2023屆高中數(shù)學(xué)大題二輪復(fù)習(xí)第36講函數(shù)的最值-解析版

第36講函數(shù)的最值

最值就是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值,從函數(shù)圖像直觀說(shuō)來(lái)，最大值與

最小值在圖像中體現(xiàn)為函數(shù)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由最大值和最小值可以確定函數(shù)

的值域，我們來(lái)看最值的具體定義：

(1)設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?。，若切GD，使得對(duì)VxG。均滿足/(x)<y(x0),

那么稱X=Xo為函數(shù)/(X)的一個(gè)最大值點(diǎn),/(占)稱為函數(shù)/(X)的最大值.

(2)設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?。，若丸e。,使得對(duì)Vxe。,均滿足/(力之/(毛),

那么稱x=x0為函數(shù)/(x)的一個(gè)最小值點(diǎn),/優(yōu))稱為函數(shù)/(x)的最小值.

最值是函數(shù)的一個(gè)重要特征值,研究最值可以得出函數(shù)值域，也可以用在求解不

等式相關(guān)的問(wèn)題中.

【例】證明不等式InxWx-l,則構(gòu)造函數(shù)/(x)=Inx-x+l,可通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出

/(x)a="1)=0,由此可得到對(duì)于任意的％>0,均有/(x)W而=0.故

lnx-x+1<0,Inx<x-1.

那如何求解出函數(shù)的最值呢?當(dāng)然還是用到我們的導(dǎo)數(shù)來(lái)求解，最值問(wèn)題通常會(huì)

結(jié)合前面所學(xué)的單調(diào)性、極值和邊界值最終來(lái)確定最值，下面我們一一講解.

求無(wú)參函數(shù)的最值

題型:求函數(shù)『(X)在尤上的最大值f(x)1rax和最小值〃力碗.

方法步驟:一般來(lái)說(shuō)，最值點(diǎn)只可能在極值點(diǎn)或者邊界點(diǎn)處產(chǎn)生，對(duì)于無(wú)參函數(shù)最

值的解題步驟如下：

第一步:求出極值點(diǎn)和極值，/'($)=0=>極值為/(兩).

第二步:求出邊界值，即/(加)和/(〃).

第三步:比較極值和邊界值的大小，最大的為最大值，最小的為最小值.

【例1】函數(shù)/（x）=g+lor-l,求〃x）在區(qū)間（,e上的最大值.

【解析】仆）=弓+[?產(chǎn)[*一

；.當(dāng)時(shí)，((x)=^^<0,即單調(diào)遞減.

當(dāng)xe(l,e)時(shí),/'(x)=T>0,即“X)單調(diào)遞增.

又《卜一2,〃e）《而e.2>:,

〃x)在區(qū)間［!,e］上的最大值為/⑺皿=/口］=e-2.

_eJ\e/

【例2】已知函數(shù)〃力=也+刈判斷〃x）的單調(diào)性，并求〃x）在-,e上的最

xe

值.

【解析】〃力=蛆+》的定義域?yàn)椋?,+"）

X

\1-lnx,l+x2-Inx

/(x)=^F-+l=

A-X"0

?丫2_i(y/2X+1)(y/Q,X-1)

設(shè)g(%)=］+12-山,則g'(x)=-----=-----------------?令g'(x)=0得

XX

也

"2'

.?.g(x)在0,上上單調(diào)遞減，在出,+R上單調(diào)遞增，

、2JI2,

(6、aB

則g(%Lin=g—=。-In上>0「./(x)在(0,+8)上為增函數(shù).

\7

??J(X)在1,e上的最大值為〃e)=：+e,最小值為/(1=￡-e.

討論含參函數(shù)的最值

討論含參函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,目上的最值,核心在于求出“X)在區(qū)間上的

單調(diào)性和極值，對(duì)于最值、單調(diào)性和極值之間的關(guān)系，有如下常用結(jié)論：

(1)若函數(shù)在區(qū)間［a,0上單調(diào)遞增或遞減，則/(a)與/(。)一個(gè)為最大值，另一

個(gè)為最小值.

