第十二講 中學(xué)數(shù)學(xué)證明教學(xué)

第十二講中學(xué)數(shù)學(xué)證明教學(xué)第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五

證明是數(shù)學(xué)科學(xué)的重要部分，是數(shù)學(xué)知識(shí)得以確證的唯一方式。數(shù)學(xué)證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)及其重要的部分，不論是代數(shù)、幾何，或者是微積分均要涉及到證明，沒有證明就沒有數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)推理、證明及其教學(xué)形式邏輯的基本規(guī)律同一律、矛盾律、排中律充足理由律第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五亞里士多德

Aristotle(384-322BC)哲學(xué)著作：《形而上學(xué)》物理學(xué)著作：《物理學(xué)》《論生滅》《論天》《天象學(xué)》《論宇宙》生物學(xué)著作：《動(dòng)物志》《論動(dòng)物的歷史》《論靈魂》邏輯學(xué)著作：《范疇篇》《分析篇》倫理學(xué)著作：《尼各馬可倫理學(xué)》《大倫理學(xué)》《歐德謨斯倫理學(xué)》《政治學(xué)》《詩學(xué)》《修辭學(xué)》

注：基本邏輯原理——同一律、矛盾律和排中律成為數(shù)學(xué)間接證明的核心，為歐幾里得演繹幾何體系的形成奠定了方法論基礎(chǔ)。第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五G.W.Leibniz,1646-17161646年7月1日生于萊比錫一個(gè)教授家庭

精通拉丁文和希臘文

在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，開始接觸伽利略、開普勒、笛卡爾、帕斯卡及巴羅等人的科學(xué)思想

1667年獲阿爾特多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位

1672-1676年，巴黎居留博學(xué)多才，著作涉及邏輯學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、數(shù)學(xué)、哲學(xué)、法律、語言學(xué)、地質(zhì)、機(jī)械、外交、神學(xué)1671年，制造出“算術(shù)計(jì)算機(jī)”

柏林科學(xué)院的創(chuàng)建者和首任院長，彼得堡科學(xué)院和維也納科學(xué)院也是在他的倡議下成立的。

1672年后開始研究數(shù)學(xué)1716年去世充足理由律第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五

在同一個(gè)思維過程中，思維對(duì)象必須保持同一；使用的概念必須保持同一；在同一時(shí)間，從同一方面，對(duì)同一思維對(duì)象作出的判斷必須保持同一。它的公式是“A就是A”或“p→p”。

例子⑴多項(xiàng)式能否分解？⑵當(dāng)a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，公式成立。⑶在三角形內(nèi)角和公理中，角的概念是“從一點(diǎn)引出兩條射

線所成的0°到180°以內(nèi)的角”。同一律第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五同一律的作用在于保證思維的確定性。如果違背了同一律的要求,那就會(huì)破壞思維的一貫性,造成思維混亂。在同一個(gè)推理、證明的過程中,就會(huì)犯“偷換概念”、“偷換論題”等邏輯錯(cuò)誤。從表面形式上看,“A是A”好像是枯燥無味的簡單的同語反復(fù)。其實(shí)不然。同一律有兩點(diǎn)具體的要求:一是思維對(duì)象要保持同一,所考察的對(duì)象必須確定,要始終如一,中途不能變更;二是表示同一對(duì)象的概念要保持同一，要以同一概念表示同一思維對(duì)象,不能用不同的概念表示同一對(duì)象，也不能把不同的對(duì)象混同起來用同一個(gè)概念來表示。還需要指出的是同一律所要求的“同一”是相對(duì)的,有條件的,是在一定條件下的“同一”。條件變了,認(rèn)識(shí)也相應(yīng)地有所發(fā)展。如“方程x2+1=0沒有根”這個(gè)判斷,當(dāng)數(shù)系由實(shí)數(shù)放大到復(fù)數(shù)后就要引起變化。第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五在同一論證過程中，對(duì)同一對(duì)象的兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)為真，其中至少有一個(gè)是假的。其公式是“A不是A”或“

