第七章 橢球面元素歸算至投影面

第七章橢球面元素歸算至投影面第一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四本章提要

本章介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直角坐標(biāo)系的正形投影過(guò)程。研究如何將大地坐標(biāo)、大地線長(zhǎng)度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問(wèn)題。重點(diǎn)講述高斯投影的原理和方法，解決由球面到平面的換算問(wèn)題，解決相鄰帶的坐標(biāo)坐標(biāo)換算。討論在工程應(yīng)用中，工程測(cè)量投影面與投影帶選擇。第二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四[知識(shí)點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求]1．高斯投影的基本概念（掌握）；2．正形投影的一般條件（理解）；3．高斯平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換—高斯投影的正算與反算（掌握）4．橢球面上觀測(cè)成果歸化到高斯平面上的計(jì)算（掌握）；5．高斯投影的鄰帶換算（掌握）；6．工程測(cè)量投影面與投影帶的選擇（掌握）。[難點(diǎn)]在對(duì)本章的學(xué)習(xí)中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算計(jì)算；方向改化和距離改化計(jì)算；高斯投影帶的換算與應(yīng)用；工程測(cè)量中投影面與投影帶的選擇。第三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四8.1地圖數(shù)學(xué)投影的基本概念一.投影變換的意義和方程

所謂地圖投影，簡(jiǎn)略說(shuō)來(lái)就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長(zhǎng)度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個(gè)問(wèn)題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。橢球面是一個(gè)凸起的、不可展平的曲面，若將這個(gè)曲面上的元素（比如一段距離、一個(gè)角度、一個(gè)圖形）投影到平面上，就會(huì)和原來(lái)的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱作投影的變形

第四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四二.地圖投影的變形

1.長(zhǎng)度比

P1P2SNXYP'1P‘2橢球面投影面或長(zhǎng)度比與點(diǎn)的位置及線段的方向有關(guān)。

投影面上的邊長(zhǎng)與原面上的相應(yīng)長(zhǎng)度之比，稱為長(zhǎng)度比。

第五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.主方向和變形橢圓

主方向：最大及最小長(zhǎng)度比的方向，稱為主方向。ABOCA'B'O'C'原面投影面在橢球面的任意點(diǎn)上，必定有一對(duì)相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的，這兩個(gè)方向就是長(zhǎng)度比的極值方向，也就是主方向。第六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四變形橢圓：設(shè)在橢球面上有一單位微分圓,投影后為一微分橢圓，該橢圓即變形橢圓。ξηαP(ξ,η)x'y'O'OP(x‘,y')變形橢圓的形狀和大小及方向完全由投影條件確定。某定點(diǎn)O處的變形橢圓是描述該點(diǎn)各方向上長(zhǎng)度比的橢圓。第七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.投影變形長(zhǎng)度比與1之差，稱為長(zhǎng)度變形，即：vm>0，投影后長(zhǎng)度變大，反之，投影后長(zhǎng)度變短。1）長(zhǎng)度變形2）、方向變形某方向（以主方向起始）投影后為1，當(dāng)=1（等于0或90度時(shí)），亦即在主方向上沒(méi)有方向變形時(shí)當(dāng)+1=90°或270°時(shí)，方向變形最大O'P'3）角度變形。最大角度變形是最大方向變形的2倍。4）面積變形。第八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、地圖投影的分類1.按變形性質(zhì)分類（1）等角投影又稱為正形投影。投影面上某點(diǎn)的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零。等角投影在一點(diǎn)上任意方向的長(zhǎng)度比都相等，但在不同地點(diǎn)長(zhǎng)度比是不同的。（2）等積投影在投影平面上任意一塊面積與橢球面上相應(yīng)的面積相等，即面積變形等于零。（3）等距投影定義為沿某一特定方向的距離，投影前后保持不變，即沿著該特定方向長(zhǎng)度比為1。在這種投影圖上并不是不存在長(zhǎng)度變形，它只是在特定方向上沒(méi)有長(zhǎng)度變形。（4）任意投影第九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.按投影面的形狀分類（1）方位投影：以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。（2）圓柱投影：以圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。（3）圓錐投影：以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。3.按投影面和原面的相對(duì)位置進(jìn)行分類正軸投影、斜軸投影和橫軸投影第十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四4、中國(guó)各種地圖投影：