(2)若函數(shù)在區(qū)間［a,句內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在［a,目上的極值，再與/(?),

f(b)比較，最大的為最大值，最小的為最小值.

(3)函數(shù)〃x)在區(qū)間(a/)上有唯-個(gè)極值點(diǎn),這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值

點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.

除上述結(jié)論外，我們解題時(shí)通常會(huì)碰到一種求最大或者最小值的?？寄Ｐ停?/p>

最大值模型:求解含參函數(shù)y=f(k,x)(k為參數(shù))在xe［a,句上的最大值ymax.解

題步驟：

第一步:求出含參的極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)一般為極大值點(diǎn),并用參數(shù)表示，即

/'(左，而)=On/=g(4>

第二步:把極大值點(diǎn)Xo=g(A)分在區(qū)間的左、中、右三種情況來(lái)討論.

⑴當(dāng)極大值點(diǎn)在區(qū)間左邊時(shí)，即Xo=g(4)4a,函數(shù)y=〃幺x)(左為參數(shù))在

xe［a,。］上單調(diào)遞減，則K1ax=/(")?

⑵當(dāng)極大值點(diǎn)在區(qū)間中間時(shí)，即a<x0=g（攵）<b,函數(shù)y=（人為參數(shù)）在

%目凡引上單調(diào)遞增在法屈目上單調(diào)遞減惻加廣八%〉

⑶當(dāng)極大值點(diǎn)在區(qū)間右邊時(shí)，即xo=g（k）2"，函數(shù)了=/（左，》）注為參數(shù)）在

x?a,可上單調(diào)遞增，則丁2=〃江

注意:求最小值的模型類似，可自行總結(jié)。

［例1］已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)”x）=4（x—a）,設(shè)g（a）為了（力在區(qū)間［0,2］上的

最小值，請(qǐng)寫出g（a）的表達(dá)式.

x-a_3x-a

【解析】/'（*）=?+(x>0)若aWO,則/'(x)>0J(x)在區(qū)間

2\/x2y[x

［0,+8）上單調(diào)遞增.

若a>0,令r（x）=0,得尤=（極值點(diǎn)），當(dāng)0<x<］時(shí),r（x）<0;當(dāng)尤時(shí)，

廣（力>0/=］是極小值點(diǎn).”X）有單調(diào)遞減區(qū)間（0微，單調(diào)遞增區(qū)間

??.若aKO,即極小值點(diǎn)在區(qū)間左邊,〃x）在［0,2］上單調(diào)遞增.

??.g(a)=〃O)=O.

若0<a<6,即極小值點(diǎn)在區(qū)間中間,〃x）在0,1上單調(diào)遞減，在仁,2上單調(diào)

遞增,一（小嗚卜號(hào)存

若a?6,即極小值點(diǎn)在區(qū)間右邊,〃力在［0,2］上單調(diào)遞減，

??.g(a)=〃2)=0(2-a).

［例2］已知函數(shù)/(x)=/e，(a>0),求函數(shù)/(x)在［1,2］上的最大值.

【解析】/(x)=--ev(tz>0),

則r(力」_爐.令/(X)=0,解得X=1/(極值點(diǎn)).

aaa

當(dāng)x<In'時(shí),/(尤)>0.當(dāng)x>In,時(shí),/'(X)<0.x=ln—為極大值點(diǎn).

In1-、.減區(qū)間為|lnL,+e］.

故函數(shù)〃x)的增區(qū)間為一8,

aja

⑴當(dāng)ln：N2,即0<aW5,極大值點(diǎn)在區(qū)間右邊時(shí),/(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞

增，則/(月心=〃2)=2—e?.⑵當(dāng)1<1J<2,即極大值點(diǎn)在區(qū)間中間

時(shí)，

/(x)在區(qū)間1,ln［1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間1n：,2上單調(diào)遞減,

ci

則/(%*=小.