(p∧p)”

例如：兩個(gè)數(shù)相等和不相等不能認(rèn)為同時(shí)成立。兩條直線相交與不相交也不能認(rèn)為同時(shí)成立。注意：⑴矛盾律只是指兩個(gè)矛盾的判斷是不相容的，即不能同時(shí)為真，但是兩個(gè)矛盾的判斷可能同假。例如空間兩直線相交與平行。⑵矛盾律所講的矛盾是邏輯上的矛盾，與現(xiàn)實(shí)的矛盾是兩回事，不能混為一談。矛盾律第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五矛盾律是用否定的形式來表達(dá)同一律的思想內(nèi)容的,它是同一律的引申,同一律說A是A,矛盾律要求思維首尾一貫,不能自相矛盾,實(shí)際上也是思維確定性的一種表現(xiàn)。因此,矛盾律是從否定方面肯定同一律的。違背矛盾律要求的邏輯錯(cuò)誤在于,在同一個(gè)思維過程中,把A與非A同時(shí)肯定了下來,因而造成了自相矛盾的困境。如眾所周知的一個(gè)例子:那個(gè)賣矛、盾的楚人所說的“任何東西都不能穿過我的堅(jiān)實(shí)的盾”、“我的銳利的矛能穿過任何東西”,是互相矛盾的兩個(gè)判斷。這位楚人不能自圓其說,是自己打自己的嘴巴,違背了矛盾律的要求。矛盾律中所謂的矛盾是指思維過程中的思維混亂,即同時(shí)斷定A與非A都真。對(duì)這種邏輯矛盾,矛盾律要加以排除的。但矛盾律并不把辯證矛盾排除在一切思維之外,更不否認(rèn)世界固有的矛盾。第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五在同一論證過程中，對(duì)同一對(duì)象的肯定判斷與否定判斷這兩個(gè)判斷必有一個(gè)是真的，它的公式是“或者是A或者是A”或

“pp

”.例如：要證明“不是有理數(shù)”，只要證明“是有理數(shù)”不真就可以了。

注意：對(duì)于假言命題“p→q”，情況并非如此簡單?！芭胖小本褪桥懦谌?或A或非A,二者必居其一,排中律要求人們的思維要有明確性,不能含糊不清,不能模棱兩可。排中律第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五違背排中律要求的邏輯錯(cuò)誤在于,同時(shí)否定了A,又否定了,例如,楚人既夸口矛又夸口盾,當(dāng)別人反問他“用你的矛穿你的盾如何”時(shí),他既不能說:我的矛能穿過我的盾”,又不能說“我的矛不能不穿過我的盾”,這就表示他否定了A又否定了,從邏輯上說,違背了排中律就要犯模棱兩可的邏輯錯(cuò)誤。排中律是反證法的邏輯基礎(chǔ)。當(dāng)直接證明某一判斷的正確性有困難時(shí),根據(jù)排中律,只要證明這一判斷的矛盾判斷是假的就可以了。和矛盾律一樣,排中律只是抽象思維中的邏輯規(guī)律,不是客觀存在的基本規(guī)律。排中律只是排除思維中的邏輯矛盾,并不否定客觀事物自身的矛盾。第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五同一律要求思維保持確定、同一,而沒有揭示思維的相互對(duì)立或矛盾的問題,矛盾律是同一律的引申和發(fā)展,它指明了正確的思維不僅要求確定,而且不能互相矛盾或?qū)α?即指出對(duì)于同一個(gè)思維對(duì)象所作的兩個(gè)互相矛盾或?qū)α⒌呐袛?只要承認(rèn)不能同真,至少必有一假即可,并不要求作出肯定或否定的表示。排中律又比矛盾律更深入一層,明確指出正確的思維不僅要求確定、不互相矛盾,而且應(yīng)該明確地表示出肯定或否定,指出對(duì)于同一個(gè)思維對(duì)象所作的兩個(gè)“肯定判斷”和“否定判斷”,不能同假,必有一真,要么“肯定判斷”真,要么“否定判斷”真,二者必居其一。同一律、矛盾律、排中律三者之間的聯(lián)系三者是從不同的角度去陳述思維的確定性的,排中律是同一律和矛盾律的補(bǔ)充和深入,排中律和矛盾律都不允許有邏輯矛盾,違背了排中律就必然違背矛盾律。同一律、矛盾律、排中律三者之間的區(qū)別第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五羅素

