高中總復(fù)習(xí)第二輪數(shù)學(xué)(新)難點(diǎn)分類討論思想

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精難點(diǎn)38分類討論思想分類討論思想就是根據(jù)所研究對(duì)象的性質(zhì)差異,分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多，利于考查學(xué)生的知識(shí)面、分類思想和技巧；同時(shí)方式多樣，具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，樹(shù)立分類討論思想,應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論.”●難點(diǎn)磁場(chǎng)1。（★★★★★）若函數(shù)在其定義域內(nèi)有極值點(diǎn)，則a的取值為.2.（★★★★★）設(shè)函數(shù)f（x)=x2+｜x–a｜+1，x∈R。（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）求函數(shù)f（x)的最小值.●案例探究［例1］已知{an｝是首項(xiàng)為2,公比為的等比數(shù)列,Sn為它的前n項(xiàng)和.(1）用Sn表示Sn+1；（2）是否存在自然數(shù)c和k，使得成立。命題意圖：本題主要考查等比數(shù)列、不等式知識(shí)以及探索和論證存在性問(wèn)題的能力，屬★★★★★級(jí)題目。知識(shí)依托:解決本題依據(jù)不等式的分析法轉(zhuǎn)化，放縮、解簡(jiǎn)單的分式不等式；數(shù)列的基本性質(zhì).錯(cuò)解分析：第2問(wèn)中不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn),不能確定出。技巧與方法:本題屬于探索性題型,是高考試題的熱點(diǎn)題型.在探討第2問(wèn)的解法時(shí),采取優(yōu)化結(jié)論的策略,并靈活運(yùn)用分類討論的思想：即對(duì)雙參數(shù)k，c輪流分類討論，從而獲得答案。解：（1）由Sn=4(1–)，得，（n∈N*）（2）要使，只要因?yàn)樗?，（k∈N＊）故只要Sk–2＜c＜Sk,(k∈N＊）因?yàn)镾k+1＞Sk，（k∈N*）①所以Sk–2≥S1–2=1。又Sk＜4，故要使①成立,c只能取2或3。當(dāng)c=2時(shí),因?yàn)镾1=2，所以當(dāng)k=1時(shí)，c＜Sk不成立，從而①不成立.當(dāng)k≥2時(shí),因?yàn)?，由Sk＜Sk+1（k∈N＊）得Sk–2＜Sk+1–2故當(dāng)k≥2時(shí)，Sk–2＞c，從而①不成立。當(dāng)c=3時(shí),因?yàn)镾1=2，S2=3,所以當(dāng)k=1，k=2時(shí)，c＜Sk不成立，從而①不成立因?yàn)?，又Sk–2＜Sk+1–2所以當(dāng)k≥3時(shí)，Sk–2＞c，從而①成立.綜上所述，不存在自然數(shù)c,k，使成立.[例2]給出定點(diǎn)A（a，0）（a＞0）和直線l：x=–1，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C.求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.命題意圖：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡，直線與圓錐曲線的基本知識(shí),分類討論的思想方法。綜合性較強(qiáng),解法較多,考查推理能力和綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解題的能力。屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本方法步驟。橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本特點(diǎn).錯(cuò)解分析:本題易錯(cuò)點(diǎn)為考生不能巧妙借助題意條件,構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系式和分類討論軌跡方程表示曲線類型.技巧與方法：精心思考,發(fā)散思維、多途徑、多角度的由題設(shè)條件出發(fā),探尋動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的關(guān)系式.巧妙地利用角平分線的性質(zhì)。解法一：依題意，記B（–1，b)，（b∈R），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=–bx.設(shè)點(diǎn)C(x，y），則有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等。根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得｜y｜=①依題設(shè),點(diǎn)C在直線AB上,故有由x–a≠0，得②將②式代入①式,得y2［(1–a）x2–2ax+(1+a）y2］=0若y≠0，則(1–a）x2–2ax+（1+a)y2=0(0＜x＜a)若y=0則b=0，∠AOB=π,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0)滿足上式.綜上，得點(diǎn)C的軌跡方程為(1–a)x2–2ax+（1+a）y2=0(0＜x＜a（i）當(dāng)a=1時(shí)，軌跡方程化為y2=x（0≤x＜1③此時(shí)方程③表示拋物線弧段；（ii）當(dāng)a≠1，軌跡方程化為④所以當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程④表示橢圓弧段；當(dāng)a＞1時(shí)，方程④表示雙曲線一支的弧段.