空間幾何體的外接球

空間幾何體的外接球空間幾何體的外接球是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn).我們可以通過(guò)對(duì)幾何體的割補(bǔ)或?qū)で髱缀误w外接球的球心兩大策略求解此類(lèi)問(wèn)題.解析

將半球補(bǔ)成球，同時(shí)把原半球的內(nèi)接正方體再補(bǔ)接一個(gè)同樣的正方體，構(gòu)成的長(zhǎng)方體恰好是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)就是它的外接球的直徑.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球體的半徑為R，√√解析

如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，SD，過(guò)點(diǎn)D作與平面ABC垂直的直線(xiàn)，則球心O在該直線(xiàn)上，√解析

如圖，正四棱錐P－ABCD的底面中心為H.又PH＝4，故在Rt△PAH中，則由正四棱錐的性質(zhì)可得，其外接球的球心O在PH所在的直線(xiàn)上，設(shè)其外接球的直徑為PQ＝2r.又A在正四棱錐外接球的球面上，所以AP⊥AQ.又AH⊥PH，由射影定理可得PA2＝PH×PQ，能力提升解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球的球心，利用球的截面的性質(zhì)，球心和球的截面的中心連線(xiàn)垂直于截面.結(jié)合相關(guān)幾何量之間的數(shù)量關(guān)系可確定球心.跟蹤演練1.已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為1234√2.在三棱錐P－ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，則三棱錐P－ABC的外接球的體積為1234解析

因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC是正三角形，所以△PAB≌△PAC≌△PBC，由PA⊥PB知，PA⊥PC，PB⊥PC，以PA，PB，PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(圖略)，則三棱錐P－ABC的外接球可看成正方體的外接球，√12343.已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)_______.36π1234解析

如圖，SC為球O的直徑，O為球心，因?yàn)镾A＝AC，所以AO⊥SC，同理SB＝BC，所以BO⊥SC，BO∩AO＝O，所以SC⊥平面ABO.又平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，AO⊥SC，AO?平面SAC，所以AO⊥平面SBC，所以AO⊥BO.設(shè)球的半徑為R，則AO＝BO＝SO＝CO＝R，所以R＝3，所以球O的表面積為S＝4πR2＝36π.4.類(lèi)比圓的內(nèi)接四邊形的概念，可得球的內(nèi)接四面體的概念，已知球O的一個(gè)內(nèi)接四面體A－BCD中，AB⊥BC，BD過(guò)球心O，若該四面體的體積為1，且AB＋BC＝2，則球O的表面積的最小值為_(kāi)_______.123438π解析

在Rt△ABC中，由AB⊥BC，且AB＋BC＝2，1234當(dāng)且僅當(dāng)AB＝BC＝1時(shí)，