1）中國(guó)全國(guó)地圖投影：斜軸等面積方位投影、斜軸等角方位投影、偽方位投影、正軸等面積割圓錐投影、正軸等角割圓錐投影。2）中國(guó)分省（區(qū)）地圖的投影：正軸等角割圓錐投影、正軸等面積割圓錐投影、正軸等角圓柱投影、高斯-克呂格投影（寬帶）。3）中國(guó)大比例尺地圖的投影：多面體投影（北洋軍閥時(shí)期）、等角割圓錐投影（蘭勃特投影）（解放前）、高斯-克呂格投影（解放以后）。第十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

從世界范圍看，各國(guó)大中比例尺地形圖所使用的投影很不統(tǒng)一，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)有十幾種之多，最常用的有橫軸等角橢圓柱投影等。中華人民共和國(guó)成立后，我國(guó)大中比例尺地形圖一律規(guī)定采用以克拉索夫斯基橢球體元素計(jì)算的高斯-克呂格投影。我國(guó)新編1:100萬(wàn)地形圖，采用的則是正軸等角圓錐投影。5、常用的幾種地圖投影第十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四1、控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求1）等角投影（又稱正形投影）

2）長(zhǎng)度和面積變形不大，并能用簡(jiǎn)單公式計(jì)算由變形而引起的改正數(shù)。在微小的范圍內(nèi)保持了形狀的相似性。長(zhǎng)對(duì)比與點(diǎn)的位置有關(guān)，與方向無(wú)關(guān)。3）能很方便地按分帶進(jìn)行，并能按高精度的、簡(jiǎn)單的、同樣的計(jì)算公式和用表把各帶聯(lián)成整體。8.2高斯投影概述（重點(diǎn)）第十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四高斯投影是等角橫切橢圓柱投影。高斯投影是一種等角投影。它是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(Gauss，1777～1855)提出，后經(jīng)德國(guó)大地測(cè)量學(xué)家克呂格(Kruger，1857～1923)加以補(bǔ)充完善，故又稱“高斯—克呂格投影”，簡(jiǎn)稱“高斯投影”。2、高斯投影的基本概念第十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四NSc中央子午線赤道高斯投影平面赤道中央子午線1).高斯投影的原理:

高斯投影采用分帶投影。將橢球面按一定經(jīng)差分帶，分別進(jìn)行投影。第十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四2)、高斯投影必須滿足：（1）高斯投影為正形投影，即等角投影；（2）中央子午線投影后為直線，且為投影的對(duì)稱軸；（3）中央子午線投影后長(zhǎng)度不變。第十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四3)、高斯投影的特點(diǎn):（1）中央子午線投影后為直線，且長(zhǎng)度不變。（2）除中央子午線外，其余子午線的投影均為凹向中央子午線的曲線，并以中央子午線為對(duì)稱軸。投影后有長(zhǎng)度變形。（3）赤道線投影后為直線，但有長(zhǎng)度變形。赤道中央子午線平行圈子午線Oxy第十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四（4）除赤道外的其余緯線，投影后為凸向赤道的曲線，并以赤道為對(duì)稱軸。（5）經(jīng)線與緯線投影后仍然保持正交。（6）所有長(zhǎng)度變形的線段，其長(zhǎng)度變形比均大于l。（7）離中央子午線愈遠(yuǎn)，長(zhǎng)度變形愈大。赤道中央子午線平行圈子午線Oxy第十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四4)、投影帶的劃分

我國(guó)規(guī)定按經(jīng)差6o和3o進(jìn)行投影分帶。

6o帶自首子午線開(kāi)始，按6o的經(jīng)差自西向東分成60個(gè)帶。

3o帶自1.5o開(kāi)始，按3o的經(jīng)差自西向東分成120個(gè)帶。高斯投影帶劃分第二十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

6o帶與3o帶中央子午線之間的關(guān)系如圖:

3o帶的中央子午線與6o帶中央子午線及分帶子午線重合，減少了換帶計(jì)算。

工程測(cè)量采用3o帶，特殊工程可采用1.5o帶或任意帶第二十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

按照6o帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3o，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號(hào)的關(guān)系是：

L。=6oN－3o

（N為6o帶的帶號(hào)）例：20帶中央子午線的經(jīng)度為：

L。＝6o×20－3o＝117o

按照3o帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3o，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號(hào)的關(guān)系是：