BertrandRussell1872-1970數(shù)學(xué)可以定義為這樣一門學(xué)科，我們永遠(yuǎn)不知道其中所說的是什么，也不知道所說的內(nèi)容是否正確。

以M表示是其自身成員的集合的集合，N表示不是其自身成員的集合的集合。問：集合N是否為它自身的成員？若N是它自身的成員,則N屬于M而不屬于N;若N不是它自身的成員，則N屬于N而不屬于M理發(fā)師悖論村中的理發(fā)師只給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。誰給理發(fā)師理發(fā)？第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五——《算術(shù)基礎(chǔ)》，弗雷格(G.Frege,1848-1925)一個(gè)科學(xué)家不會(huì)碰到比這更令人尷尬的事情了，即在一項(xiàng)工作完成的時(shí)候它的基礎(chǔ)卻在崩潰，當(dāng)這部著作即將付印之際，羅素先生的一封信就使我處于這種境地。第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五●

如果說一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)是一致的，不可能得出0≠0的結(jié)果?！褚恢滦裕ㄏ嗳菪?、無矛盾、協(xié)調(diào)性）●不能出現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)中的一個(gè)命題與它的否定命題都是對(duì)的，即不能出現(xiàn)悖論。

1930年之前：兩個(gè)基本問題數(shù)學(xué)的一致性consistency數(shù)學(xué)的完備性completeness●一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)是完備的，那么這個(gè)系統(tǒng)中的所有命題都是可以被證明的，每一個(gè)數(shù)學(xué)真理都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)學(xué)定理?！衩恳粋€(gè)明確的數(shù)學(xué)問題都應(yīng)該關(guān)聯(lián)一個(gè)明確的判斷，或者是給出答案，或者是證明它不可解。第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五如果我們承認(rèn)2+2=5,則有2=3于是1=2或者2=1,因?yàn)榻袒屎土_素是兩個(gè)人，且2=1,所以羅素就是教皇。羅素:我是教皇第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五任何判斷都必須有充足理由才被認(rèn)為是真的，其公式是“所以

有B是因?yàn)锳”或“A是B的充足理由”。正確的判斷必須有充足的理由。可表示為:因?yàn)橛蠥,所以有B,即由A一定能推出B,其中A和B都表示一個(gè)或幾個(gè)判斷,A稱為B的理由,B稱為A的結(jié)論(推斷)。例如,三組對(duì)應(yīng)邊成比例,兩組對(duì)應(yīng)角相等、兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等都是兩三角形相似的充足理由.充足的理由必須具備真實(shí)性、完備性、相關(guān)性,否則就不是充足理由。充足理由律要求理由和結(jié)論之間必須具有本質(zhì)的聯(lián)系,理由是結(jié)論的充分條件,結(jié)論是理由的必要條件,相關(guān)性就是指理由與結(jié)論間必須具有本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。有時(shí),一些錯(cuò)誤的結(jié)論,表面上雖然具有“因?yàn)椤浴钡男问?但實(shí)質(zhì)上“理由”和“結(jié)論”之間卻是毫不相關(guān)的。充足理由律和同一律、矛盾律、排中律也有著密切的聯(lián)系。同一律、矛盾律、排中律是保證概念或判斷在同一論證過程中的確定性,無矛盾性和明確性(明確性是指對(duì)兩個(gè)相互矛盾的概念或判斷要明確地表示出肯定還是否定),充足理由律是保證判斷之間的內(nèi)在聯(lián)系的合理性。因此,在同一思維(論證)過程中,如果違背了同一律、矛盾律、排中律,那么必然導(dǎo)致違背充足理由律。充足理由律第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學(xué)中的推理推理是從一個(gè)或幾個(gè)判斷中得出一個(gè)新判斷的思維形式例1

