第二章邏輯代數(shù)及其應(yīng)用

第二章邏輯代數(shù)及其應(yīng)用第一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.1邏輯代數(shù)的基本公式和導(dǎo)出公式基本概念

邏輯：事物的因果關(guān)系 邏輯運算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：邏輯代數(shù) 在二值邏輯中的變量取值：0/1第二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四與條件同時具備，結(jié)果發(fā)生Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY00001000112.1.1邏輯代數(shù)的三種基本運算第三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四或條件之一具備，結(jié)果發(fā)生Y=AORB=A+BABY0000110111第四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四非條件不具備，結(jié)果發(fā)生

AY0110第五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四幾種常用的復(fù)合邏輯運算與非 或非 與或非第六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四異或Y=ABABY0000110110第七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四同或Y=A⊙BABY0010100011Y=A⊙B第八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四基本公式序號公式序號公式（1a）0

A=0（1b）1+A=1（2a）1A=A（2b）0+A=A（3a）AA=A（3b）A+A=A（4a）AA′=0（4b）A+A′=1（5a）AB=BA（5b）A+B=B+A（6a）A(BC)=(AB)C（6b）A+(B+C)=(A+B)+C（7a）A(B+C)=AB+AC（7b）A+BC=(A+B)(A+C)（8a）(AB)′=A′+B′（8b）(A+B)′=A′B′（9）(A′)′=A證明方法：真值表2.1.2基本公式和若干導(dǎo)出公式第九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四

A+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊

=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;結(jié)合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;結(jié)合律=A?1+BC;1+B+C=1=A+BC;A?1=1=左邊

公式（7b）的證明：第十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四公式（8a）的證明（真值表法）：AB001111011011100111110000(AB)′=A′+B′第十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四常用的導(dǎo)出公式序號公式序號公式（11a）A+AB=A（11b）A(A+B)=A（12a）A+A′B=A+B（12b）A(A′+B)=AB（13a）AB+AB′=A（13b）(A+B)(A+B′)=A（14a）AB+A′C+BC=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′C（14b）(A+B)(A′+C)(B+C)=(A+B)(A′+C)(A+B)(A′+C)(B+C+D)=(A+B)(A′+C)證明方法：推導(dǎo)，真值表第十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四1.原變量的吸收：A+AB=A證明：A+AB利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。例如：被吸收長中含短，留下短。=A(1+B)=A?1=A第十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.反變量的吸收：證明：例如：被吸收長中含反，去掉反。第十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四3.混合變量的吸收：證明：例如：1吸收正負(fù)相對，余全完。第十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.2代入定理及其應(yīng)用代入定理------在任意一個包含變量A的等式中，若用任何一個邏輯式代替等式中的A，則等式仍然成立。第十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四代入定理應(yīng)用舉例：式（8a）(AB)′=A′+B′ (A(BC))′=A′+(BC)′ =A′+B′+C′第十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四代入定理應(yīng)用舉例：式（8b）第十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四邏輯函數(shù)Y=F(A,B,C,······)------當(dāng)表示“原因”的變量（也稱為輸入邏輯變量）取值確定以后，表示“結(jié)果”的變量（也稱為輸出邏輯變量）取值便隨之確定。因而輸出邏輯變量與輸入邏輯變量之間是一種函數(shù)關(guān)系。

2.3邏輯函數(shù)及其描述方法第十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四邏輯函數(shù)的表示方法真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖硬件描述語言各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換第二十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.3.1用真值表描述邏輯函數(shù)輸入變量ABC····輸出Y1Y2

····輸入變量所有可能的取值輸出對應(yīng)的取值第二十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.3.2用邏輯函數(shù)式描述邏輯函數(shù)將邏輯函數(shù)的輸出寫成輸入邏輯變量的代數(shù)運算式例如：

邏輯函數(shù)式的標(biāo)準(zhǔn)形式：最小項之和第二十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四最小項m：m是乘積項包含n個輸入變量n個輸入變量都以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次1.最小項及其性質(zhì)第二十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四兩變量A,B的最小項三變量A,B,C的最小項最小項舉例：

對于n變量函數(shù)有2n個最小項第二十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四最小項的編號：最小項取值對應(yīng)編號ABC十進制數(shù)0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7第二十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四最小項的性質(zhì)：在輸入變量的任何取值下，必有一個、而且僅有一個最小項取值為1。全部最小項之和為1。任意兩個最小項之積為0。具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并為一項，合并后的結(jié)果中只保留這兩項的公共因子。------相鄰性：兩個最小項之間僅有一個變量不同,如最小項取值A(chǔ)BC000001010011100101110111第二十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.邏輯函數(shù)式的最小項之和形式：例：利用公式可將任何一個函數(shù)化為第二十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四例：2.邏輯函數(shù)式的最小項之和形式：利用公式可將任何一個函數(shù)化為第二十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四例：2.邏輯函數(shù)式的最小項之和形式：利用公式可將任何一個函數(shù)化為第二十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四例：2.邏輯函數(shù)式的最小項之和形式：利用公式可將任何一個函數(shù)化為第三十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：第三十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：第三十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：第三十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.3.3用邏輯圖描述邏輯函數(shù)用邏輯圖形符號連接起來表示邏輯函數(shù)，得到的連接圖稱為邏輯圖。第三十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四將輸入變量所有可能的取值與對應(yīng)的輸出按時間順序依次排列起來畫成的時間波形，稱為函數(shù)的波形圖。2.3.4用波形圖描述邏輯函數(shù)000000第三十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.3.5用卡諾圖描述邏輯函數(shù)1.最小項的卡諾圖表示法實質(zhì)：將邏輯函數(shù)式的最小項之和形式以圖形的方式表示出來。以2n個小方塊分別代表n變量的所有最小項，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的（即只有一個變量不同），就得到了表示n變量全部最小項的卡諾圖。第三十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖第三十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖第三十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖四變量的卡諾圖第三十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四五變量的卡諾圖第四十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

