吉林省長(zhǎng)春市九臺(tái)市第四中學(xué)2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

吉林省長(zhǎng)春市九臺(tái)市第四中學(xué)2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線C1的一條漸近線方程為y=kx，離心率為e1，雙曲線C2的一條漸近線方程為y=x，離心率為e2，且雙曲線C1、C2在第一象限交于點(diǎn)(1，1)，則=（）A.|k| B.C.1 D.22．已知等比數(shù)列{an}中，，，則（）A. B.1C. D.43．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，，，，則點(diǎn)B到平面PCD的距離為（）A. B.C. D.4．已知圓O的半徑為5，，過(guò)點(diǎn)P的2021條弦的長(zhǎng)度組成一個(gè)等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為，則其公差為（）A. B.C. D.5．在正方體中中，，若點(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，且點(diǎn)P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.6．雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.7．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.8．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，且，則的值為（）A. B.C. D.9．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C與A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為（）A. B.C. D.10．已知拋物線上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于（）A.6 B.5C.4 D.211．在中，，，且BC邊上的高為，則滿足條件的的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.012．已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（）A.30 B.29C.28 D.27二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，公差，為其前n項(xiàng)和，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，______14．已知雙曲線的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為1的直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的方程為_________15．直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)，．若，則弦AB的長(zhǎng)是____16．已知命題：平面上一矩形ABCD的對(duì)角線AC與邊AB和AD所成角分別為，則，若把它推廣到空間長(zhǎng)方體中，體對(duì)角線與平面，平面，平面所成的角分別為，則可以類比得到的結(jié)論為___________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?18．（12分）“中山橋”是位于蘭州市中心，橫跨黃河之上的一座百年老橋，如圖①，橋上有五個(gè)拱形橋架緊密相連，每個(gè)橋架的內(nèi)部有一個(gè)水平橫梁和八個(gè)與橫梁垂直的立柱，氣勢(shì)宏偉，素有“天下黃河第一橋”之稱.如圖②，一個(gè)拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的拋物線（部分）組成，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知，，，，立柱.（1）求立柱及橫梁的長(zhǎng)；（2）求拋物線的方程和橋梁的拱高.19．（12分）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，.（1）求B的大?。?）若，，求b.20．（12分）已知在等差數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）已知拋物線：，直線過(guò)定點(diǎn).（1）若與僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；（2）若與交于A，B兩點(diǎn)，直線OA，OB（其中О為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，試探究在，，，中，運(yùn)算結(jié)果是否有為定值的？并說(shuō)明理由.22．（10分）已知橢圓的離心率為，且其左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、在橢圓上，以線段為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，試問(wèn)是否存在定點(diǎn)，使得到直線的距離為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，再由過(guò)點(diǎn)，可知雙曲線方程，從而可求離心率.【題目詳解】由題，設(shè)雙曲線的方程為，又因?yàn)槠溥^(guò)，且可知，不妨設(shè)，代入，得，所以雙曲線的方程為，所以，同理可得雙曲線的方程為，所以可得，所以，當(dāng)時(shí)，結(jié)論依然成立.故選：C2、D【解題分析】設(shè)公比為，然后由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求出，從而可求出，【題目詳解】設(shè)公比為，因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故選：D3、D【解題分析】為中點(diǎn)，連接，易得為平行四邊形，進(jìn)而可知B到平面PCD的距離即為到平面PCD的距離，再由線面垂直的性質(zhì)確定線線垂直，在直角三角形中應(yīng)用勾股定理求相關(guān)線段長(zhǎng)，即可得△為直角三角形，最后應(yīng)用等體積法求點(diǎn)面距即可.【題目詳解】若為中點(diǎn)，連接，又E為PA的中點(diǎn)，所以，，又，，則且，所以為平行四邊形，即，又面，面，所以面，故B到平面PCD的距離，即為到平面PCD的距離，由底面ABCD，面ABCD，即，，，又，即，，則面，面，即，而，，，，易知：，在△中；在△中；在△中；綜上，，故，又，則.所以B到平面PCD的距離為.故選：D4、B【解題分析】可得過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，最短弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【題目詳解】可得過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，，最短弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)P的與垂直的弦，，公差.故選：B.5、A【解題分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，先由，且點(diǎn)P到底面的距離為3，確定點(diǎn)P的位置，然后利用空間向量求解即可【題目詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，因?yàn)?所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，點(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P到底面的距離為3，所以，所以，因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A6、A【解題分析】先將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，再根據(jù)雙曲線漸近線方程求解即可.【題目詳解】解：將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，所以其漸近線方程為：，即.故選：A.7、D【解題分析】根據(jù)互相垂直兩直線的斜率關(guān)系進(jìn)行求解即可.【題目詳解】由，所以直線的斜率為，由，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，故選：D8、B【解題分析】分別過(guò)點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義以及直角三角形的性質(zhì)可求得，結(jié)合已知條件求得，分析出為的中點(diǎn)，進(jìn)而可得出，即可得解.