初中數(shù)學(xué)滬科版八年級(jí)上冊(cè)三角形中的邊角關(guān)系命題與證明13．2命題與證明 全市一等獎(jiǎng)

中物理滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明13.2.4三角形的外角課前熱身1、在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,則∠C=

.3.什么是三角形的內(nèi)角？其內(nèi)角和等于多少？48°三角形相鄰兩邊所夾的角叫作三角形的內(nèi)角，三角形的內(nèi)角和是180°.2、如圖，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,

則∠ACB=

，∠ACD=

.ABCD50°130°上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理的證明.回顧與思考CBAEDCBADECBADABCDFE

轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，思路總結(jié)這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.為了證明三個(gè)角的和為180°,作輔助線在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.

在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思考：多種方法證明的核心是什么？

借助平行線的“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ).叫做

把△ABC的一邊BC延長至點(diǎn)D，三角形的外角的概念在三角形內(nèi)角和定理的證明中，得到∠ACD.我們?cè)?jīng)像這樣，由三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，三角形的外角.CBAD∠ACD是△ABC的一個(gè)外角三角形的外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長線.

在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處有多少個(gè)外角？問題1

如圖，延長AC到E，∠DCE是不是△ABC的一個(gè)外角？ECBAD∠BCE是不是△ABC的一個(gè)外角？∠BCE是△ABC的一個(gè)外角，∠DCE不是△ABC的一個(gè)外角.問題2

如圖，∠ACD與∠BCE有什么關(guān)系？在三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角.∠ACD與∠BCE為對(duì)頂角，∠ACD=∠BCE；ABC畫一畫

畫出△ABC的所有外角，共有幾個(gè)呢?每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有2個(gè)，每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角．且這2個(gè)角為對(duì)頂角.FABCDE

如圖，∠BEC是哪個(gè)三角形的外角？∠AEC是哪個(gè)三角形的外角？∠EFD是哪個(gè)三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.練一練三角形的外角的性質(zhì)三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角問題1

如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系？即

∠BCD+∠ACB=180°三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角.外角與相鄰內(nèi)角的大小不能確定。問題2

如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關(guān)系？三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角∴∠BCD=∠A+∠B.∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，你能用作平行線的方法證明此結(jié)論嗎？三角形的外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

等于推論3：D過點(diǎn)C作CE∥ABABC12∴∠1=∠B∠2=∠A∵∠ACD=∠1+∠2E已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.驗(yàn)證結(jié)論∴∠ACD=∠A+∠B

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（兩直線平行，同位角相等）證明：（等量代換）三角形的外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

等于推論3：如圖，試比較∠2和∠1、∠2和∠B的大??；∴∠2＞∠1拓展探究解：∴∠2=∠1+∠B

∠2＞∠B

推論4：大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.三角形的外角∵∠2是△ABC的外角(三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)推論3：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

推論4：三角形的外角大于與它不相鄰任何一個(gè)內(nèi)角.ABCD∠CAD=∠B+∠C∠CAD>∠B，∠CAD>∠C歸納總結(jié)三角形內(nèi)角和定理的推論

如圖,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度數(shù).∵

∠BEC是△AEC的一個(gè)外角∴∠BEC=∠A+∠ACE

∵∠A=42°，∠ACE=18°

∴∠BEC=60°∵

∠BFC是△BEF的一個(gè)外角∴

∠BFC=∠ABD+∠BEF

∵∠ABD=28°，∠BEC=60°

∴

∠BFC=88°解：FACDEB練一練試一試如圖，試比較∠3、∠2、∠1的大小.∴∠3＞∠2

解：∵∠2是△ABC的外角∴∠2＞∠1

又∵∠3是△DCE的外角∴∠3＞∠2＞∠1

(三角形的外角大于與它不相鄰任何一個(gè)內(nèi)角）(三角形的外角大于與它不相鄰任何一個(gè)內(nèi)角）例5

如圖，∠1,∠2,∠3是△ABC的三個(gè)外角.

求證：∠1+∠2+∠3=360°ABC123證明：∵

∠1=∠ABC+∠ACB∠2=∠BAC+∠BCA∠3=∠BAC+∠ABC（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠BCA+∠BAC+∠ABC∴∠1+∠2+∠3=360°=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）∵

∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°∴∠1+∠2+∠3=你還有其他解法嗎？（三角形內(nèi)角和定理）（等式的性質(zhì)）（等量代換）例5

如圖，∠1,∠2,∠3是△ABC的三個(gè)外角.