L。=3on

（n為3o帶的帶號(hào)）例：120帶中央子午線的經(jīng)度為

L。＝3o×120＝360o第二十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L(zhǎng)，則該點(diǎn)的6o帶的帶號(hào)N由下式計(jì)算：

若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L(zhǎng)，則該點(diǎn)所在3o帶的帶號(hào)按下式計(jì)算：

（四舍五入）第二十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四高斯平面直角坐標(biāo)系的建立：x軸

—中央子午線的投影y軸

—赤道的投影原點(diǎn)O

—兩軸的交點(diǎn)OxyP（X，Y）高斯自然坐標(biāo)注：X軸向北為正，

y軸向東為正。赤道中央子午線第二十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

由于我國(guó)的位于北半球，東西橫跨12個(gè)6o帶，各帶又獨(dú)自構(gòu)成直角坐標(biāo)系。

故：X值均為正，而Y值則有正有負(fù)。世界地圖赤道第二十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四xyo500km=500000+=636780.360m=

500000+=227559.720m國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)：（帶號(hào)）（帶號(hào)）一帶的寬度是667km第二十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例：有一國(guó)家控制點(diǎn)的坐標(biāo):x=3102467.280m,y=19367622．380m，（1）該點(diǎn)位于6?帶的第幾帶？（2）該帶中央子午線經(jīng)度是多少？（3）該點(diǎn)在中央子午線的哪一側(cè)？（4）該點(diǎn)距中央子午線和赤道的距離為多少？（第19帶）

（L。=6o×19-3o=111?）（先去掉帶號(hào)，原來(lái)橫坐標(biāo)y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西側(cè)）（距中央子午線132377.620m，距赤道3102467.280m）第二十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四3、橢球面三角系化算到高斯平面

第二十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是：將起始點(diǎn)的大地坐標(biāo)B，L歸算為高斯平面直角坐標(biāo)x，y；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)x，y反算B，L。通過(guò)計(jì)算該點(diǎn)的子午線收斂角及方向改正，將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊的坐標(biāo)方位角。通過(guò)計(jì)算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。通過(guò)計(jì)算距離改正，將橢球面上起算邊的長(zhǎng)度歸算到高斯平面上的直線長(zhǎng)度。當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫?，需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。第二十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

長(zhǎng)度比:投影面上的邊長(zhǎng)與原面上的相應(yīng)長(zhǎng)度之比，稱為長(zhǎng)度比。

8.3正形投影的一般條件（了解）

研究高斯投影應(yīng)首先滿足正形投影的一般條件，然后加上高斯投影的特殊條件，即可導(dǎo)出高斯投影坐標(biāo)正反算公式。推求時(shí)抓住正形投影區(qū)別于其它投影的特殊本質(zhì)：在正形投影中，長(zhǎng)度比與方向無(wú)關(guān)。在微小的范圍內(nèi)保證了形狀的相似性，當(dāng)ABCDE無(wú)限接近時(shí)，多邊形可看作是一個(gè)點(diǎn)，因此在正行投影中，長(zhǎng)度比與位置有關(guān)，與方向無(wú)關(guān)。第三十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四8.3正形投影的一般條件（了解）

正形投影方法都必須遵循的法則：柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)條件等量緯度第三十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四⑴建立長(zhǎng)度比關(guān)系在微分直角三角形P1P2P3和P1/P2/P3/中有：則長(zhǎng)度比為⑵引進(jìn)等量緯度，則

故第三十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四全微分得

其中：第三十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四若想使上式中m與A無(wú)關(guān)，必須滿足條件：⑶引入方向，由圖知：則F=0、E=G

即正形投影的一般條件，是各類正形投影方法都必須遵循的法則，高斯坐標(biāo)正、反算公式均以此為基礎(chǔ)。第三十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四1、電磁波測(cè)距的歸算的內(nèi)容？

