2024屆廣西玉林市福綿高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

2024屆廣西玉林市福綿高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足：，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.2．在正方體中中，，若點(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，且點(diǎn)P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.3．若，則=（）A.244 B.1C. D.4．某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取42人做問卷調(diào)查,將840人按1,2,…,840隨機(jī)編號(hào),則抽取的42人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為A.11 B.12C.13 D.145．已知圓，過點(diǎn)P的直線l被圓C所截，且截得最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度與最短弦的長(zhǎng)度比值為5∶4，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則最大值為（）A.3 B.4C.5 D.66．以軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是（）A. B.C.或 D.或7．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若、、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)到軸的距離為A B.4C. D.8．“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．校慶當(dāng)天，學(xué)校需要在靠墻的位置用圍欄圍起一個(gè)面積為200平方米的矩形場(chǎng)地.用來展示校友的書畫作品.靠墻一側(cè)不需要圍欄，則圍欄總長(zhǎng)最小需要（）米A.20 B.40C. D.10．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是4，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.411．從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車從甲地到乙地，恰好遇到2個(gè)紅燈的概率為（）A. B.C. D.12．有下列三個(gè)命題:①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題;②“若，則”的逆否命題;③“若，則”的否命題.其中真命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________14．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是__________15．同時(shí)擲兩枚骰子，則點(diǎn)數(shù)和為7的概率是__________.16．已知等差數(shù)列中，，，則______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線，圓.（1）若l與圓C相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若l與圓C交于A，B，且，求的面積.18．（12分）函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓外的點(diǎn)在軸的右側(cè)運(yùn)動(dòng)，且到圓上的點(diǎn)的最小距離等于它到軸的距離，記的軌跡為（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，證明：是的中點(diǎn)20．（12分）已知拋物線C:（1）若拋物線C上一點(diǎn)P到F的距離是4，求P的坐標(biāo)；（2）若不過原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線l過定點(diǎn)21．（12分）某企業(yè)2021年年初有資金5千萬元，由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到．每年年底扣除下一年的消費(fèi)基金1.5千萬元后，剩余資金投入再生產(chǎn)．設(shè)從2021年的年底起，每年年底企業(yè)扣除消費(fèi)基金后的剩余資金依次為，，，…（1）寫出，，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）至少到哪一年的年底，企業(yè)的剩余資金會(huì)超過21千萬元？（lg22．（10分）已知函數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】由于，所以利用裂項(xiàng)相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【題目詳解】，故，故恒成立等價(jià)于，即恒成立，化簡(jiǎn)得到，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以故選：D2、A【解題分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，先由，且點(diǎn)P到底面的距離為3，確定點(diǎn)P的位置，然后利用空間向量求解即可【題目詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，因?yàn)?所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫c(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P到底面的距離為3，所以，所以，因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A3、D【解題分析】分別令代入已知關(guān)系式，再兩式求和即可求解.【題目詳解】根據(jù)，令時(shí)，整理得：令x=2時(shí)，整理得:由①+②得，，所以.故選：D.4、B【解題分析】使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人∴從編號(hào)1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接著從編號(hào)481～720共240人中抽取240/20=12人考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣5、C【解題分析】由題意，點(diǎn)P在圓C內(nèi)，且最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度為直徑長(zhǎng)10，則最短弦的長(zhǎng)度為8，進(jìn)而可得，所以點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，從而即可求解.