初中數(shù)學(xué)浙教版八年級下冊特殊平行四邊形5．2菱形“百校聯(lián)賽”一等獎

學(xué)習(xí)目標(biāo)經(jīng)歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判定定理．會用這些菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計算.復(fù)習(xí)回顧有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的定義：一組鄰邊相等平行四邊形菱形邊對角線角菱形的性質(zhì)菱形的兩條對角線互相平分.菱形的兩組對邊平行.菱形的四條邊相等.菱形的兩組對角分別相等.

菱形的鄰角互補(bǔ).菱形的兩條對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角.矩形的判定四邊形平行四邊形矩形平行四邊形的判定對角線相等有一個角是直角有三個角是直角你知道如何判定一個菱形嗎？復(fù)習(xí)回顧知識精講根據(jù)菱形的定義,可得菱形的第一個判定的方法.且AB=AD∵四邊形ABCD是平行四邊形∴四邊形ABCD是菱形幾何語言有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.取一張長方形紙片,對折兩次,并沿圖(3)中的斜線剪開,把剪下的①這部分展開,平鋪在桌面上.(1)(2)(3)①②知識精講根據(jù)折疊，剪裁的過程，這個四邊形的邊具有什么性質(zhì)?四條邊相等.剪出的這個圖形是哪一種四邊形?一個四邊形四條邊具備怎樣的條件，就可以判定它是菱形?菱形四條邊相等的四邊形是菱形.如何證明這一結(jié)論？知識精講證明：在四邊形ABCD中，AB=CD，BC=DA.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形.ABCD已知：四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA.求證：四邊形ABCD是菱形.知識精講判定定理1：四條邊相等的四邊形是菱形.在四邊形ABCD中,∵AB=BC=CD=DA.∴四邊形ABCD是菱形.幾何語言：ABCD知識精講根據(jù)折疊，

剪裁的過程，這個四邊形的對角線具有什么性質(zhì)?一個平行四邊形的對角線具備怎樣的條件，就可以判定它是菱形?對角線互相垂直對角線互相垂直剪裁的四邊形是平行四邊形嗎？是平行四邊形如何證明這一結(jié)論？知識精講已知：在□ABCD中，AC⊥BD．求證：□ABCD是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，又∵

AC⊥BD，∴BA=BC，∴□ABCD是菱形．ABCDO知識精講判定定理2:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.∵在□ABCD中，AC⊥BD．幾何語言：∴□ABCD是菱形．ABCDO知識精講

例1：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線與AD，BC分別交于E，F(xiàn)．求證：四邊形AFCE是菱形．ADCBOEF典例解析證明:∵四邊形ABCD是矩形，∴AE//FC(矩形的定義)．∴∠EAC=∠ACF，又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.∴四邊形是平行四邊形．

(對角線相互平分的四邊形是平行四邊形).∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE是菱形．

(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形).證明：∵∠1=∠2,又∵AE=AC,AD=AD,∴△ACD≌△AED(SAS).

同理△ACF≌△AEF(SAS).∴CD=ED,CF=EF.

又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,∴四邊形ABCD是菱形.例2：

如圖,在△ABC中,AD是角平分線,點(diǎn)E、F分別在AB、

AD上,且AE=AC,EF=ED.求證：四邊形CDEF是菱形.典例解析例3：

如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.將△ABC沿射線BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形．證明：由平移變換的性質(zhì)得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四邊形ACFD是菱形．【點(diǎn)睛】四邊形的條件中存在多個關(guān)于邊的等量關(guān)系時，運(yùn)用四條邊都相等來判定一個四邊形是菱形比較方便．典例解析HGFEDCBA證明：連接AC、BD.∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵點(diǎn)E、F、G、H為各邊中點(diǎn)，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形.例4：如圖，順次連接矩形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是菱形.典例解析

如圖，DF，EF是△ABC的兩條中位線，我們探究的問題是:這兩條中位線和三角形的兩條邊所圍成的四邊形的形狀與原三角形的形狀有什么關(guān)系.建議按下列步驟探索:(1)圍成的四邊形是否必定是平行四邊形?(2)在什么條件下,圍成的四邊形是菱形?ABCDFE必定是平行四邊形當(dāng)AB=BC時，圍成的四邊形是菱形．知識精講(3)在什么條件下,圍成的四邊形是矩形?(4)你還能發(fā)現(xiàn)其他什么結(jié)論嗎?當(dāng)∠B=Rt∠時，圍成的四邊形是矩形．□BEFD的面積是△ABC面積的一半．S△ADF=S△FEC．ABCDFE知識精講1.平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（﹣3，0）B（0，2）C（3，0）、D（0，﹣2），四邊形ABCD是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形B達(dá)標(biāo)檢測2.如圖，兩個完全相同的三角尺ABC和DEF在直線l上滑動，可以添加一個條件，使四邊形CBFE為菱形，下列選項中錯誤的是（）A．BD=AE

B．CB=BF C．BE⊥CFD．BA平分∠CBFA3.如圖在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且DE∥AC，CE∥BD，試判斷四邊形OCED的形狀．證明：四邊形OCED是菱形．∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，又在矩形ABCD中，OC=OD，∴四邊形OCED是菱形．達(dá)標(biāo)檢測4.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點(diǎn)E,DF∥AB交AC于點(diǎn)F.試問四邊形AEDF是菱形嗎？說明你的理由.ABCDEF123解：四邊形AEDF是菱形理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵DE∥AC，∴∠2=∠3，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1=∠2，∴AE=DE，∴□AEDF是菱形．達(dá)標(biāo)檢測小結(jié)梳理文字語言圖形語言符號語言判定法一一組鄰邊相等的平行四邊形是