角平分線上任一點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等,因此,到角兩邊的距離不等的點(diǎn)不在這個(gè)角的平分線上。例2

矩形的對(duì)角線平分且相等,正方形是矩形,所以正方形的對(duì)角線平分且相等。以上兩例都是數(shù)學(xué)推理。推理在實(shí)踐中有兩個(gè)方面的作用。一是幫助人們從已知的知識(shí)推出新的知識(shí);二是證明的工具。第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五推理的結(jié)構(gòu)

任何推理都是由前提和結(jié)論兩部分組成。前提是在推理過程中所依據(jù)的已有判斷,它告訴人們已知的知識(shí)是什么。推理的前提可以是一個(gè),也可以是幾個(gè)。例1中有一個(gè)前提“角平分線上任一點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等”。例2中有兩個(gè)前提“矩形的對(duì)角線平分且相等”、“正方形是矩形”。結(jié)論是根據(jù)前提所作出的判斷,它告訴人們推出的知識(shí)是什么。例1中的結(jié)論是“到角兩邊的距離不等的點(diǎn)不在這個(gè)角的平分線上”。例2中的結(jié)論是“正方形的對(duì)角線平分且相等”。推理有內(nèi)容方面的問題,也有形式方面的問題,前者就是前提和結(jié)論的真假性,后者就是推理的結(jié)構(gòu)問題。形式邏輯不研究、也不能解決推理內(nèi)容方面的問題,即不能解決推理的前提和結(jié)論的真假性,形式邏輯只研究推理形式。指出哪些推理是正確的,哪些推理是不正確的。因此,邏輯思維對(duì)推理的要求是:推理要合乎邏輯。所謂推理合乎邏輯,就是指在進(jìn)行推理時(shí)要合乎推理形式,遵守推理規(guī)則。

第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五推理的種類第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五從個(gè)別的或特殊的事物所作的判斷擴(kuò)大為同類一般事物的判斷的一種推理。1.歸納推理根據(jù)歸納推理的前提和結(jié)論所作判斷的范圍是否相同，可把歸納推理分為完全歸納法和不完全歸納法。⑴完全歸納法如果歸納推理的前提中一個(gè)或幾個(gè)判斷范圍的總和與結(jié)論中判斷的范圍完全相同，則這種歸納推理稱為完全歸納法。⑵不完全歸納法如果歸納推理的前提判斷范圍的總和小于結(jié)論判斷的范圍，則這種歸納推理叫做不完全歸納法。注：在完全歸納法中，如果前提為真，則結(jié)論也為真，所以可以作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。不完全歸納法所得結(jié)論是不可靠的，所以不可以作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明不完全歸納法在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的價(jià)值第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五

完全歸納法的推理形式：具有性質(zhì)F；具有性質(zhì)F；具有性質(zhì)F；具有性質(zhì)F；······和······具有性質(zhì)F；具有性質(zhì)F；

A類事物具有性質(zhì)FA類事物具有性質(zhì)F.

不完全歸納法的推理形式：具有性質(zhì)F具有性質(zhì)F······具有性質(zhì)FA類事物具有性質(zhì)F第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五⒉演繹推理由一般到特殊的推理,也就是由一般原理推出特殊場合知識(shí)的思維形式。演繹推理的前提和結(jié)論之間有著必然的聯(lián)系,只要前提是真的,推理合乎邏輯,得到的結(jié)論就一定正確。因此,演繹推理可以作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具。以某類事物的一般判斷為前提作出這類物的個(gè)別特殊事物的判斷的思維形式。簡單的演繹推理一般是通過三段論的形式來實(shí)現(xiàn)。它的理論基礎(chǔ)是下面公理：如果集合M的所有元素具有（或不具有）性質(zhì)P，如果是集合M的元素（即），則也具有（或不具有）性質(zhì)P。其形式如下：大前提：集合M的所有元素具有（或不具有）性質(zhì)P的一般判斷，可表示為M—P小前提：集合SM，即S是M的子集，可表示為S—M結(jié)論：集合S也具有（或不具有）性質(zhì)P，可表示為S—P.

