第三章第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值

第三章第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四一、函數(shù)的單調(diào)性從幾何圖形上來分析abxyo都是銳角，即斜率是上升的。如果曲線在內(nèi)所有切線的傾斜角時(shí)，那么曲線在第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四可見，函數(shù)的單調(diào)性可以用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定。aboyx同樣，當(dāng)時(shí)，曲線在內(nèi)是下降。我們有如下定理：第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四定理1設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果在內(nèi)，則在上單調(diào)增加；上單調(diào)減少。（2）如果在內(nèi)，則在注意：（1）將定理中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間定理的結(jié)論仍成立。第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四單調(diào)增加的充分條件，而不是必要條件。（2）在內(nèi)，只是在上考察函數(shù)，但等號(hào)只在個(gè)別處成立，（3）如果在區(qū)間內(nèi)（或）仍是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的。則函數(shù)在上考察函數(shù)第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四例1判定函數(shù)的單調(diào)性。解的定義域是。在區(qū)間和都有，只有當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)減少。例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解的定義域是第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四令，得，它們將定義域當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以的單調(diào)增加區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是例3確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解的定義域是分成三個(gè)區(qū)間第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四令，得，又處導(dǎo)數(shù)不存在，，這兩點(diǎn)將分成三個(gè)區(qū)間，列表分析在各個(gè)區(qū)間的符號(hào)：由表可知，的單調(diào)增加區(qū)間為和，單調(diào)減少區(qū)間為。第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四二、函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，1定義（1）如果對該領(lǐng)域內(nèi)的任意點(diǎn)，都有，則稱是的極大值，稱是的極大值點(diǎn)。（2）如果對該領(lǐng)域內(nèi)的任意點(diǎn)，都有，則稱是的極小值，稱是的極小值點(diǎn)。第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小致點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。注意：極值是局部性的。因而，函數(shù)可以有許多個(gè)極大值和極小值，并且極大值不一定大于極小值。oxy第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四2極值存在的必要條件和充分條件定理2（極值的必要條件）如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn)取得極值，則。定理2指出：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)。使的點(diǎn)稱為函數(shù)得駐點(diǎn)。反過來，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)?？疾旌瘮?shù)另一方面，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。考察函數(shù)第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四定理3（極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，且在點(diǎn)的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。（1）如果在內(nèi)，在內(nèi)，則函數(shù)在點(diǎn)處取極大值；（2）如果在內(nèi)，在內(nèi)，則函數(shù)在點(diǎn)處取極小值；（3）如果在和內(nèi)不變號(hào)，則在處無極值。第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四定理3即：設(shè)在點(diǎn)的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)有小增大經(jīng)過時(shí)，如果由正變負(fù)，則是極大值點(diǎn)；如果由負(fù)變正，極小值點(diǎn)；如果則是不變號(hào)，則不是極值點(diǎn)。例4求函數(shù)的極值。

解的定義域是令，得駐點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)時(shí)，。在處取得極小值例5求函數(shù)的極值。

解

的定義域是令，得駐點(diǎn)，而時(shí)不存在。由定理3知，在處取得極大值。第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四因此函數(shù)只可能在這兩點(diǎn)取得極值，列表討論如下：極大值1極小值不存在由表可知，在處取得極大值，在處取得極小值。函數(shù)的圖形如圖第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四函數(shù)在駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，還可以用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)是否有極值。01x1y定理4（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有二階導(dǎo)數(shù)，且，，則（1）如果，則在取得極大值；（2）如果，則在取得極小值。第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四例6求函數(shù)的極值。解的定義域是令，得到兩個(gè)駐點(diǎn)。由定理4可知，都是的極小值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值。又第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四函數(shù)的極值是局部性概念，而最值是一個(gè)全局性概念?？梢杂神v點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相比較，其中最大的就是函數(shù)在上的最大值，最小的就是函數(shù)在上的最小值。注意下述三種情況：（1）如果在上是單調(diào)函數(shù)；三、函數(shù)的最值1閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四（2）如果連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極大（?。┲担鵁o極?。ù螅┲?；（3）在實(shí)際問題中，由問題的實(shí)際意義可知，確實(shí)存在最大值或最小值，又若函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)可能的極值點(diǎn)，則該點(diǎn)處的函數(shù)值一定是最大值或最小值。例7求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值。解第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四比較可知，在上最大值為，最小值為例9將邊長為a的一塊正方形鐵皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個(gè)無蓋的方盒。問截去的小正方形邊長為多大時(shí)，所得方盒的容積最大？解如圖設(shè)小正方形的邊長為x，則盒底的邊長為得駐點(diǎn):令，第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四令，得（舍去）。又所以函數(shù)在處取得唯一極大值，此極大值就是最大值。因此，當(dāng)截去的正方形的邊長等于所給正方形鐵皮邊長的時(shí)，所做的方盒容積最大。ax方盒的容積為：第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四例10制作一個(gè)容積為的圓柱形密閉容器，怎樣設(shè)計(jì)才能使所用材料最省？

解如圖，設(shè)容器的底面半徑為，高為，則表面積為所以令，得駐點(diǎn)hr由已知得故第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四所以，所做容器的高和底直徑相等時(shí)，所用材料最省。例11一工廠A與鐵路的垂直距離為，垂足B到火車站C的鐵路長為，要在BC段上選一點(diǎn)M向工廠修一條公路，已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3：5，問M選在離C多少公里處，才能使從A到C的運(yùn)費(fèi)最少？S有唯一駐點(diǎn)，而實(shí)際容器存在最小表面積，因此求得的駐點(diǎn)為最小值點(diǎn)，此時(shí)第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期四解設(shè),則設(shè)鐵路、公路上每公里運(yùn)費(fèi)分別為從A到C需要的總運(yùn)費(fèi)為，則令，得（舍去）。因?yàn)榈诙捻?，共二十六頁，編輯?023年，星期四是在區(qū)間[0,b]上的唯一駐點(diǎn)，而實(shí)際問題中存在最小值，因而是最小值點(diǎn)，因此，M選在離C點(diǎn)距離為處時(shí)總運(yùn)費(fèi)最省。例12工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，當(dāng)年產(chǎn)量為x（單位：百臺(tái)）時(shí)，總成本（