復(fù)習(xí)：第三十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四2三差改正第四十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.橢球面三角系化算到高斯平面的內(nèi)容？第四十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四8.4高斯投影坐標(biāo)正反算公式1、高斯投影坐標(biāo)正算公式：B,l

x,y高斯投影必須滿足以下三個(gè)條件：①中央子午線投影后為直線；②中央子午線投影后長(zhǎng)度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。對(duì)于任何一種投影：①坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系是最主要的；②如果是正形投影，除了滿足正形投影的條件外，還有它本身的特殊條件。第四十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四赤道第四十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四由第一條件知中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對(duì)稱于中央子午線，的偶函數(shù)，y為的奇函數(shù)；，即，如展開(kāi)為的級(jí)數(shù)，收斂。式中是待定系數(shù)，它們都是緯度B的函數(shù)。由第三個(gè)條件知：x為求偏導(dǎo)數(shù)（1）第四十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

位于中央子午線上的點(diǎn)，投影后的縱坐標(biāo)x應(yīng)等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午線弧長(zhǎng)X，即(1)式第一式中，當(dāng)l=0時(shí)有：顧及(對(duì)于中央子午線)故得：依次求得

第四十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四自赤道量起的到所求點(diǎn)的子午線弧長(zhǎng)所求點(diǎn)的大地經(jīng)度與該點(diǎn)所在帶的中央子午線的大地經(jīng)度之差第四十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四2、高斯投影坐標(biāo)反算公式：x,yB,l

滿足以下三個(gè)條件：①x坐標(biāo)軸投影后為中央子午線是投影的對(duì)稱軸；②x坐標(biāo)軸投影后長(zhǎng)度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。過(guò)所求點(diǎn)P作中央子午線的垂線，該垂線與中央子午線的交點(diǎn)的緯度，稱垂足緯度。其值由子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式反算求得。第四十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

底點(diǎn)緯度計(jì)算(迭代法)在克拉索夫斯基橢球上計(jì)算時(shí)，迭代開(kāi)始時(shí)設(shè)以后每次迭代按下式計(jì)算：重復(fù)迭代直至為止。在1975年國(guó)際橢球上計(jì)算時(shí)，也有類似公式。第四十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四3、高斯投影坐標(biāo)正反算公式的幾何解釋：高斯投影坐標(biāo)正算第四十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四高斯投影坐標(biāo)反算第五十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四①當(dāng)B=0時(shí)x=X=0，y則隨l的變化而變化，這就是說(shuō)，赤道投影為一直線且為y軸。當(dāng)l=0時(shí),則y=0,x=X,這就是說(shuō)，中央子午線投影亦為直線，且為x軸，其長(zhǎng)度與中央子午線長(zhǎng)度相等。兩軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。②當(dāng)l=常數(shù)時(shí)(經(jīng)線),隨著B(niǎo)值增加，x值增大，y值減小，這就告訴我們，經(jīng)線是凹向中央子午線的曲線，且收斂于兩極。又因，即當(dāng)用-B代替B時(shí)，y值不變，而x值數(shù)值相等符號(hào)相反，這就說(shuō)明赤道是投影的對(duì)稱軸。③當(dāng)B=常數(shù)時(shí)(緯線)，隨著的l增加，x值和y值都增大，這就是說(shuō)，緯線是凸向赤道的曲線。又當(dāng)用-l代替l時(shí)，x值不變，而y值數(shù)值相等符號(hào)相反，這就說(shuō)明，中央子午線是投影對(duì)稱軸。由于滿足正形投影條件，所以經(jīng)線和緯線的投影是互相垂直的。④距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長(zhǎng)度變形愈大。高斯投影的特點(diǎn)第五十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四子午線收斂角的概念如右圖所示，、及分別為橢球面點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)的子午線及平行圈在高斯平面上的描寫(xiě)。由圖可知，所謂點(diǎn)子午線收斂角就是在上的切線與坐標(biāo)北之間的夾角，用表示。在橢球面上，因?yàn)樽游缇€同平行圈正交，又由于投影具有正形性質(zhì)，因此它們的描寫(xiě)線及也必正交，由圖可見(jiàn)，平面子午線收斂角也就是等于在點(diǎn)上的切線同平面坐標(biāo)系橫軸的傾角。8.5平面子午線收斂角公式第五十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四1、求γ的公式