⑶當(dāng)In*1,即。弓極大值點(diǎn)在區(qū)間左邊時(shí),/(可在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，則

小)3=〃1)=：-e-

【例3】求g(x)=alnx+2x2一以一4%在區(qū)間［l,e］上的最小值//(a).

［解析1g(x)=?lnx+2x2-ar-4x,則g'(x)=0+4x-a-4=(敘1)

令g<x)=0得x或x=l.

⑴當(dāng)341,即晨4時(shí)，83在［3上為增函數(shù),/2(。)=86=-。一2.

a、

⑵當(dāng)l<￡<e,即4<a<4e時(shí),g(x)在1,上單調(diào)遞減，在e上單調(diào)遞增,

4;

、

??加力且仁^a\n---a2-a.

/48

⑶當(dāng)即心4e時(shí),g(x)在［l,e］上為減函數(shù),

/./?(tz)=(e)=(1-e)tz+2e2-4e.

—ci—2,a<4

綜上所述,/z(a)=,a］2AA

aln----cT—〃，4<a<4c.

48

(l-e)a+2e2-4e,a>4e

已知最值反求參數(shù)

反求參數(shù)問(wèn)題是給出函數(shù)在區(qū)間上的最值，來(lái)反求參數(shù)，其一般步驟是：

第一步:按照上一節(jié)的步驟，先討論出含參數(shù)單調(diào)性和最值，這個(gè)最值通常含參

數(shù).

第二步:帶人已知的最值反求解參數(shù)，求解后驗(yàn)證，不滿足則舍去.

【例1】已知函數(shù)”刈=三一2向.

⑴討論“X)的單調(diào)性.

⑵若/(x)在口,+。)上的最大值為1,求。的值.

【解析】⑴/(x)的定義域?yàn)?O,+”)"'(x)=-十：=-三等.

①當(dāng)心0時(shí)，尸(x)<0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

②當(dāng)a<0時(shí)，令/'(x)<0得x>—夕則/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為1-會(huì)+叼.令

/(無(wú))>0,得0<%<-多則〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,-］］

(2)由口)題知,

i)當(dāng)心0時(shí),“X)在［1,+8)上單調(diào)遞減，

；J(X)1rax="1)=a=1，則a=1.

ii)當(dāng)-2Wa<0時(shí)在［1,+。)上單調(diào)遞減，

:.f(x)nm=/(l)=a=lJiJ-2<?<0,不合題意.

iii)當(dāng)a<-2時(shí),/(XL=/12=-2-2111-］a<-2,:.-2-2\n一?<一2,

則a<-2不合題意.綜上,a=1.

【例2】已知函數(shù)/(x)=lnx-幺,awR.

⑴討論函數(shù)”X)在定義域上單調(diào)性.

(2)若函數(shù)/(X)在［1,e］上的最小值為方求。的值.

【解析】⑴函數(shù)的定義域?yàn)?0,+力),且/'(力=三工

①當(dāng)a20時(shí),/'(x)>0,/(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)a<0時(shí)，令/'(x)=0,得x=-a,

.?./(X)在(0,-a)上單調(diào)遞減，在(-a,+e)上單調(diào)遞增.

(2)由⑴題知，/但=卓，

①若a2-1,則x+a20,即fr(x)>0,在［l,e］上恒成立，

此時(shí)〃x)在［l,e］上為增函數(shù).

/(x)在［l,e］上的最小值為|,.-./(x)min="1)=—a=看；.a=—|(舍去).

②若aW-e,則x+a<0,即/(x)<0,在［l,e］上恒成立，

此時(shí)“X)在［l,e］上為減函數(shù)，

”(x)min=/(e)=1-￡=|???.a=-］(舍去).

③若Yvav-l,令/(%)=0得了=-〃.

當(dāng)1vxv-口時(shí),廣(工)v0,

.-./(x)在(一1,a)上為減函數(shù).當(dāng)一a<x<e口寸，/(x)>0,

??.〃%)在(-a,e)上為增函數(shù).

/(-a)=In(—a)+1=|.

.1.a=-x/e.綜上可知:a=-Ve

［例3］已知函數(shù)8