第五章圓軸的扭轉(zhuǎn)

第五章圓軸的扭轉(zhuǎn)1第一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四第5章圓軸的扭轉(zhuǎn)5.1圓軸扭轉(zhuǎn)的實(shí)例與概念5.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力和內(nèi)力5.3扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力5.4扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件5.5圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件第二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四5.1扭轉(zhuǎn)變形的實(shí)例與概念第三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四傳動(dòng)軸第四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四受力特點(diǎn)：圓截面桿受到一對(duì)大小相等、方向相反的外力偶作用，力偶作用面垂直圓桿軸線。變形特點(diǎn)：任意兩個(gè)橫截面之間都發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)（軸表面縱線歪成螺旋線）。B端相對(duì)于A端面的轉(zhuǎn)角φ，稱為扭轉(zhuǎn)角。ABA'B'jgMnMn扭轉(zhuǎn)角φ切應(yīng)變?chǔ)玫谖屙?，共三十六頁，編輯?023年，星期四5.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力和內(nèi)力一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩計(jì)算在工程實(shí)際中，外力偶矩往往不是直接給出，給出的是軸所傳遞的功率N和軸的轉(zhuǎn)速n，因此需要根據(jù)N、n來計(jì)算外力偶矩。轉(zhuǎn)速n傳遞功率N第六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四5.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力和內(nèi)力①若已知圓周力P和半徑R，則外力偶矩②若已知功率N(kW)和轉(zhuǎn)速n(r/min)，則PRnv轉(zhuǎn)速n輸入功率N齒輪、傳動(dòng)鏈條和皮帶的圓周力對(duì)輪心的力矩就是使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶矩

第七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四二、扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力求出所有外力偶矩后，即可用截面法求橫截面上的內(nèi)力。mMTmm作用在橫截面上的內(nèi)力偶MT

稱為扭矩。取右段，MT方向相反第八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定負(fù)mMTmMT正右手螺旋法則為使取左側(cè)和右側(cè)得到的同一截面的扭矩，不僅數(shù)值相等，且符號(hào)相同，對(duì)扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下。第九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四求扭矩的快捷方法扭矩的大小等于截面任何一側(cè)所有外力偶矩的代數(shù)和。外力偶矩正負(fù)號(hào)規(guī)定同扭矩。BCADmBmCmDmA112233第十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四書上的一個(gè)問題扭矩一定要按正向假設(shè)第十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四外力偶矩的正負(fù)號(hào)同扭矩，右手，離開截面為正。正mm負(fù)右手螺旋法則MTMT第十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四【例5-1】主動(dòng)輪NA=120kW，從動(dòng)輪NB=30kW，NC=40kW，ND=50kW，轉(zhuǎn)速n=300r/min，求截面1-1、1-2、1-3的扭矩。解：Mt1Mt2Mt3第十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四可見2-2截面扭矩最大，是危險(xiǎn)截面。Mt扭矩圖第十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四5.3扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力