【題目詳解】解：由題意，圓，所以圓C是以為圓心，半徑為5的圓，因?yàn)檫^點(diǎn)P的直線l被圓C所截，且截得最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度與最短弦的長(zhǎng)度比值為5∶4，所以點(diǎn)P在圓C內(nèi)，且最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度為直徑長(zhǎng)10，則最短弦的長(zhǎng)度為8，所以由弦長(zhǎng)公式有，所以點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，所以，故選：C.6、C【解題分析】根據(jù)拋物線的概念以及幾何性質(zhì)即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【題目詳解】依題意設(shè)拋物線方程為因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以，所以，所以拋物線方程或故選：C7、D【解題分析】設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為根據(jù)橢圓方程求得c，進(jìn)而判斷出，即得或令，進(jìn)而可得點(diǎn)P到x軸的距離【題目詳解】解：設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M由于，，；，只能或令，得，故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了橢圓的基本應(yīng)用考查了學(xué)生推理和實(shí)際運(yùn)算能力是基礎(chǔ)題8、A【解題分析】根據(jù)題意，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求出，即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意，由直線與圓相切，知圓心到直線的距離，解得或，因此“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.9、B【解題分析】在出矩形中，設(shè)，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解【題目詳解】如圖所示，在矩形中，設(shè)，則，根據(jù)題意，可得矩形圍欄總長(zhǎng)為因?yàn)椋傻?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，即圍欄總長(zhǎng)最小需要米.故選：B.10、B【解題分析】利用方差的定義即可解得.【題目詳解】由方差的定義，，則，所以數(shù)據(jù)的方差為：.故選：B11、B【解題分析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【題目詳解】由各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，可得某人從甲地到乙地恰好遇到2次紅燈的概率：故選：B12、B【解題分析】①寫出命題的逆命題，可以進(jìn)行判斷為真命題；②原命題和逆否命題真假性相同，而通過舉例得到原命題為假，故逆否命題也為假；③寫出命題的否命題，通過舉出反例得到否命題為假【題目詳解】①“若,則互為相反數(shù)”的逆命題是，若互為相反數(shù),則；是真命題；②“若,則”，當(dāng)a=-1,b=-2,時(shí)不滿足，故原命題為假命題，而原命題和逆否命題真假性相同，故得到命題為假；③“若,則”的否命題是若,則，舉例當(dāng)x=5時(shí)，不滿足不等式，故得到否命題是假命題；故答案為B.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了命題真假的判斷，涉及命題的否定，命題的否命題，逆否命題，逆命題的相關(guān)概念，注意原命題和逆否命題的真假性相同，故需要判斷逆否命題的真假時(shí)，只需要判斷原命題的真假二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，由此可求得答案.【題目詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，則，所以當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.14、【解題分析】利用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出即可.【題目詳解】，∴.故答案為：15、【解題分析】利用古典概型的概率計(jì)算公式即得.【題目詳解】依題意，記拋擲兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)分別為，，則可得到數(shù)組共有組，其中滿足的組數(shù)共有6組，分別為，，，，，，因此所求的概率等于.故答案為：.16、【解題分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得到方程，求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【題目詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以，所以，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）求出直線的定點(diǎn)，再由定點(diǎn)在圓上得出切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由（1）知，證明為直角三角形，求出，，最后由三角形的面積公式求出的面積.【題目詳解】（1）圓可化為直線可化為，由解得即直線過定點(diǎn)，由于，則點(diǎn)在圓上因?yàn)閘與圓C相切，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（2）因?yàn)閘與圓C交于A，B，所以點(diǎn)如下圖所示，與相交于點(diǎn)，由以及圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且由，則直線的方程為圓心到直線的距離為，即直線與圓相切即，則因?yàn)椋浴绢}目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第一問中，關(guān)鍵是先確定直線過定點(diǎn)，再由定點(diǎn)在圓上，從而確定切點(diǎn)的坐標(biāo).18、（1）；（2）.【解題分析】（1）由題設(shè)，原不等式等價(jià)于，分類討論即可得出結(jié)論；（2）不等式對(duì)任意恒成立，即，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，解得，即；當(dāng)時(shí)，恒成立，即；當(dāng)時(shí)，，解得，即；綜上，不等式的解集為；（2），，即或，解得，∴a取值范圍是.19、（1）（2）證明見解析【解題分析】（1）設(shè)點(diǎn)，求得到圓上的最小距離為，根據(jù)題意得到，整理即可求得曲線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然成立；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組求得和，得到，結(jié)合拋物線的定義和方程求得，，結(jié)合，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)點(diǎn)，（其中），由圓，可得圓心坐標(biāo)為，因?yàn)樵趫A外，所以到圓上的點(diǎn)的最小距離為，又由到圓上的點(diǎn)的最小距離等于它到軸的距離，可得，即，整理得，即曲線的方程為【小問2詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得點(diǎn)為拋物線的交點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，顯然滿足是的中點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程，設(shè)，，，則，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)?，且，則，故，由拋物線的定義知，設(shè)，可得，所以，又因?yàn)?，所以，解得，所以，因?yàn)樵诘匚锞€上，所以，即，所以，即是的中點(diǎn)20、（1）（2）見解析【解題分析】（1）由拋物線的定義，可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）可設(shè)直線的方程為，，，，與拋物線聯(lián)立，消，利用韋達(dá)定理求得，，再根據(jù)，可得，從而可求得參數(shù)的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)，，由拋物線的定義可知，即，解得，將代入方程，得，即的坐標(biāo)為；【小問2詳解】證明：由題意知直線不能與軸平行，可設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，消去得，設(shè)，，，則，，由，可得，即，即，即，又，解得，所以直線方程為，當(dāng)時(shí)，，所以直線過定點(diǎn)21、（1），，，證明見解析（2）至少到2026年的年底，企業(yè)的剩余資金會(huì)超過21千萬元【解題分析】（1）由題意可知，，，，再