問2：如何用文字表述角θ呢？θ追問3：你能用向量的模，以及以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線為終邊的角θ來表示復(fù)數(shù)z嗎？r二、引導(dǎo)探究得出概念abZ:a＋bi圖1θr由復(fù)數(shù)z＝a＋bi的向量表示，易得追問4：角θ的終邊落在第二、三、四象限時，上式也成立嗎？二、引導(dǎo)探究得出概念復(fù)數(shù)的三角形式一般地，任何一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)模輻角三角形式r是復(fù)數(shù)的模；θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量所在射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角.r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式.a＋bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.二、引導(dǎo)探究得出概念問題3：一個復(fù)數(shù)的輻角的值有多少個？abZ:a＋bi圖1θr追問1：這些輻角的值之間有什么關(guān)系呢？無限多個相差2π的整數(shù)倍追問2：若復(fù)數(shù)為0，它的輻角是哪個角？復(fù)數(shù)0對應(yīng)零向量，零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的，而不是0.二、引導(dǎo)探究得出概念問題4：在研究問題時，復(fù)數(shù)輻角的多值性有時會給我們帶來不便，為了使任意一個非0復(fù)數(shù)有唯一確定的“值”作為其所有輻值的代表，你認為規(guī)定這種“值”在哪個范圍內(nèi)比較合適？追問：一個非零復(fù)數(shù)輻角的主值有多少個？有且只有一個0≤θ<π三、概念辨析加深理解問題5：是三角表示式嗎？說出你的理由.例題1：判斷下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.復(fù)數(shù)的三角形式r(cosθ+isinθ)例題2：畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式.例題3：分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個輻角，畫出它們對應(yīng)向量的，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式.四、概念應(yīng)用鞏固新知問題6：兩個用代數(shù)形式表示的非零復(fù)數(shù)相等的條件是什么？兩個用三角形式表示的非零復(fù)數(shù)在什么條件下相等呢？四、概念應(yīng)用鞏固新知兩個復(fù)數(shù)相等兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量相等兩個向量的長度相等且方向相同兩個復(fù)數(shù)的模相等且輻角主值相等五、課堂小結(jié)1、回顧并敘述得出復(fù)數(shù)三角形式的研究思路和基本過程，并說說研究方法？2、復(fù)數(shù)三角表示式的基本結(jié)構(gòu)特點式什么？輻角和輻角的主值的概念和特點是什么？3、三角形式表示的兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？它是怎么得出的？六、目標檢測