將函數(shù)表示為最小項之和的形式。在最小項的卡諾圖上與函數(shù)式中包含的最小項所對應(yīng)位置上填入1，在其余的位置上填入0。第四十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)例：第四十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)第四十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.3.7邏輯函數(shù)描述方法間的轉(zhuǎn)換同一邏輯函數(shù)式的不同描述方法，相互之間可以互相轉(zhuǎn)換。1.真值表邏輯式例：給出邏輯函數(shù)的真值表，試寫出它的邏輯函數(shù)式。這三個乘積項的任何一個取值為1時都使Y=1，所以ABCY備注00000011010101101001101011001110第四十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四真值表邏輯式：從真值表中找出所有使函數(shù)值等于1的輸入變量取值。上述的每一組變量取值下，都會使一個乘積項的值為1。在這個乘積項中，取值為1的變量寫入原變量，取值為0的寫入反變量。將這些乘積量相加，就得到了所求的邏輯函數(shù)式。第四十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四邏輯式邏輯圖1.用圖形符號代替邏輯式中的代數(shù)運算符號，并依照邏輯式中的運算優(yōu)先順序?qū)⑦@些圖形符號連接起來。第四十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四邏輯式邏輯圖2.如果給出邏輯圖，則只要從輸入端到輸出端寫出每個圖形符號所表示的邏輯運算式。第四十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四邏輯式卡諾圖1.將給定的邏輯函數(shù)式表示為卡諾圖。2.如果給出了卡諾圖，則只要將卡諾圖中填入1的位置上的那些最小項相加即可。第四十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四邏輯式卡諾圖例：第四十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四波形圖真值表1.按給出的函數(shù)真值表，畫出波形圖。2.如果給出了函數(shù)的波形圖，則需要將每個時間段的輸入與輸出的取值列表。第五十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四波形圖真值表例：將ABC的取值順序按表中自上而下的順序排列，即得到波形圖。ABCY00000010010001111000101111011110第五十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四波形圖真值表例：將波形圖上不同時間段中A、B、C與Y的取值對應(yīng)列表，即得到真值表。ABCY11110110101000111100010010010000第五十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.4邏輯函數(shù)的化簡方法邏輯函數(shù)的最簡形式最簡與或------使函數(shù)式中所包含的乘積項最少，同時每個乘積項所包含的因子最少，稱為最簡的與或邏輯式。第五十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.4.1公式化簡法利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式對邏輯代數(shù)式進行運算，消去式中多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子。例：

第五十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.4.1公式化簡法利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式對邏輯代數(shù)式進行運算，消去式中多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子。例：

第五十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.4.1公式化簡法利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式對邏輯代數(shù)式進行運算，消去式中多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子。例：

第五十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.4.1公式化簡法利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式對邏輯代數(shù)式進行運算，消去式中多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子。例：

第五十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.4.1公式化簡法利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式對邏輯代數(shù)式進行運算，消去式中多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子。例：

第五十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.4.1公式化簡法利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式對邏輯代數(shù)式進行運算，消去式中多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子。例：

第五十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四

例：

第六十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.4.2用卡諾圖化簡函數(shù)依據(jù)：具有相鄰性的最小項可合并，消去不同因子。

在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。第六十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四合并最小項的原則：兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一個因子第六十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四四個排成矩形的相鄰最小項可合并為一項，消去兩個因子第六十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四八個排成矩形的相鄰最小項可合并為一項，消去三個因子第六十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四化簡步驟：1.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)2.將卡諾圖中按矩形排列的相鄰的1圈成若干個相鄰組，原則是：

3.化簡后的乘積項相加用卡諾圖化簡函數(shù)這些相鄰組必須覆蓋卡諾圖上所有的1。每個相鄰組中至少有一個1不包含在其他相鄰組內(nèi)。相鄰組的數(shù)目應(yīng)最少。每個相鄰組應(yīng)包含盡可能多的1。第六十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四例：第六十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四0001111000011110ABCD例：第六十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四00011110000110010011111011101001ABCD例：第六十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四例：ABC0001111001111111第六十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四ABC0001111001111111第七十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四約束項任意項邏輯函數(shù)中的無關(guān)項：約束項和任意項可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無關(guān)項。輸入變量的某些取值在工作過程中始終不會出現(xiàn)，我們把這些輸入變量取值下等于1的最小項稱為約束項在輸入變量的某些取值下，輸出是1、是0均可，是任意的。在這些輸入變量下取值為1的最小項叫做這個函數(shù)的任意項2.5具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡

2.5.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項第七十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四2.5.2具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡

合理地利用無關(guān)項，可得更簡單的化簡結(jié)果。加入（或去掉）無關(guān)項，應(yīng)使化簡后的項數(shù)最少，每項因子最少······從卡諾圖上直觀地看，加入無關(guān)項的目的是為了使矩形圈最大，矩形組合數(shù)最少。第七十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四000111100001111111011ABCD第七十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四0001111000000001011111xxxx1011xxABCD第七十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四0001111000000001011111xxxx1011xxABCD第七十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期四例：000111100010x00101x011xxxx1000x1ABCD第七十六頁，共八十三頁，編輯于2