山東省即墨一中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

山東省即墨一中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．點分別為橢圓左右兩個焦點，過的直線交橢圓與兩點，則的周長為（）A.32 B.16C.8 D.42．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A B.C. D.3．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是A.B.C.D.5．等比數(shù)列的公比，中有連續(xù)四項在集合中，則等于（）A. B.C D.6．宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生"的問題，松長三尺，竹長一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等，如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的，分別為3，1，則輸出的等于A.5 B.4C.3 D.27．已知雙曲線漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.48．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.9．在正三棱錐中，，且，M，N分別為BC，AD的中點，則直線AM和CN夾角的余弦值為（）A. B.C. D.10．命題“，都有”的否定為（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得11．以下命題是真命題的是（）A.方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是刻畫樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計量B.若m為數(shù)據(jù)（i=1，2，3，····，2021）的中位數(shù)，則C.回歸直線可能不經(jīng)過樣本點的中心D.若“”為假命題，則均為假命題12．設(shè)雙曲線的虛軸長為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為___________.14．在△ABC中，，AB=3，，則________15．已知函數(shù)，則函數(shù)在上的最大值為_______16．若直線與直線平行，則實數(shù)m的值為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和為.18．（12分）已知直線l過點A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點P，Q，且|PQ|＝8，求圓C的方程19．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)的零點個數(shù)20．（12分）已知雙曲線C的方程為（），離心率為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線交曲線于兩點，求的取值范圍.21．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍22．（10分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標(biāo)原點，為橢圓的左頂點，動直線過線段的中點，且與橢圓相交于、兩點．已知當(dāng)直線的傾斜角為時，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點，且點總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由題意結(jié)合橢圓的定義可得，而的周長等于，從而可得答案【題目詳解】解：由得，由題意得，所以的周長等于，故選：B2、D【解題分析】根據(jù)拋物線方程求出，進(jìn)而可得焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程.【題目詳解】由可得，所以焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，故選：D.3、B【解題分析】求得中的取值范圍，由此確定充分、必要條件.【題目詳解】，，所以“”是“”的充要條件.故選：B4、C【解題分析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個式子均有2n-1項，且第一項為n，則最后一項為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）5、C【解題分析】經(jīng)分析可得，等比數(shù)列各項的絕對值單調(diào)遞增，將五個數(shù)按絕對值的大小排列，計算相鄰兩項的比值，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解.【題目詳解】因為等比數(shù)列中有連續(xù)四項在集合中，所以中既有正數(shù)項也有負(fù)數(shù)項，所以公比，因為，所以，且負(fù)數(shù)項為相隔兩項，所以等比數(shù)列各項的絕對值單調(diào)遞增，按絕對值排列可得，因，，，，所以是中連續(xù)四項，所以，故選：C.6、B【解題分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【題目詳解】解：當(dāng)n＝1時，a＝3，b＝2，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝2時，a，b＝4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝3時，a，b＝8，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝4時，a，b＝16，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選：B【題目點撥】本題考查的知識點是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答7、A【解題分析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值【題目詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.8、A【解題分析】根據(jù)空間向量的線性運算法則——三角形法，準(zhǔn)確運算，即可求解.【題目詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.9、B【解題分析】由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【題目詳解】因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為，所以,因為M，N分別為BC，AD的中點，所以，所以，設(shè)直線AM和CN所成的角為，則,所以直線AM和CN夾角的余弦值為，故選：B10、A【解題分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷【題目詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題“，都有”的否定為：，使得故選：A11、A【解題分析】A：根據(jù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義進(jìn)行判斷；B：根據(jù)中位數(shù)的定義判斷；C：根據(jù)回歸直線必過樣本中心點進(jìn)行判斷；D：根據(jù)“且”命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷.