第4章 三角函數(shù)、解三角形 第1節(jié)　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

第四章三角函數(shù)、解三角形第1節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能進(jìn)行弧度與角度的互化；3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.考試要求知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著______從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.知識(shí)梳理端點(diǎn)正角負(fù)角零角象限角(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定義和公式 (1)定義：把長(zhǎng)度等于________的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.半徑長(zhǎng)(2)公式|α|r3.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sinα＝____，cosα＝____，tanα＝_______.yx(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1，0).如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的________、________和________.正弦線余弦線正切線1.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制必須一致，不可混用.3.象限角常用結(jié)論4.軸線角1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)小于90°的角是銳角.(

)(2)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角.(

)(3)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān).(

)(4)若α為第一象限角，則sinα＋cosα>1.(

)×診斷自測(cè)×√√

(2)第一象限角不一定是銳角.2.(易錯(cuò)題)時(shí)間經(jīng)過(guò)4h(時(shí))，時(shí)針轉(zhuǎn)了_________弧度.3.在－720°～0°范圍內(nèi)，所有與角α＝45°終邊相同的角β構(gòu)成的集合為_(kāi)_______________________.{－675°，－315°}解析

所有與角α終邊相同的角可表示為：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，則令－720°≤45°＋k×360°＜0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°＜－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.解得y＝－3.－3解析設(shè)∠AOB＝θ，半圓O的半徑為r，扇形OCD的半徑為r1，依題意，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2C考點(diǎn)一角的概念及其表示A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角

D.第二或第四象限角解析因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵珻感悟提升考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用遷移1

(變所求)若本例條件不變，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積.遷移2

(變條件)若將本例已知條件改為：“扇形周長(zhǎng)為20cm”，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解由已知得，l＋2R＝20，則l＝20－2R(0＜R＜10).所以當(dāng)R＝5cm時(shí)，S取得最大值25cm2，此時(shí)l＝10cm，α＝2rad.應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題.(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.感悟提升訓(xùn)練1

(1)(2021·長(zhǎng)沙質(zhì)檢)已知弧長(zhǎng)4π的弧所對(duì)的圓心角為2弧度，則這條弧所在的圓的半徑為(

) A.1 B.2 C.π D.2πD∴這條弧所在的圓的半徑為2π.(2)在單位圓中，200°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為_(kāi)_______，由該弧及半徑圍成的扇形的面積為_(kāi)_______.考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用B(2)sin2·cos3·tan4的值(

)A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在解析∵1弧度約等于57°，2弧度約等于114°，∴sin2＞0.∵3弧度小于π弧度，在第二象限，∴cos3＜0.∴tan4＞0，∴sin2·cos3·tan4＜0.1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過(guò)三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào).如果不能確定角所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解.感悟提升訓(xùn)練2

(1)已知點(diǎn)P(cosα，tanα)在第三象限，則角α的終邊在(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限B(2)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝(

)B由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，F(xiàn)ENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固C2.給出下列四個(gè)命題：CA.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)－400°＝－360°－40°，從而－400°是第四象限角，③正確.－315°＝－360°＋45°，從而－315°是第一象限角，④正確.D4.已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為(

) A.2 B.4 C.6 D.8C解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周長(zhǎng)為2r＋l＝6.5.若角α的終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合為(

)DCA.第二、四象限

B.第一、三象限C.第一、三象限或x軸上

D.第二、四象限或x軸上解析∵|cosθ|＝cosθ，∴cosθ≥0，∵|tanθ|＝－tanθ，∵tanθ≤0，∴角θ的終邊在第四象限或x軸正半軸上，D8.(2022·呂梁模擬)劉徽(約公元225年～295年)，魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一.他在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形(如圖所示)，當(dāng)n變得很大時(shí)，這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，估計(jì)sin4°的值為(

)DA.0.0524 B.0.0628C.0.0785 D.0.0698解析將一個(gè)單位圓平均分成90個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角度數(shù)均為4°，因?yàn)檫@90個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積和近似于單位圓的面積，9.－2022°角是第________象限角，與－2022°角終邊相同的最小正角是________，最大負(fù)角是________.

解析∵－2022°＝－6×360°＋138°，∴－2022°角的終邊與138°角的終邊相同.∴－2022°角是第二象限角.與－2022°角終邊相同的最小正角是138°.又138°－360°＝－222°，故與－2022°角終邊相同的最大負(fù)角是－222°.二138°

－222°解析

設(shè)扇形的圓心角為α，解析如圖，作出角α的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT