第十二講 中學(xué)數(shù)學(xué)證明教學(xué)

第十二講中學(xué)數(shù)學(xué)證明教學(xué)第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五

證明是數(shù)學(xué)科學(xué)的重要部分，是數(shù)學(xué)知識得以確證的唯一方式。數(shù)學(xué)證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個及其重要的部分，不論是代數(shù)、幾何，或者是微積分均要涉及到證明，沒有證明就沒有數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)推理、證明及其教學(xué)形式邏輯的基本規(guī)律同一律、矛盾律、排中律充足理由律第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五亞里士多德

Aristotle(384-322BC)哲學(xué)著作：《形而上學(xué)》物理學(xué)著作：《物理學(xué)》《論生滅》《論天》《天象學(xué)》《論宇宙》生物學(xué)著作：《動物志》《論動物的歷史》《論靈魂》邏輯學(xué)著作：《范疇篇》《分析篇》倫理學(xué)著作：《尼各馬可倫理學(xué)》《大倫理學(xué)》《歐德謨斯倫理學(xué)》《政治學(xué)》《詩學(xué)》《修辭學(xué)》

注：基本邏輯原理——同一律、矛盾律和排中律成為數(shù)學(xué)間接證明的核心，為歐幾里得演繹幾何體系的形成奠定了方法論基礎(chǔ)。第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五G.W.Leibniz,1646-17161646年7月1日生于萊比錫一個教授家庭

精通拉丁文和希臘文

在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，開始接觸伽利略、開普勒、笛卡爾、帕斯卡及巴羅等人的科學(xué)思想

1667年獲阿爾特多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位

1672-1676年，巴黎居留博學(xué)多才，著作涉及邏輯學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、數(shù)學(xué)、哲學(xué)、法律、語言學(xué)、地質(zhì)、機械、外交、神學(xué)1671年，制造出“算術(shù)計算機”

柏林科學(xué)院的創(chuàng)建者和首任院長，彼得堡科學(xué)院和維也納科學(xué)院也是在他的倡議下成立的。

1672年后開始研究數(shù)學(xué)1716年去世充足理由律第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五

在同一個思維過程中，思維對象必須保持同一；使用的概念必須保持同一；在同一時間，從同一方面，對同一思維對象作出的判斷必須保持同一。它的公式是“A就是A”或“p→p”。

例子⑴多項式能否分解？⑵當(dāng)a、b是非負(fù)實數(shù)時，公式成立。⑶在三角形內(nèi)角和公理中，角的概念是“從一點引出兩條射

線所成的0°到180°以內(nèi)的角”。同一律第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五同一律的作用在于保證思維的確定性。如果違背了同一律的要求,那就會破壞思維的一貫性,造成思維混亂。在同一個推理、證明的過程中,就會犯“偷換概念”、“偷換論題”等邏輯錯誤。從表面形式上看,“A是A”好像是枯燥無味的簡單的同語反復(fù)。其實不然。同一律有兩點具體的要求:一是思維對象要保持同一,所考察的對象必須確定,要始終如一,中途不能變更;二是表示同一對象的概念要保持同一，要以同一概念表示同一思維對象,不能用不同的概念表示同一對象，也不能把不同的對象混同起來用同一個概念來表示。還需要指出的是同一律所要求的“同一”是相對的,有條件的,是在一定條件下的“同一”。條件變了,認(rèn)識也相應(yīng)地有所發(fā)展。如“方程x2+1=0沒有根”這個判斷,當(dāng)數(shù)系由實數(shù)放大到復(fù)數(shù)后就要引起變化。第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五在同一論證過程中，對同一對象的兩個互相矛盾的判斷不能同時為真，其中至少有一個是假的。其公式是“A不是A”或“

(p∧p)”

例如：兩個數(shù)相等和不相等不能認(rèn)為同時成立。兩條直線相交與不相交也不能認(rèn)為同時成立。注意：⑴矛盾律只是指兩個矛盾的判斷是不相容的，即不能同時為真，但是兩個矛盾的判斷可能同假。例如空間兩直線相交與平行。⑵矛盾律所講的矛盾是邏輯上的矛盾，與現(xiàn)實的矛盾是兩回事，不能混為一談。矛盾律第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五矛盾律是用否定的形式來表達同一律的思想內(nèi)容的,它是同一律的引申,同一律說A是A,矛盾律要求思維首尾一貫,不能自相矛盾,實際上也是思維確定性的一種表現(xiàn)。因此,矛盾律是從否定方面肯定同一律的。違背矛盾律要求的邏輯錯誤在于,在同一個思維過程中,把A與非A同時肯定了下來,因而造成了自相矛盾的困境。如眾所周知的一個例子:那個賣矛、盾的楚人所說的“任何東西都不能穿過我的堅實的盾”、“我的銳利的矛能穿過任何東西”,是互相矛盾的兩個判斷。這位楚人不能自圓其說,是自己打自己的嘴巴,違背了矛盾律的要求。矛盾律中所謂的矛盾是指思維過程中的思維混亂,即同時斷定A與非A都真。對這種邏輯矛盾,矛盾律要加以排除的。但矛盾律并不把辯證矛盾排除在一切思維之外,更不否認(rèn)世界固有的矛盾。第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五在同一論證過程中，對同一對象的肯定判斷與否定判斷這兩個判斷必有一個是真的，它的公式是“或者是A或者是A”或

“pp

”.例如：要證明“不是有理數(shù)”，只要證明“是有理數(shù)”不真就可以了。

注意：對于假言命題“p→q”，情況并非如此簡單?！芭胖小本褪桥懦谌?或A或非A,二者必居其一,排中律要求人們的思維要有明確性,不能含糊不清,不能模棱兩可。排中律第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五違背排中律要求的邏輯錯誤在于,同時否定了A,又否定了,例如,楚人既夸口矛又夸口盾,當(dāng)別人反問他“用你的矛穿你的盾如何”時,他既不能說:我的矛能穿過我的盾”,又不能說“我的矛不能不穿過我的盾”,這就表示他否定了A又否定了,從邏輯上說,違背了排中律就要犯模棱兩可的邏輯錯誤。排中律是反證法的邏輯基礎(chǔ)。當(dāng)直接證明某一判斷的正確性有困難時,根據(jù)排中律,只要證明這一判斷的矛盾判斷是假的就可以了。和矛盾律一樣,排中律只是抽象思維中的邏輯規(guī)律,不是客觀存在的基本規(guī)律。排中律只是排除思維中的邏輯矛盾,并不否定客觀事物自身的矛盾。第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五同一律要求思維保持確定、同一,而沒有揭示思維的相互對立或矛盾的問題,矛盾律是同一律的引申和發(fā)展,它指明了正確的思維不僅要求確定,而且不能互相矛盾或?qū)α?即指出對于同一個思維對象所作的兩個互相矛盾或?qū)α⒌呐袛?只要承認(rèn)不能同真,至少必有一假即可,并不要求作出肯定或否定的表示。排中律又比矛盾律更深入一層,明確指出正確的思維不僅要求確定、不互相矛盾,而且應(yīng)該明確地表示出肯定或否定,指出對于同一個思維對象所作的兩個“肯定判斷”和“否定判斷”,不能同假,必有一真,要么“肯定判斷”真,要么“否定判斷”真,二者必居其一。同一律、矛盾律、排中律三者之間的聯(lián)系三者是從不同的角度去陳述思維的確定性的,排中律是同一律和矛盾律的補充和深入,排中律和矛盾律都不允許有邏輯矛盾,違背了排中律就必然違背矛盾律。同一律、矛盾律、排中律三者之間的區(qū)別第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五羅素

BertrandRussell1872-1970數(shù)學(xué)可以定義為這樣一門學(xué)科，我們永遠不知道其中所說的是什么，也不知道所說的內(nèi)容是否正確。

以M表示是其自身成員的集合的集合，N表示不是其自身成員的集合的集合。問：集合N是否為它自身的成員？若N是它自身的成員,則N屬于M而不屬于N;若N不是它自身的成員，則N屬于N而不屬于M理發(fā)師悖論村中的理發(fā)師只給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。誰給理發(fā)師理發(fā)？第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五——《算術(shù)基礎(chǔ)》，弗雷格(G.Frege,1848-1925)一個科學(xué)家不會碰到比這更令人尷尬的事情了，即在一項工作完成的時候它的基礎(chǔ)卻在崩潰，當(dāng)這部著作即將付印之際，羅素先生的一封信就使我處于這種境地。第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五●

如果說一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)是一致的，不可能得出0≠0的結(jié)果?！褚恢滦裕ㄏ嗳菪?、無矛盾、協(xié)調(diào)性）●不能出現(xiàn)這個系統(tǒng)中的一個命題與它的否定命題都是對的，即不能出現(xiàn)悖論。

1930年之前：兩個基本問題數(shù)學(xué)的一致性consistency數(shù)學(xué)的完備性completeness●一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)是完備的，那么這個系統(tǒng)中的所有命題都是可以被證明的，每一個數(shù)學(xué)真理都對應(yīng)著一個數(shù)學(xué)定理。●每一個明確的數(shù)學(xué)問題都應(yīng)該關(guān)聯(lián)一個明確的判斷，或者是給出答案，或者是證明它不可解。第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五如果我們承認(rèn)2+2=5,則有2=3于是1=2或者2=1,因為教皇和羅素是兩個人，且2=1,所以羅素就是教皇。羅素:我是教皇第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五任何判斷都必須有充足理由才被認(rèn)為是真的，其公式是“所以

有B是因為A”或“A是B的充足理由”。正確的判斷必須有充足的理由?？杀硎緸?因為有A,所以有B,即由A一定能推出B,其中A和B都表示一個或幾個判斷,A稱為B的理由,B稱為A的結(jié)論(推斷)。例如,三組對應(yīng)邊成比例,兩組對應(yīng)角相等、兩組對應(yīng)邊成比例且夾角相等都是兩三角形相似的充足理由.充足的理由必須具備真實性、完備性、相關(guān)性,否則就不是充足理由。充足理由律要求理由和結(jié)論之間必須具有本質(zhì)的聯(lián)系,理由是結(jié)論的充分條件,結(jié)論是理由的必要條件,相關(guān)性就是指理由與結(jié)論間必須具有本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。有時,一些錯誤的結(jié)論,表面上雖然具有“因為…，所以…”的形式,但實質(zhì)上“理由”和“結(jié)論”之間卻是毫不相關(guān)的。充足理由律和同一律、矛盾律、排中律也有著密切的聯(lián)系。同一律、矛盾律、排中律是保證概念或判斷在同一論證過程中的確定性,無矛盾性和明確性(明確性是指對兩個相互矛盾的概念或判斷要明確地表示出肯定還是否定),充足理由律是保證判斷之間的內(nèi)在聯(lián)系的合理性。因此,在同一思維(論證)過程中,如果違背了同一律、矛盾律、排中律,那么必然導(dǎo)致違背充足理由律。充足理由律第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學(xué)中的推理推理是從一個或幾個判斷中得出一個新判斷的思維形式例1

角平分線上任一點到這個角兩邊的距離相等,因此,到角兩邊的距離不等的點不在這個角的平分線上。例2

矩形的對角線平分且相等,正方形是矩形,所以正方形的對角線平分且相等。以上兩例都是數(shù)學(xué)推理。推理在實踐中有兩個方面的作用。一是幫助人們從已知的知識推出新的知識;二是證明的工具。第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五推理的結(jié)構(gòu)