解法二：如圖，設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，E是垂足。（i）當(dāng)｜BD｜≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)C(x，y）,則0＜x＜a，y≠0由CE∥BD,得.∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD∴2∠COA=π–∠BOD∴∵∴整理，得（1–a）x2–2ax+（1+a)y2=0（0＜x＜a)(ii）當(dāng)｜BD｜=0時(shí)，∠BOA=π，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0)，滿足上式.綜合（i）、(ii）,得點(diǎn)C的軌跡方程為（1–a）x2–2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）以下同解法一.解法三：設(shè)C(x，y）、B(–1，b），則BO的方程為y=–bx，直線AB的方程為∵當(dāng)b≠0時(shí)，OC平分∠AOB，設(shè)∠AOC=θ,∴直線OC的斜率為k=tanθ,OC的方程為y=kx于是又tan2θ=–b∴–b=①∵C點(diǎn)在AB上∴②由①、②消去b，得③又，代入③,有整理，得（a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0④當(dāng)b=0時(shí)，即B點(diǎn)在x軸上時(shí)，C(0，0)滿足上式：a≠1時(shí)，④式變?yōu)楫?dāng)0＜a＜1時(shí)，④表示橢圓弧段；當(dāng)a＞1時(shí),④表示雙曲線一支的弧段；當(dāng)a=1時(shí)，④表示拋物線弧段.●錦囊妙計(jì)分類討論思想就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)問(wèn)題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn)的原則。分類討論常見(jiàn)的依據(jù)是：1。由概念內(nèi)涵分類.如絕對(duì)值、直線的斜率、指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類。2.由公式條件分類.如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、極限的計(jì)算、圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等.3.由實(shí)際意義分類。如排列、組合、概率中較常見(jiàn),但不明顯、有些應(yīng)用問(wèn)題也需分類討論.在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略,有時(shí)利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡(jiǎn)化甚至避開(kāi)討論.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.（★★★★）已知其中a∈R,則a的取值范圍是()A.a＜0B。a＜2或a≠–2C。–2＜a＜2D。a＜–2或a＞22。（★★★★★)四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）A。150種B。147種C。144種D。141種二、填空題3.(★★★★）已知線段AB在平面α外，A、B兩點(diǎn)到平面α的距離分別為1和3，則線段AB的中點(diǎn)到平面α的距離為。4。（★★★★★)已知集合A={x｜x2–3x+2=0｝,B=｛x｜x2–ax+（a–1）=0}，C={x｜x2–mx+2=0｝,且A∪B=A，A∩C=C,則a的值為，m的取值范圍為.三、解答題5.（★★★★）已知集合A=｛x｜x2+px+q=0｝，B=｛x｜qx2+px+1=0｝，A，B同時(shí)滿足:①A∩B≠,②A∩B=｛–2｝。求p、q的值.6.（★★★★）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2,0）和圓C:x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與｜MQ｜的比等于常數(shù)λ（λ＞0）。求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,并說(shuō)明它表示什么曲線。7。（★★★★★）已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線。當(dāng)n≤y≤n+1（n=0，1，2,…)時(shí)，該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b≠1），設(shè)數(shù)列{xn}由f（xn）=n（n=1，2,…）定義。(1）求x1、x2和xn的表達(dá)式；（2）計(jì)算xn；（3）求f(x）的表達(dá)式,并寫出其定義域.8.(★★★★★）已知a＞0時(shí)，函數(shù)f(x）=ax–bx2（1）當(dāng)b＞0時(shí)，若對(duì)任意x∈R都有f(x）≤1，證明a≤2b；（2）當(dāng)b＞1時(shí)，證明:對(duì)任意x∈［0，1],｜f（x）｜≤1的充要條件是b–1≤a≤2;(3）當(dāng)0＜b≤1時(shí)，討論：對(duì)任意x∈［0，1］，｜f(x）｜≤1的充要條件.參考答案●難點(diǎn)磁場(chǎng)1。解析：即f(x）=（a–1）x2+ax–=0有解。當(dāng)a–1=0時(shí)，滿足.當(dāng)a–1≠0時(shí)，只需Δ=a2–(a–1）＞0。答案：或a=12.解:(1）當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(–x）=(–x)2+|–x|+1=f（x)，此時(shí)f（x）為偶函數(shù)。