1）由大地坐標(biāo)L，B計(jì)算：第五十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四①在中央子午線上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。③在同一經(jīng)線上(l=常數(shù))緯度愈高，r的絕對(duì)值也愈大，在極點(diǎn)處最大；在同一緯線上(B=常數(shù))，經(jīng)差l的絕對(duì)值愈大，r的絕對(duì)值也愈大。②r為奇函數(shù)，有正負(fù)，當(dāng)描寫(xiě)點(diǎn)在中央子午線以東時(shí)，經(jīng)差為正，r也為正；當(dāng)描寫(xiě)點(diǎn)在中央子午線以西時(shí)，經(jīng)差為負(fù)，r也為負(fù)。第五十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四2）由高斯平面坐標(biāo)x，y計(jì)算：底點(diǎn)緯度第五十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四8.6方向改化公式方向改正數(shù)就是指大地線的投影曲線和連接大地線兩點(diǎn)的弦之夾角。第五十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四1、方向改化近似公式的推導(dǎo)誤差小于0.1″，可適用于三、四等三角測(cè)量的計(jì)算第五十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四8.7距離改化公式（重點(diǎn)）由S化至D所加的△S改正稱為距離改正

1、研究平面曲線長(zhǎng)度s與其弦線長(zhǎng)度D的關(guān)系；2、研究用大地坐標(biāo)B、L和平面坐標(biāo)x、y計(jì)算長(zhǎng)度比m的公式；3、最后導(dǎo)出距離改化的計(jì)算公式。m＞1第五十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四1、平面曲線長(zhǎng)度s與其弦線長(zhǎng)度D的關(guān)系由于v是一個(gè)小角，最大不會(huì)超過(guò)方向改化值δ，因此可把cosv展開(kāi)為級(jí)數(shù)：

式中用v的最大值δ代替v第六十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四已是二次項(xiàng)，

D與s之差是四次項(xiàng)微小量。當(dāng)δ取最大40″,s=50KM時(shí)，代入上式得，化算為相對(duì)中誤差為：所以，對(duì)現(xiàn)有測(cè)量方法這個(gè)誤差可忽略不計(jì)，完全可以認(rèn)為大地線的平面投影曲線長(zhǎng)度s等于其弦線長(zhǎng)度D。第六十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第六十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四2、長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形長(zhǎng)度比m是指橢球面上某一點(diǎn)的微分元素dS，與其投影面上的相應(yīng)的微分元素ds之比，即：由于長(zhǎng)度比m恒大于1，故稱為長(zhǎng)度變形。1）用大地坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式實(shí)用時(shí)一般取至二次項(xiàng)在6°帶的邊緣及低緯度處，有時(shí)用到項(xiàng)。第六十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四2）用平面坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式代入大地線始末兩端的平均緯度計(jì)算的橢球的平均曲率半徑第六十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四①m隨點(diǎn)的位置(B,L)或(x,y)而異，但在一點(diǎn)上與方向無(wú)關(guān)；③當(dāng)時(shí)，由于m是y（或l）的偶函數(shù)，且各項(xiàng)都為“+”號(hào)，故m恒大于1，即除中央子午線外其它投影后都變長(zhǎng)了；④長(zhǎng)度變形（m-1）與成正比例地增大，愈離遠(yuǎn)中央子午線長(zhǎng)度變形愈大。⑤在同一緯線上，即B=常數(shù)，長(zhǎng)度變形（m-1）隨l的增大而增大。