求證：∠1+∠2+∠3=360°ABC123證明：∵

∠1+∠BAC=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BCA=180°（平角的定義）∴∠1+∠2+∠3=360°∵

∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°∴∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠BCA=540°方法二：（等式的性質(zhì)）（三角形內(nèi)角和定理）（等式的性質(zhì)）例5

如圖，∠1,∠2,∠3是△ABC的三個(gè)外角.

求證：∠1+∠2+∠3=360°ABC123證明：過點(diǎn)A作AD∥BC∴∠2=∠4

∠3=∠DAC（兩直線平行，同位角相等）∴∠1+∠2+∠3=360°∵∠1+∠4+∠DAC=360°方法三：（周角的定義）（等量代換）D4

思考你能總結(jié)出三角形三個(gè)外角(三個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè))和的數(shù)量關(guān)系嗎？三角形的三個(gè)外角(三個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè))的和等于360°.即：三角形的外角和等于360°.當(dāng)堂檢測(cè)1.判斷下列命題的對(duì)錯(cuò).(1)三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）(2)三角形的外角和等于它的內(nèi)角和的2倍.（）(3)三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和.（）(4)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.（）(5)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角.（）(6)三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.()(7)三角形的一個(gè)內(nèi)角小于任何一個(gè)與它不相鄰的外角.（）

160°110°2、求下列各圖中∠1的度數(shù)。50°

45°

1

35°

120°

13、如圖，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F

等于（）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A63°4、(1)如圖，∠BDC是________

的外角,也是

的外角；

△ADE△ADCABCDE(2)若∠B=45°，∠BAE=36°,∠BCE=20°,試求∠AEC的度數(shù).解：∴

∠ADC

∵

∠ADC是△BDC的外角，且∠B=45°,∠BCE=20°=∠B+∠BCE=65°

又∵

∠AEC是△ADE的外角，且∠BAE=36°,∠ADC=65°∴

∠AEC=∠BAE+∠ADC=65°（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）

321ABCDE5、把圖中∠1、∠2、∠3按從大到小的順序排列，并說明理由。解：∵∠1是△BDE的外角∴∠1＞∠2又∵

∠2是△ADC的外角∴

∠2＞∠3∴∠1＞∠2＞∠3(三角形的外角大于與它不相鄰任何一個(gè)內(nèi)角)(三角形的外角大于與它不相鄰任何一個(gè)內(nèi)角)趁熱打鐵把圖中∠1、∠2、∠3、∠4按從大到小的順序排列.ABCDEF1234∠4＞∠3＞∠2＞∠1【變式題】

(一題多解)如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).拓展提升ABCD解法一：連接AD并延長于點(diǎn)E.E

1234∵∠3是△ABD的外角，∠4=∠2+∠C∴∠3=∠1+∠B，∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2∴∠BDC=∠1+∠ABD+∠2+∠C=∠BAC+∠ABD+∠C又∵∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°∴∠BDC==101°51°+20°+30°∠4是△ADC的外角【變式題】

(一題多解)如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).拓展提升一ABCD解法二：延長BD交AC于點(diǎn)E.E∵∠DEC是△ABE的外角,∴∠DEC且∠A=51°,∠B=20°=71°=∠A+∠B

∵∠BDC是△DEC的外角,∴∠BDC

且∠DEC=71°，∠C=30°=101°=∠DEC+∠C解法三：延長CD交AB于點(diǎn)F（解題過程同解法二）.解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造三角形，利用三角形外角的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化的思想，把未知角與已知角聯(lián)系起來求解.總結(jié)ABCDE

如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).拓展提升二解法一：連接CD在△BFE中，F(xiàn)∠B+∠E+∠BFE=180°在△CFD中，∠ECD+∠BDC+∠CFD=180°∵

∠BFE=∠CFD∴

∠B+∠E=∠ECD+∠BDC∵∠A+∠ACE+∠ECD+∠BDC+∠ADB=180°∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°G

把分散的角集中到同一個(gè)三角形中，最后利用三角形的內(nèi)角和定理去解決問題.

即利用“8”字型圖形的性質(zhì)

總結(jié)ABCDE

如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).拓展提升二FG解法二：∵∠BFC是△BFE的外角∴∠BFC=∠B+∠E

∵∠CGD是△AGD的外角∴∠CGD=∠A+∠D又∵

∠C+∠BFC+∠CGD=180°∴∠C+∠B+∠E+∠A+∠D=180°

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°本題的兩種解法都體現(xiàn)了化分散為集中的轉(zhuǎn)化思想，或運(yùn)用外角的性質(zhì)，變式練習(xí)ＡＢＣＤＥＦ

如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).解法一：連接CB在△DEE中，∠E+∠F+∠EDF=180°在△BD