【題目詳解】如圖，分別過(guò)點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，設(shè)，則由己知得，由拋物線的定義得，故，在直角三角形中，，，因?yàn)椋瑒t，從而得，所以，，則為的中點(diǎn)，從而.故選：B.9、A【解題分析】根據(jù)橢圓的定義可得△AF1B的周長(zhǎng)為4a，由題意求出a，結(jié)合離心率計(jì)算即可求出c，再求出b即可.【題目詳解】由橢圓的定義知，△AF1B的周長(zhǎng)為，又△AF1B的周長(zhǎng)為4，則，，，，，所以方程為，故選：A.10、B【解題分析】將點(diǎn)代入拋物線方程求出，再由拋物線的焦半徑公式可得答案.詳解】將點(diǎn)代入拋物線方程可得，解得則故選：B11、B【解題分析】利用等面積法求得，再利用正弦定理求得，利用內(nèi)角和的關(guān)系及兩角和差化積公式，二倍角公式轉(zhuǎn)化為，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求滿足條的的個(gè)數(shù)，即可求解.【題目詳解】由三角形的面積公式知，即由正弦定理知所以，即，即，即利用兩角和的正弦公式結(jié)合二倍角公式化簡(jiǎn)得又，則，，且由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，滿足的有2個(gè)，即滿足條件的的個(gè)數(shù)為2.故選：B12、B【解題分析】由等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【題目詳解】奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，其和為，∴偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng)，其和為，∴故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9或10【解題分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的使用.【題目詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，且，得，得，則有，又因?yàn)?，公差，所以?0時(shí)，取得最大值故答案為：9或1014、【解題分析】根據(jù)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)可知直線與雙曲線平行，由漸近線斜率可列出的齊次方程，利用齊次方程求解.【題目詳解】直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且焦點(diǎn)，直線與雙曲線漸近線平行，，即，，即，.則雙曲線的方程為故答案為：15、4【解題分析】由題意得，再結(jié)合拋物線的定義即可求解.【題目詳解】由題意得，由拋物線的定義知：，故答案為：4.16、【解題分析】先由線面角的定義得到，再計(jì)算的值即可得到結(jié)論【題目詳解】在長(zhǎng)方體中，連接，在長(zhǎng)方體中，平面，所以對(duì)角線與平面所成的角為，對(duì)角線與平面所成的角為,對(duì)角線與平面所成的角為，顯然，，，所以,，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）甲分廠加工出來(lái)的級(jí)品的概率為，乙分廠加工出來(lái)的級(jí)品的概率為；（2）選甲分廠，理由見解析.【解題分析】（1）根據(jù)兩個(gè)頻數(shù)分布表即可求出；（2）根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工件產(chǎn)品的總利潤(rùn)，即可求出平均利潤(rùn)，由此作出選擇【題目詳解】（1）由表可知，甲廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率為，乙廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率為；（2）甲分廠加工件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為元，所以甲分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為元每件；乙分廠加工件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為元，所以乙分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為元每件故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù)【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬于基礎(chǔ)題18、（1），（2），【解題分析】（1）根據(jù)梯形的幾何性質(zhì)，即可求解；（2）表示出M,N的坐標(biāo)，代入拋物線方程中，結(jié)合條件解得p值，繼而求得拱高.【小問(wèn)1詳解】由題意，知,因?yàn)锳BFM是等腰梯形，由對(duì)稱性知:,所以，【小問(wèn)2詳解】由（1）知,所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-18，則N的橫坐標(biāo)為-（18-5）=-13.設(shè)點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，由圖形，知設(shè)拋物線的方程為，，兩式相減，得2p(y2-y1)=182-132=155,解得：2p=100故拋物線的方程為x2=-100y.因此，當(dāng)x=-18時(shí)，所以橋梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.19、（1）；（2）【解題分析】（1）由正弦定理，可得，進(jìn)而可求出和角；（2）利用余弦定理，可得，即可求出.【題目詳解】（1）由，得，因?yàn)椋?，又因?yàn)锽為銳角，所以（2）由余弦定理，可得，解得【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解題分析】（1）設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合條件可得答案.（2）由（1）可得，由錯(cuò)位相減法可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為，由已知得且，解得，，所以的通項(xiàng)公式為【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，所以，兩式相減得：，所以，所以21、（1）或或（2）為定值，而，，均不為定值【解題分析】（1）過(guò)拋物線外一定點(diǎn)的直線恰好與該拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則分兩類分別討論，一是直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，二是直線與拋物線相切；（2）聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理，分別表示出，，，為直線斜率的形式，便可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線可能與拋物線的對(duì)稱軸平行，也可能與拋物線相切，下面分兩種情況討論：當(dāng)直線可能與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，則有：當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，由于點(diǎn)在軸上方，且在拋物線外，則存在兩條直線與拋物線相切：易知：是其中一條直線另一條直線與拋物線上方相切時(shí)，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：則有：解得：故此時(shí)的直線的方程為：綜上，直線的方程為：或或【小問(wèn)2詳解】若與交于A，B兩點(diǎn)，分別設(shè)其坐標(biāo)為，，且由（1）可知直線要與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率存在且不為，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：，即有：根據(jù)韋達(dá)定理可得：，則有：，下面分別說(shuō)明各項(xiàng)是否為定值：，故運(yùn)算結(jié)果為定值；，故運(yùn)算結(jié)果不為定值；，故運(yùn)算結(jié)果不為定值；，故運(yùn)算結(jié)果不為定值.綜上，可得：為定值，而，，均不為定值22、（1）；（2）存在，.【