應(yīng)力分布應(yīng)力公式變形觀察應(yīng)變分布平面假定靜力方程確定橫截面上應(yīng)力的方法與過程

物理關(guān)系（虎克定律）第十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四5.3扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力一、應(yīng)力分布規(guī)律①變形后圓周線的形狀、大小都沒有改變，兩相鄰圓周線之間的距離也沒有改變。②縱向線仍為直線，都傾斜了同一個(gè)角度γ，原來矩形變成了平行四邊形。第十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四圓軸扭轉(zhuǎn)變形后各個(gè)橫截面仍為平面，而且其大小、形狀以及相鄰兩截面之間的距離保持不變，橫截面半徑不變。橫截面上各點(diǎn)無軸向變形，故橫截面上沒有正應(yīng)力。橫截面繞軸線發(fā)生了旋轉(zhuǎn)式的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，矩形變?yōu)槠叫兴倪呅危蕶M截面上有切應(yīng)力存在。各橫截面半徑不變，所以切應(yīng)力方向與半徑垂直。推斷結(jié)論平面假設(shè)第十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四變形幾何關(guān)系在受扭圓軸中取一個(gè)微段dx來分析。注意dφ、ABCD根據(jù)幾何關(guān)系，圓周表面任一點(diǎn)A的切應(yīng)變：距離圓心為ρ處的E點(diǎn)切應(yīng)變（橫截面上任一點(diǎn)E切應(yīng)變）：在微段中取出一個(gè)扇形體放大后的圖第十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距離ρ成正比。第十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四物理關(guān)系切應(yīng)力分布規(guī)律圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力與它們離中心的距離成正比。圓心處切應(yīng)力等于0，軸表面處切應(yīng)力最大。切應(yīng)力沿半徑線性分布，方向垂直于半徑。根據(jù)剪切胡克定律：第二十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四二、橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式trMTotrrtdA靜力關(guān)系各微面積上微內(nèi)力對(duì)中心之矩的總和應(yīng)等于截面扭矩第二十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四trMTotrrtdA稱為截面的極慣性矩，與截面尺寸有關(guān)的幾何量。稱為抗扭截面模量令：書上有錯(cuò)因第二十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四三、極慣性矩和抗扭截面模量1、實(shí)心圓軸第二十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四2、空心圓軸dDo第二十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四5.4扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面與確定許可載荷。為了保證圓軸安全工作，要求最大切應(yīng)力不超過材料的許用切應(yīng)力。第二十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四【例5-2】某機(jī)器傳動(dòng)軸由空心鋼管制成，鋼管外徑D=90mm，內(nèi)徑d=85mm，材料許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，軸傳遞的功率N=16kW，轉(zhuǎn)速n=100r/min。試校核該軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。（1）計(jì)算外力偶矩和扭矩解：軸橫截面上的扭矩MT等于外力偶矩m，即：（2）校核扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度軸內(nèi)最大切應(yīng)力為<[τ]故該傳動(dòng)軸強(qiáng)度足夠。第二十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四【例5-3】若上例中的傳動(dòng)軸采用實(shí)心軸，其它條件不變，現(xiàn)要求它與原來的空心軸強(qiáng)度相同（即最大切應(yīng)力相同），試確定其直徑，并比較空心軸與實(shí)心軸的重量。（1）確定實(shí)心軸的直徑D1解：因要求與上例空心軸強(qiáng)度相同，故實(shí)心軸的最大切應(yīng)力也應(yīng)為52.2MPa。即第二十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四（2）比較空心軸與實(shí)心軸的重量上例空心軸的橫截面面積為實(shí)心軸的橫截面面積為在兩軸長(zhǎng)度相等，材料相同情況下，兩軸重量之比等于橫截面面積之比，即第二十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四可見在相同的外力偶矩情況下，強(qiáng)度相等的空心軸的重量?jī)H為實(shí)心軸的31%，即選用空心軸要比實(shí)心軸更省材料。解釋從截面應(yīng)力分布可見，實(shí)心軸圓周上τmax≈[τ]時(shí)，中間部分切應(yīng)力與[τ]相差甚遠(yuǎn)，中間材料大部分沒有充分利用。若把中間部分材料向邊緣移，成為空心截面，就會(huì)增大Wρ，提高強(qiáng)度。MT第二十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四一、圓軸的扭轉(zhuǎn)變形5.5圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件用兩端面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角表示第三十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四工程上常用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角表示扭轉(zhuǎn)變形大小。單位：rad/m工程上中規(guī)定的單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角[θ]常以°/m為單位，故上式可改寫成N·mm4Pa(N/m2)GJρ—抗扭剛度第三十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四二、扭轉(zhuǎn)的剛度條件要求精密度高、運(yùn)轉(zhuǎn)穩(wěn)定的軸：[θ]=0.250～0.500/m要求一般的軸：[θ]=0.500～1.00/m要求精密度低的軸：[θ]=1.00～3.00/m第三十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期四【例5-4】傳動(dòng)軸主動(dòng)輪C輸入外力偶矩mC=955N.m，從動(dòng)輪A、B、D分別輸出mA=159.2N.m，mB=318.3Nm，mD=477.5N.m，已知材料切變彈性模量G=80×103MPa，許用切應(yīng)力[τ]=40MPa，單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角[θ]=1o/m。設(shè)計(jì)軸的直徑。解：（1）計(jì)算扭矩，畫扭矩圖；AB段：MT1=-159.2N.m，BC段：MT2=-477.5N.m，CD段：MT3=477.5N.m。M