第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五△三段論的例子：1、大前提：矩形中的對(duì)角線相等小前提：正方形是矩形結(jié)論：正方形的對(duì)角線相等2、大前提：所有循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)小前提：0.22222…是循環(huán)小數(shù)結(jié)論：0.22222…是有理數(shù)3、證明任意直角三角形二銳角之和為90度。因?yàn)槿我馊切稳齼?nèi)角之和為180度（大前提）直角三角形是三角形（小前提）所有直角三角形三內(nèi)角之和為180度（x+y+90=180）（小前提）因?yàn)榈攘繙p等量差相等（大前提）而（x+y+90）-90=180-90是等量減等量（小前提）所有x+y=90成立（結(jié)論）第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五復(fù)合三段論：幾個(gè)三段論聯(lián)接在一起所構(gòu)成的，其中前一個(gè)三段論的結(jié)論作為后一個(gè)三段論的前提。例如：

平行四邊形是多邊形（大前提）菱形是平行四邊形（小前提）所以，菱形是多邊形（結(jié)論）（大前提）四邊形ABCD是菱形（小前提）所以，四邊形ABCD是多邊形（結(jié)論）

※三段論是一種重要的推理形式，但不是唯一的推理形式，把演繹推理都?xì)w之為三段論的說法是不恰當(dāng)?shù)?，除三段論外，還有關(guān)系推理、聯(lián)言推理、選言推理、假言推理等。