⑥在同一經(jīng)線上，即l=常數(shù)，長(zhǎng)度變形（m-1）隨B的減少而增大，在赤道處(B=0)為最大。②當(dāng)y=0(或l=0)時(shí)，即在縱坐標(biāo)軸或中央子午線上時(shí)，各點(diǎn)的m都等于1，即中央子午線投影后長(zhǎng)度不變；第六十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四3、距離改化公式：對(duì)于一條三角邊來(lái)說(shuō)，由于邊長(zhǎng)較短，長(zhǎng)度比的變化實(shí)際上是很微小的，可以認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)，因而可以用D/S來(lái)代替dD/dS，即有：代入當(dāng)S<70km,ym<350km(6°帶的邊緣)計(jì)算精度小于0.001m，對(duì)于一等邊長(zhǎng)的歸算完全可滿足要求，對(duì)于二等邊長(zhǎng)的歸算可略去項(xiàng)，對(duì)于三四等邊長(zhǎng)的歸算又可再略去項(xiàng)。第六十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四4、距離改化的實(shí)用計(jì)算公式一等三角網(wǎng)的距離改正的實(shí)用公式：二等三角網(wǎng)的距離改正的實(shí)用公式：三等三角網(wǎng)以下的距離改正的實(shí)用公式：第六十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四→產(chǎn)生換帶的原因高斯投影為了限制高斯投影的長(zhǎng)度變形，以中央子午線進(jìn)行分帶，把投影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)。因而，使得統(tǒng)一的坐標(biāo)系分割成各帶的獨(dú)立坐標(biāo)系。在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的點(diǎn)坐標(biāo)，有時(shí)工程測(cè)量中要求采用帶、帶或任意帶，而國(guó)家控制點(diǎn)通常只有帶坐標(biāo)，這時(shí)就產(chǎn)生了帶同帶（或帶、任意帶）之間的相互坐標(biāo)換算問(wèn)題，如下圖所示：8.8高斯投影的鄰帶換算（掌握）第六十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四需要進(jìn)行坐標(biāo)鄰帶換算的情況：1、控制網(wǎng)跨越兩個(gè)投影帶；2、在分界子午線附近地區(qū)測(cè)圖，需要用到另一帶的三角點(diǎn)作為控制點(diǎn)時(shí)；3、6°帶、3°帶、1.5°帶之間的換算。坐標(biāo)鄰帶換算的一般方法：把橢球面上的大地坐標(biāo)作為過(guò)渡坐標(biāo)，首先把某投影帶（如21帶）內(nèi)的有關(guān)點(diǎn)的平面坐標(biāo)x，y利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標(biāo)B，L。然后再由大地坐標(biāo)B，L利用投影正算公式換算成相鄰帶的（如22帶）的平面坐標(biāo)。第六十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四計(jì)算步驟：根據(jù),利用高斯反算公計(jì)算換算,，得到，。采用已求得的,，并顧及到第Ⅱ帶的中央子午線，求得，利用高斯正算公式計(jì)算第Ⅱ帶的直角坐標(biāo),。為了檢核計(jì)算的正確性，要求每步都應(yīng)進(jìn)行往返計(jì)算算例在中央子午線的Ⅰ帶中，有某一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)，，現(xiàn)要求計(jì)算該點(diǎn)在中央子午線的第Ⅱ帶的平面直角坐標(biāo)。第七十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四8.12工程測(cè)量投影面與投影帶的選擇（重點(diǎn)）

1999年《城市測(cè)量規(guī)范》規(guī)定：一個(gè)城市只應(yīng)建立一個(gè)與國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)相聯(lián)系的、相對(duì)獨(dú)立和統(tǒng)一的城市坐標(biāo)系統(tǒng)，并經(jīng)上級(jí)行政主管部門審查批準(zhǔn)后方可使用。城市平面控制測(cè)量坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇應(yīng)以投影長(zhǎng)度變形值不大于2.5cm/km為原則，并根據(jù)城市地理位置和平均高程而定。第七十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四1、當(dāng)長(zhǎng)度變形值不大于2.5cm/km時(shí),應(yīng)采用高斯正形投影統(tǒng)一3°帶的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。統(tǒng)一3°帶的主子午線經(jīng)度由東經(jīng)75°起,每隔3°至東經(jīng)135°。2、當(dāng)長(zhǎng)度變形值大于2.5cm/km時(shí)，可依次采用：1）投影于抵償高程面上的高斯正形投影帶的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)；2）高斯正形投影任意帶的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)，投影面可采用黃海平均海水面或城市平均高程面。如何選擇城市平面控制網(wǎng)坐標(biāo)系統(tǒng)？

3、面積小于25k㎡的城鎮(zhèn),可不經(jīng)投影采用假定平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)在平面上直接進(jìn)行計(jì)算。第七十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四1、工程測(cè)量中投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點(diǎn)1）有關(guān)投影變形的基本概念引起投影變形的因素：（1）實(shí)量邊長(zhǎng)歸算到參考橢球體面上的變形影響

由公式可以看出：的值總為負(fù)，即地面實(shí)量長(zhǎng)度歸算至參考橢球體面上，總是縮短的；值與成正比，隨增大而增大。s第七十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四（2）將參考橢球面上邊長(zhǎng)歸算到高斯投影面上的變形影響：為投影歸算邊長(zhǎng)，即在參考橢求面上的長(zhǎng)度。