【題目詳解】對于A，方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是刻畫樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計量，故A正確；對于B，若為數(shù)據(jù)，2，3，，的中位數(shù)，需先將數(shù)據(jù)從小到大排列，此時數(shù)據(jù)里面之間的數(shù)順序可能發(fā)生變化，則為排序后的第1010個數(shù)據(jù)的值，這個數(shù)不一定是原來的，故B錯誤；對于C，回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，，故C錯誤；對于D，若“”為假命題，則、中至少有一個是假命題，故D錯誤；故選：A12、B【解題分析】求出、的值，即可得出雙曲線的漸近線方程.【題目詳解】由已知可得，，則，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】求出等邊的邊長，畫出圖形，判斷D的位置，然后求解即可.【題目詳解】為等邊三角形且其面積為，則，如圖所示，設(shè)點M為的重心，E為AC中點，當(dāng)點在平面上的射影為時，三棱錐的體積最大，此時，，點M為三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱錐體積的最大值故答案為：【題目點撥】思路點睛：本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，要求內(nèi)接三棱錐體積的最大值，底面是面積一定的等邊三角形，需要該三棱錐的高最大，故需要底面，再利用內(nèi)接球，求出高，即可求出體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與數(shù)形結(jié)合思想，及運算能力，屬于中檔題.14、3【解題分析】計算得出，可得出，再利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得結(jié)果.【題目詳解】∵，，，∴故答案為：3.15、【解題分析】利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性求出的單調(diào)性，比較極小值與兩端點，的大小求出在上的最大值.【題目詳解】因為，則，令，即時，函數(shù)單調(diào)遞增.令，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值也是函數(shù)的最小值.，兩端點為，，即最大值為.故答案為：.16、【解題分析】利用兩條直線平行的充要條件，列式求解即可【題目詳解】解：因為直線與直線平行，所以，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用可求得結(jié)果；（2）由（1）可得，利用裂項相消法可求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，；經(jīng)檢驗：滿足；綜上所述：.【小問2詳解】由（1）得：，.18、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解題分析】（1）由垂直關(guān)系得過直線l斜率，由點斜式化簡即可求解l的一般式方程；（2）結(jié)合勾股定理建立弦心距（由點到直線距離公式求解），半弦長，圓半徑的基本關(guān)系，解出，即可求解圓C的方程【小問1詳解】因為直線l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+5＝0；【小問2詳解】圓C：x2+y2＝m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0，0）到直線l的距離為，則半徑滿足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圓C：x2+y2＝1719、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點.【解題分析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，易知定義域為R，，當(dāng)時，；當(dāng)或時，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】當(dāng)時，x正0負(fù)0正單增極大值單減極小值單增當(dāng)時，恒成立，∴；當(dāng)時，①當(dāng)時，，∴無零點；②當(dāng)時，，∴有1個零點；③當(dāng)時，，又當(dāng)時，單調(diào)遞增，，∴有2個零點；綜上所述：當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點【題目點撥】結(jié)論點睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用20、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合離心率易，知雙曲線為等軸雙曲線，進(jìn)而可求解；（2）根據(jù)題意，分直線斜率否存在兩種情形討論，結(jié)合設(shè)而不求法以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，由離心率為，知雙曲線是等軸雙曲線，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則由消去，得到，∵直線與雙曲線交于M、N兩點，，解得.設(shè)，則有，，因此，∵，∴且，故或，故；②當(dāng)直線的斜率不存在時，此時，易知，，故.綜上所述，所求的取值范圍是.21、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解題分析】（1）求出，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后討論符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，則有兩個不同的零點，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性并結(jié)合零點存在定理可得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】令，得，記，則，令得，列表得．x0↘極小值↗要使在上有兩個零點，則，所以且函數(shù)在和上各有一個零點當(dāng)時，，，，則，故上無零點，與函數(shù)在上有一個零點矛盾，故不滿足條件所以，又因為，所以考慮，設(shè)，，則，則在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，所以，且，因為，所以，由零點存在定理知在和上各有一個零點綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為【題目點撥】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題：（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究.22、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解題分析】（1）分析可知，，直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可求得的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因為，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點，則點，當(dāng)直線的傾斜角為時，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)