中學(xué)數(shù)學(xué)中一般表示為:∵所有無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)(大前提),數(shù)π是無限不循環(huán)小數(shù)(小前提),∴數(shù)π是無理數(shù)(結(jié)論)。第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五第一,演繹以歸納為基礎(chǔ),歸納為演繹準(zhǔn)備條件。從演繹的前提看,最初的前提是數(shù)學(xué)公理,這些公理是人們經(jīng)過長期反復(fù)實(shí)踐歸納得來的,從演繹所得到的結(jié)論看,這些結(jié)論都還需要經(jīng)過實(shí)踐檢驗(yàn),并且在實(shí)踐中又歸納出新的結(jié)論加以補(bǔ)充和發(fā)展。第二,歸納以演繹為指導(dǎo),演繹給歸納提供理論根據(jù)。歸納推理和演繹推理的區(qū)別和聯(lián)系第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五以兩個(gè)對(duì)象有某些相似的屬性，并且其中一個(gè)對(duì)象還有另外一些屬性，從而推出另一個(gè)對(duì)象也有類似的屬性。注：這是一種從特殊到特殊的推理，所得結(jié)論不一定真實(shí)。⒊類比推理由特殊到特殊的推理。類比推理的推理形式：A具有性質(zhì)B具有性質(zhì)B具有性質(zhì)P.類比推理的結(jié)論的真實(shí)性是不能肯定的，因此不能作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明方法在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中類比推理有著重要的使用價(jià)值要防止學(xué)生進(jìn)行胡亂的類比，特別是在數(shù)學(xué)符號(hào)上進(jìn)行胡亂的類比。第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學(xué)中的證明1.數(shù)學(xué)證明的意義和結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)證明是根據(jù)已經(jīng)確定其真實(shí)性的公理、定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)命題來論證某一數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性的推理過程。數(shù)學(xué)證明過程往往表現(xiàn)為一系列的推理。從邏輯結(jié)構(gòu)方面來分析、任何證明都由論題、論據(jù)、論證三部分組成。論題,是指需要確定其真實(shí)性的那個(gè)命題。,“三角形內(nèi)角和等于180”就是論題。任何論題都包含條件和結(jié)論兩個(gè)方面,論題告訴人們已知什么,要證明什么。論據(jù),是指用來證明論題真實(shí)性所引用的命題,論題中的條件以及數(shù)學(xué)中的公理、定理、定義、性質(zhì)等,都可作為證明的論據(jù)。論據(jù)告訴人們是用什么來證明的。論證,是由論據(jù)出發(fā)進(jìn)行一系列推理來確定論題真實(shí)性的過程。論證告訴人們是怎樣證明的,論據(jù)和論題是怎樣聯(lián)系的。數(shù)學(xué)證明也可分為已知(論據(jù))、求證(論題)、證明(論證)三個(gè)組成部分。中學(xué)數(shù)學(xué)證明是采用了這種敘述形式。第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五證明和推理之間的聯(lián)系和區(qū)別證明過程其實(shí)質(zhì)也就是推理過程，就是把論據(jù)作為推理的前提,應(yīng)用正確的推理形式,推出論題的過程。一個(gè)證明可以只含一個(gè)推理,也可以含有一系列的推理,可以只用演繹推理,也可以只用歸納推理,也可以只用演繹推理和歸納推理,是一種特殊形式的推理,但是,就具體問題來分析,證明和推理又是不同的。首先,從它們的結(jié)構(gòu)上看,推理包含前提和結(jié)論兩部分,前提是已知的,結(jié)論是根據(jù)前提推出來的;證明由論題、論據(jù)、論證三部分組成,論題相當(dāng)于推理結(jié)論,是已知的,論據(jù)相當(dāng)于推理的前提,是事先不知道的,因此,它們的思維過程正好相反。其次,從它們的作用來看,推理只解決形式問題,對(duì)于前提和結(jié)論的真實(shí)性是管不了的。比如由類比推理和不完全歸納推理得到的結(jié)論,只具有偶然的性質(zhì),而證明卻要求論據(jù)必須是真實(shí)的,論題經(jīng)過證明后真實(shí)性是確信無疑的。證明是一種特殊形式的推理；結(jié)構(gòu)不同、思維過程相反、作用不同。第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五證明必須遵守邏輯規(guī)則

論題要明確

論題應(yīng)始終如一論據(jù)要真實(shí)論據(jù)不能靠論題來證明

必須能推出論題

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)诙彭?，共三十九頁，編輯?023年，星期五

（1）論題必須明確

例1連接四邊形四邊的中點(diǎn)成一平行四邊形。（論題不明確。應(yīng)當(dāng)是：順次連接四邊形四邊的中點(diǎn)成一平行四邊形）

例2等底的兩個(gè)三角形面積的比等于高的比。（論題不明確。應(yīng)當(dāng)是：等底的兩個(gè)三角形面積的比等于該底上兩個(gè)高的比）

（2）不能偷換論題

例3求證：凸四邊形的內(nèi)角和等于360°。證明：矩形ABCD是一個(gè)凸四邊形，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°，所以，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即凸四邊形的內(nèi)角和等于360°。（偷換論題：證明的是矩形內(nèi)角和等于360°）（3）論據(jù)必須真實(shí)（論據(jù)：“兩個(gè)無理數(shù)的和是無理數(shù)”不真實(shí)。）第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五（5）論據(jù)必須能推出論題第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五⑴按推理的方法來分，可分為演繹證法和歸納證法。演繹證法是用演繹推理證明論題的方法,也就是從包含在論據(jù)中的一般原理推出包含在論題中的特殊事實(shí)的方法。歸納證法是用歸納推理來證明論題的方法,也就是從包含在論據(jù)中的個(gè)別、特殊事實(shí)推出包含在論題中的一般原理的方法,由于不完全歸納法不能作為嚴(yán)格證明的工具,因此,歸納證法只能使用完全歸納法。

2.常用的證明方法例1在四邊形ABCD中，AB=CD,BC=AD.求證：四邊形ABCD為平行四邊形.