由公式可以看出：的值總為正，即橢球面上長(zhǎng)度歸算至高斯面上，總是增大的，值與成正比而增大，離中央子午線愈遠(yuǎn)變形愈大。在測(cè)區(qū)平均高程面上的長(zhǎng)度。第七十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第七十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四2）有關(guān)工程測(cè)量平面控制網(wǎng)的精度要求的概念為便于施工放樣的順利進(jìn)行，要求由控制點(diǎn)坐標(biāo)直接反算的邊長(zhǎng)與實(shí)地量得的邊長(zhǎng)，在長(zhǎng)度上應(yīng)該相等，即由上述兩項(xiàng)歸算投影改正而帶來(lái)的變形或改正數(shù)，不得大于施工放樣的精度要求。一般地，施工放樣的方格網(wǎng)和建筑軸線的測(cè)量精度為1/5000～1/20000。因此，由歸算引起的控制網(wǎng)長(zhǎng)度變形應(yīng)小于施工放樣允許誤差的1/2，即相對(duì)誤差為1/10000～1/40000，也就是說(shuō)，每公里的長(zhǎng)度改正數(shù)，不應(yīng)該大于10～2.5cm。第七十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四3）、工程測(cè)量投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點(diǎn)

（1）在滿足精度要求的前提下，為使測(cè)量結(jié)果一測(cè)多用，應(yīng)采用國(guó)家統(tǒng)一3°帶高斯平面直角坐標(biāo)系，將觀測(cè)結(jié)果歸算至參考橢球面上。即工程測(cè)量控制網(wǎng)應(yīng)同國(guó)家測(cè)量系統(tǒng)相聯(lián)系；（2）當(dāng)邊長(zhǎng)的兩次歸算投影改正不能滿足上述要求時(shí)，為保證測(cè)量結(jié)果的直接利用和計(jì)算的方便，可采用任意帶的獨(dú)立高斯平面直角坐標(biāo)系，歸算測(cè)量結(jié)果的參考面可自己選定。(a)通過(guò)改變Hm從而選擇合適的高程參考面，將抵償分帶投影變形（稱為抵償投影面的高斯正形投影）；(b)改變ym從而對(duì)中央子午線作適當(dāng)移動(dòng)，以抵償由高程面的邊長(zhǎng)歸算到參考橢球面上的投影變形（稱為任意帶高斯正形投影）；

(c)通過(guò)既改變Hm（選擇高程參考面），又改變ym（移動(dòng)中央子午線），來(lái)抵償兩項(xiàng)歸算改正變形（稱為具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影）。第七十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四2、工程測(cè)量中幾種可能采用的直角坐標(biāo)系1）國(guó)家3°帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系據(jù)計(jì)算，當(dāng)測(cè)區(qū)平均高程在100m以下，且ym值不大于40km時(shí)，其投影變形值均小于2.5cm，可以滿足大比例尺測(cè)圖和工程放樣的精度要求。因此在偏離中央子午線不遠(yuǎn)和地面平均高程不大的地區(qū)，無(wú)需考慮投影變形問(wèn)題，直接采用國(guó)家統(tǒng)一的3°帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系作為工程測(cè)量的坐標(biāo)系，使兩者一致。2）抵償投影面的3°帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系此時(shí)仍采用國(guó)家3°帶高斯投影，但投影的高程面不是參考橢球面而是依據(jù)補(bǔ)償高斯投影長(zhǎng)度變形而選擇的高程參考面。在該參考面上長(zhǎng)度變形為零。第七十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四抵償投影面的高程如何確定？當(dāng)采用第一種坐標(biāo)系時(shí)，有：若超過(guò)允許的精度要求(10～2.5cm)時(shí)，應(yīng)考慮采用抵償投影面進(jìn)行投影，即采用第二種坐標(biāo)系，此時(shí)在抵償投影面上的投影變形為0，設(shè)該面的高程為H抵即：此時(shí)ym是定值，且假設(shè)不同投影面上同一距離近似相等。RHm△H第七十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1：某測(cè)區(qū)的平均高程為Hm=400m，測(cè)區(qū)中心在高斯投影3°帶的坐標(biāo)為y=80km，要使測(cè)區(qū)內(nèi)抵償投影面上的長(zhǎng)度與實(shí)地長(zhǎng)度之差最小，試問(wèn)抵償高程面應(yīng)如何選定？所以抵償高程面高程應(yīng)為：第八十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四某測(cè)區(qū)海拔=2000（m），最邊緣中央子午線100（km），當(dāng)=1000（m）時(shí)，則有而超過(guò)允許值（10～2.5cm）。這時(shí)為不改變中央子午線位置，而選擇一個(gè)合適的高程參考面，經(jīng)計(jì)算得高差：