當(dāng)a≠0時(shí)，f(a）=a2+1，f(–a）=a2+2|a｜+1.f（–a）≠f(a），f（–a)≠–f（a）此時(shí)函數(shù)f（x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。（2）①當(dāng)x≤a時(shí)，函數(shù)f（x)=x2–x+a+1=（x–)2+a+若a≤，則函數(shù)f(x)在（–∞,a］上單調(diào)遞減。從而函數(shù)f（x）在（–∞，a上的最小值為f(a)=a2+1若a＞,則函數(shù)f(x)在（–∞,a上的最小值為f（）=+a，且f()≤f（a）.②當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f(x)=x2+x–a+1=（x+)2–a+若a≤–，則函數(shù)f(x）在［a，+∞］上的最小值為f(–)=–a，且f(–）≤f（a);若a＞–，則函數(shù)f（x)在［a,+∞)單調(diào)遞增。從而函數(shù)f（x）在[a，+∞］上的最小值為f（a)=a2+1.綜上，當(dāng)a≤–時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為–a；當(dāng)–＜a≤時(shí),函數(shù)f（x）的最小值是a2+1;當(dāng)a＞時(shí)，函數(shù)f(x）的最小值是a+。●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1。解析：分a=2、｜a｜＞2和｜a｜＜2三種情況分別驗(yàn)證。答案：C2。解析：任取4個(gè)點(diǎn)共C=210種取法。四點(diǎn)共面的有三類:（1)每個(gè)面上有6個(gè)點(diǎn),則有4×C=60種取共面的取法;（2)相比較的4個(gè)中點(diǎn)共3種；（3）一條棱上的3點(diǎn)與對(duì)棱的中點(diǎn)共6種。答案：C二、3。解析：分線段AB兩端點(diǎn)在平面同側(cè)和異側(cè)兩種情況解決。答案：1或24。解析：A=｛1，2},B=｛x｜(x–1)（x–1+a)=0},由A∪B=A可得1–a=1或1–a=2；由A∩C=C,可知C={1｝或。答案：2或33或(–2,2）三、5。解：設(shè)x0∈A，x0是x02+px0+q=0的根。若x0=0，則A={–2,0}，從而p=2,q=0,B=｛–｝.此時(shí)A∩B=與已知矛盾，故x0≠0。將方程x02+px0+q=0兩邊除以x02，得.即滿足B中的方程，故∈B?！逜∩=｛–2},則–2∈A，且–2∈。設(shè)A={–2,x0}，則B={｝,且x0≠2（否則A∩B=)。若x0=–，則–2∈B，與–2B矛盾。又由A∩B≠,∴x0=，即x0=±1.即A=｛–2,1}或A={–2,–1}.故方程x2+px+q=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根–2，1或–2，–1∴6。解：如圖，設(shè)MN切圓C于N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是P={M｜|MN｜=λ｜MQ｜,λ＞0｝。∵ON⊥MN,|ON|=1,∴｜MN｜2=|MO｜2–｜ON|2=｜MO｜2–1設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y），則即(x2–1）（x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1）=0.經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)都屬于集合P，故方程為所求的軌跡方程。（1)當(dāng)λ=1時(shí)，方程為x=，它是垂直于x軸且與x軸相交于點(diǎn)（，0）的直線;(2）當(dāng)λ≠1時(shí)，方程化為:它是以為圓心，為半徑的圓。7。解：（1）依題意f(0）=0，又由f(x1）=1，當(dāng)0≤y≤1，函數(shù)y=f(x）的圖象是斜率為b0=1的線段，故由∴x1=1又由f(x2)=2，當(dāng)1≤y≤2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象是斜率為b的線段，故由即x2–x1=∴x2=1+記x0=0，由函數(shù)y=f(x）圖象中第n段線段的斜率為bn–1,故得又由f（xn)=n,f（xn–1)=n–1∴xn–xn–1=（）n–1，n=1,2，……由此知數(shù)列{xn–xn–1｝為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為.因b≠1，得（xk–xk–1）=1++…+即xn=（2)由(1）知,當(dāng)b＞1時(shí)，當(dāng)0＜b＜1，n→∞,xn也趨于無(wú)窮大.xn不存在。（3）由（1）知，當(dāng)0≤y≤1時(shí),y=x，即當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x;當(dāng)n≤y≤n+1,即xn≤x≤xn+1由（1）可知f（x）=n+bn(x–xn）（n=1，2,…),由(2）知當(dāng)b＞1時(shí),y=f(x)的定義域?yàn)閇0,)；當(dāng)0＜b＜1時(shí),y=f(x)的定義域?yàn)椋?，+∞）。8。（1）證明：依設(shè),對(duì)任意x∈R，都有f（x）≤1∵∴≤1∵a＞0,b＞0∴a≤2。(2）證明：必要性：對(duì)任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1–1≤f（x）,據(jù)此可以推出–1≤f(1）即a–b≥–1，∴a≥b–1對(duì)任意x∈［0，1]，|f(x）｜≤1f(x）≤1.因?yàn)閎＞1，可以推出f（）≤1即a·–1≤1，∴a≤2,∴b–1≤a≤2充分性：因?yàn)閎＞1，a≥b–1，對(duì)任意x∈［0,1］。可以推出ax–bx2≥b（