河南周口市2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題含解析

河南周口市2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，都是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2．若直線l的傾斜角是鈍角，則l的方程可能是（）A. B.C. D.3．已知向量是兩兩垂直的單位向量，且，則（）A.5 B.1C.-1 D.74．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則的解集為（）A. B.C. D.5．直線過(guò)雙曲線：的右焦點(diǎn)，在第一、第四象限交雙曲線兩條漸近線分別于P，Q兩點(diǎn)，若∠OPQ＝90°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則OPQ內(nèi)切圓的半徑為（）A. B.C.1 D.6．給出命題：若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不過(guò)第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）A.3 B.2C.1 D.07．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（）A. B.2C. D.8．與直線平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.9．設(shè)，直線與直線平行，則（）A. B.C. D.10．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（）A. B.C. D.11．已知，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.C.2 D.12．“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個(gè)球表面積為，則該球的半徑為____________14．定義在R上的函數(shù)滿足，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則滿足的a的取值范圍是__________.15．若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為______.16．由曲線圍成的圖形的面積為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，△ABC中，，，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C，M，與BC交于點(diǎn)N），將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體（1）求該幾何體中間一個(gè)空心球表面積的大??；（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積18．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，為中點(diǎn)，且平面.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，求的值.19．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線與直線垂直，求a的值.20．（12分）已知幾何體中，平面平面，是邊長(zhǎng)為4的菱形，，是直角梯形，，，且（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其中P為E的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且（1）求拋物線E的方程；（2）過(guò)的直線與E交于C，D兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可得正確選項(xiàng).【題目詳解】若，則，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，滿足，但，無(wú)意義得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.2、A【解題分析】根據(jù)直線方程，求得直線斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，即可判斷和選擇.【題目詳解】若直線的傾斜角為，則，當(dāng)時(shí)，為鈍角，當(dāng)，，當(dāng)，為銳角；當(dāng)不存在時(shí)，傾斜角為，對(duì)A：，顯然傾斜角為鈍角；對(duì)B：，傾斜角為銳角；對(duì)C：，傾斜角為銳角；對(duì)D：不存在，此時(shí)傾斜角為直角.故選：A.3、B【解題分析】根據(jù)單位向量的定義和向量的乘法運(yùn)算計(jì)算即可.【題目詳解】因?yàn)橄蛄渴莾蓛纱怪钡膯挝幌蛄?，且所?故選：B4、A【解題分析】令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷其單調(diào)性，從而可解不等式.【題目詳解】設(shè)，則，故為上的增函數(shù)，而可化為即，故即，所以不等式的解集為，故選：A.5、B【解題分析】根據(jù)漸近線的對(duì)稱性，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、正切的二倍角公式、直角三角形內(nèi)切圓半徑公式進(jìn)行求解即可.【題目詳解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，雙曲線的漸近線方程為：，因此，因?yàn)椤螼PQ＝90°，所以三角形是直角三角形，，而，解得：，由雙曲線漸近線的對(duì)稱性可知：，于是有，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，設(shè)OPQ內(nèi)切圓的半徑為，于是有：，即，故選：B【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6、C【解題分析】若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不過(guò)第四象限，原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題；其逆命題為：若函數(shù)的圖象不過(guò)第四象限，則函數(shù)是冪函數(shù)是假命題，所以原命題的否命題也是假命題.故它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題有一個(gè)．選C7、A【解題分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平面幾何性質(zhì)，建立關(guān)于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線的離心率得選項(xiàng).【題目詳解】由題意可設(shè)右焦點(diǎn)為，因?yàn)?，且圓：，所以點(diǎn)在以焦距為直徑的圓上，則，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則為的中位線，所以，則，又點(diǎn)在漸近線上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：(1)求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍（2）對(duì)于焦點(diǎn)三角形，要注意雙曲線定義的應(yīng)用，運(yùn)用整體代換的方法可以減少計(jì)算量8、C【解題分析】由直線平行及直線所過(guò)的點(diǎn)，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.【題目詳解】與直線平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C9、C【解題分析】根據(jù)直線平行求解即可.【題目詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故選：C10、B【解題分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，可得出，利用基本不等式可求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，則，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.11、D【解題分析】根據(jù)給定條件利用空間向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【題目詳解】因，，又，則，解得，所以實(shí)數(shù).故選：D12、A【解題分析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用定義法判斷條件間充分、必要關(guān)系.【題目詳解】當(dāng)，，則，當(dāng)時(shí)，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設(shè)球的半徑為，代入球的表面積公式得答案【題目詳解】解：設(shè)球的半徑為，則，得，即或（舍去）故答案為：14、【解題分析】設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出在上單調(diào)遞減，將問題轉(zhuǎn)化為求解，由的單調(diào)性可得答案.【題目詳解】設(shè)，則由，則所以在上單調(diào)遞減.又由，即，即，所以故答案為：15、【解題分析】設(shè)圓錐的高為，可得出圓錐的母線長(zhǎng)為，以及圓錐的底面半徑為，利用圓錐的側(cè)面積公式求出的值，再利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)圓錐的高為，由于圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，則軸截面三角形的底角為，故該圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，可得，因此，該圓錐的體積為.故答案為：.16、【解題分析】曲線圍成的圖形關(guān)于軸，軸對(duì)稱，故只需要求出第一象限的面積即可.【題目詳解】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于關(guān)于軸，軸對(duì)稱，因此只需求出第一象限的面積即可.當(dāng)，時(shí)，曲線可化為：，在第一象限為弓形，其面積為，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的軸截面圖，根據(jù)已知條件求球的半徑與長(zhǎng)，再利用球體、圓錐的面積、體積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】連接，則，設(shè)，在中，，；【小問2詳解】，∴圓錐球.18、（1）（2）線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.【解題分析】（1）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由，由體積法可得答案.（2）由（1）連接,可得則從而平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明平面平面，從而可得出答案.【小問1詳解】由，，為中點(diǎn)，則由平面，平面,則又，且,則平面又，則平面,且都在平面內(nèi)所以所以,取的中點(diǎn)，連接，則,所以,所以所以所以則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由即,即【小問2詳解】線段上是否存在一點(diǎn)，使平面.由（1）連接,則四邊形為平行四邊形，則過(guò)點(diǎn)作交于，則為中點(diǎn)，則為的中點(diǎn),即又平面，則平面過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則,即又平面,所以平面又，所以平面平面又平面,所以平面所以線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.19、（1）（2）【解題分析】（1）聯(lián)立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據(jù)兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【題目詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，∴，∵平面平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，又，、平面，∴平面，∵平面，∴（2）解：取的中點(diǎn)，連接，∵是邊長(zhǎng)為4的菱形，，∴，，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，∴，同理可得，平面的一個(gè)法向量為，∴，由圖知，平面與平面所成角為銳角，故平面與平面所成角余弦值為21、（1），；（2）【解題分析】（1）由已知利用遞推公式，可得，代入分別可求數(shù)列的首項(xiàng)，公比，從而可求.（2）由（1）可得，利用乘“公比”錯(cuò)位相減法求和【題目詳解】解：(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)式為設(shè)的公比為，由已知條件知，，，所以，，即(2)，兩式相減得：【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求法，錯(cuò)位相減法求數(shù)列通項(xiàng)，屬于中檔題