將地面實(shí)測(cè)距離歸算到：算例：第八十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四3）任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系該坐標(biāo)系中，仍把地面觀測(cè)結(jié)果歸算到參考橢球面上，但投影帶的中央子午線不按國(guó)家3°帶的劃分方法，而是依據(jù)補(bǔ)償高程面歸算長(zhǎng)度變形而選擇的某一條子午線作為中央子午線。

當(dāng)Hm不變，且假設(shè)不同投影面上同一距離近似相等。表示某測(cè)區(qū)中心的橫坐標(biāo)值（或測(cè)區(qū)內(nèi)y坐標(biāo)的平均值）如果是用上式計(jì)算得到的ym時(shí)，此時(shí)的投影變形為0，即已知ym的情況，來(lái)反確定中央子午線的位置。第八十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四某測(cè)區(qū)相對(duì)參考橢球面的高程=500m，為抵償?shù)孛嬗^測(cè)值向參考橢球面上歸算的改正值，依上式算得即選擇與該測(cè)區(qū)相距80km處的子午線。此時(shí)在=80km處，兩項(xiàng)改正項(xiàng)得到完全補(bǔ)償。算例：但在實(shí)際應(yīng)用這種坐標(biāo)系時(shí)，往往是選取過(guò)測(cè)區(qū)邊緣，或測(cè)區(qū)中央，或測(cè)區(qū)內(nèi)某一點(diǎn)的子午線作為中央子午線，而不經(jīng)過(guò)上述的計(jì)算。第八十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例：某測(cè)區(qū)中心所在的大地坐標(biāo)為L(zhǎng)=114°10′20″，B=34°21′18″（北京54），測(cè)區(qū)內(nèi)平均高程為Hm=400m，為使高斯投影面上的長(zhǎng)度與實(shí)地長(zhǎng)度保持一致，試確定抵償投影帶中央子午線的經(jīng)度（設(shè)Rm=N=6371km）。取高斯坐標(biāo)正算y的第一項(xiàng)所以抵償投影帶的中央子午線的經(jīng)度為：第八十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四4）具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系該坐標(biāo)系中，往往是指投影的中央子午線選在測(cè)區(qū)的中央，地面觀測(cè)值歸算到測(cè)區(qū)平均高程面上，按高斯正形投影計(jì)算平面直角坐標(biāo)系。因此，這是綜合第二、三兩種坐標(biāo)系長(zhǎng)處的一種任意高斯直角坐標(biāo)系。顯然這種坐標(biāo)系更能有效地實(shí)現(xiàn)兩種長(zhǎng)度變形改正的補(bǔ)償。5）假定平面直角坐標(biāo)系當(dāng)測(cè)區(qū)面積小于時(shí)，可不進(jìn)行方向和距離改正，直接把局部地球表面作為平面建立獨(dú)立的平面直角坐標(biāo)系。這時(shí)起算坐標(biāo)和起算方位角最好能與國(guó)家網(wǎng)聯(lián)測(cè)，如果聯(lián)測(cè)有困難可自行測(cè)定邊長(zhǎng)和方位，而起始點(diǎn)坐標(biāo)可假定。這種假定平面直角坐標(biāo)系只限于某種工程建筑施工之用。第八十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四這種方案的思路結(jié)合了前面兩種方案的一些特點(diǎn)，即將中央子午線移動(dòng)至測(cè)區(qū)中部，又變換了高程投影面。當(dāng)測(cè)區(qū)東西向跨度較大時(shí)，需要抵償?shù)膸捿^大時(shí)，應(yīng)采用此種方案建立坐標(biāo)系統(tǒng)。該方案同時(shí)要求：表示若抵償高程面的高程取測(cè)區(qū)的平均高程，或略低于該平均高程面（考慮到高程異常），則各邊長(zhǎng)的高程投影變形近似為0表示若測(cè)區(qū)在中央子午線附近，則各邊長(zhǎng)的高斯投影變形近似為0實(shí)現(xiàn)步驟第八十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四（1）、選擇合適的地方投影帶中央子午線L0：在測(cè)區(qū)內(nèi)或測(cè)區(qū)附