證明：連接AC.ABCDABCD第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五

⑵按尋求論證的思路來分，可分為分析法和綜合法兩種。分析法

從命題的結(jié)論出發(fā)一步一步地探索其能成立的條件,最后探索到命題的已知條件或已知事實(shí)為止,這種證明方法叫做分析法。簡單地說,分析法就是“從未知看需知,推已知”的方法。分析和綜合有著密切的聯(lián)系。在解答數(shù)學(xué)題時(shí),一般總是先進(jìn)行分析,尋找解題途徑,再用綜合法寫出解答過程,當(dāng)論題較為復(fù)雜時(shí),常常聯(lián)合運(yùn)用分析法與綜合法找解題途徑,分別從題設(shè)和結(jié)論出發(fā),經(jīng)過“順推”和“逆索”推演到一個(gè)結(jié)果上去,找到解題途徑,而后加以整理并用綜合法寫出。這種方法稱為“兩頭湊法”。第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五⑶按證題的手法分為直接證法和間接證法。①直接證法：從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。其一般形式是：②間接證法：不是從正面證明確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的.間接證法有

反證法和同一法兩種.a.用反證法證明命題“p→q”的全過程和邏輯依據(jù)，可以用下圖來表示：肯定條件p否定結(jié)論q導(dǎo)致邏輯矛盾推理矛盾律為假排中律為真反證法常用的推理格式有：第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五所謂反證法是:把否定的結(jié)論納入到原條件中,使二者共同作為條件,在正確的邏輯推理下,導(dǎo)致邏輯矛盾,根據(jù)矛盾律知道否定結(jié)論的錯(cuò)誤性,再根據(jù)排中律知道原結(jié)論的正確性。反證法可簡要地概括成:否定—推理—否定。用反證法證明命題“若P則q”其一般步驟第一反設(shè).將結(jié)論反面作為假設(shè),即作出與命題結(jié)論“q”相矛盾的假設(shè)“非q”。第二歸謬.將“反設(shè)”和“原設(shè)”作為條件,即從“P”和“非q”出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾的結(jié)果。第三結(jié)論.說明“反設(shè)”不成立,從而肯定原結(jié)論是正確的,這就間接地證明了命題“P→q”為真。注：●第二步所說的矛盾結(jié)果,一般指的是推出的結(jié)果與已知條件矛盾,與已知定義矛盾、與已知公理矛盾,與已知定理矛盾、與臨時(shí)假定矛盾以及自相矛盾等各種情況。根據(jù)反設(shè)情況不同，反證法可分為“歸謬法”和“窮舉法”兩種，反設(shè)只有一種情況的反證法叫做“歸謬法”；反設(shè)有多種情況的反證法叫做“窮舉法”。第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五反證法與直接證法相比較的特點(diǎn)第一從推理論證的前提看反證法增加了“反設(shè)”這個(gè)新條件,據(jù)此特點(diǎn)下述情況常采取反證法。對(duì)一些最基本的性質(zhì)的證明。由于這些最基本性質(zhì)予以成立的條件簡明扼要,同時(shí)要供使用的定理甚少,因而直接證明常常發(fā)生困難。這時(shí)使用反證法正是為了增加論證的前提條件,使人們的思路能順著新增加的條件開拓出去。有些命題雖然不屬于學(xué)科的基本性質(zhì),但從原設(shè)出發(fā)直接論證,所知甚少,往往感到無從下手,此時(shí)也可考慮使用反證法,加進(jìn)“反設(shè)”這一新的前提條件,常常有利于打開思路。由于反證法新增加的條件是結(jié)論的反面,如果它比結(jié)論本身更具體、更明確,則此時(shí)宜于采用反證法。如“否定式命題”;結(jié)論被表成“至多…”或“至少…”形式的命題;“唯一性”命題,要證的結(jié)論是“無限的”等命題,都宜于采用反證法。第二從推理論