任何推理都是由前提和結(jié)論兩部分組成。前提是在推理過程中所依據(jù)的已有判斷,它告訴人們已知的知識是什么。推理的前提可以是一個,也可以是幾個。例1中有一個前提“角平分線上任一點到這個角兩邊的距離相等”。例2中有兩個前提“矩形的對角線平分且相等”、“正方形是矩形”。結(jié)論是根據(jù)前提所作出的判斷,它告訴人們推出的知識是什么。例1中的結(jié)論是“到角兩邊的距離不等的點不在這個角的平分線上”。例2中的結(jié)論是“正方形的對角線平分且相等”。推理有內(nèi)容方面的問題,也有形式方面的問題,前者就是前提和結(jié)論的真假性,后者就是推理的結(jié)構(gòu)問題。形式邏輯不研究、也不能解決推理內(nèi)容方面的問題,即不能解決推理的前提和結(jié)論的真假性,形式邏輯只研究推理形式。指出哪些推理是正確的,哪些推理是不正確的。因此,邏輯思維對推理的要求是:推理要合乎邏輯。所謂推理合乎邏輯,就是指在進行推理時要合乎推理形式,遵守推理規(guī)則。

第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五推理的種類第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五從個別的或特殊的事物所作的判斷擴大為同類一般事物的判斷的一種推理。1.歸納推理根據(jù)歸納推理的前提和結(jié)論所作判斷的范圍是否相同，可把歸納推理分為完全歸納法和不完全歸納法。⑴完全歸納法如果歸納推理的前提中一個或幾個判斷范圍的總和與結(jié)論中判斷的范圍完全相同，則這種歸納推理稱為完全歸納法。⑵不完全歸納法如果歸納推理的前提判斷范圍的總和小于結(jié)論判斷的范圍，則這種歸納推理叫做不完全歸納法。注：在完全歸納法中，如果前提為真，則結(jié)論也為真，所以可以作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。不完全歸納法所得結(jié)論是不可靠的，所以不可以作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明不完全歸納法在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的價值第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五

完全歸納法的推理形式：具有性質(zhì)F；具有性質(zhì)F；具有性質(zhì)F；具有性質(zhì)F；······和······具有性質(zhì)F；具有性質(zhì)F；

A類事物具有性質(zhì)FA類事物具有性質(zhì)F.

不完全歸納法的推理形式：具有性質(zhì)F具有性質(zhì)F······具有性質(zhì)FA類事物具有性質(zhì)F第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五⒉演繹推理由一般到特殊的推理,也就是由一般原理推出特殊場合知識的思維形式。演繹推理的前提和結(jié)論之間有著必然的聯(lián)系,只要前提是真的,推理合乎邏輯,得到的結(jié)論就一定正確。因此,演繹推理可以作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具。以某類事物的一般判斷為前提作出這類物的個別特殊事物的判斷的思維形式。簡單的演繹推理一般是通過三段論的形式來實現(xiàn)。它的理論基礎(chǔ)是下面公理：如果集合M的所有元素具有（或不具有）性質(zhì)P，如果是集合M的元素（即），則也具有（或不具有）性質(zhì)P。其形式如下：大前提：集合M的所有元素具有（或不具有）性質(zhì)P的一般判斷，可表示為M—P小前提：集合SM，即S是M的子集，可表示為S—M結(jié)論：集合S也具有（或不具有）性質(zhì)P，可表示為S—P.

第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五△三段論的例子：1、大前提：矩形中的對角線相等小前提：正方形是矩形結(jié)論：正方形的對角線相等2、大前提：所有循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)小前提：0.22222…是循環(huán)小數(shù)結(jié)論：0.22222…是有理數(shù)3、證明任意直角三角形二銳角之和為90度。因為任意三角形三內(nèi)角之和為180度（大前提）直角三角形是三角形（小前提）所有直角三角形三內(nèi)角之和為180度（x+y+90=180）（小前提）因為等量減等量差相等（大前提）而（x+y+90）-90=180-90是等量減等量（小前提）所有x+y=90成立（結(jié)論）第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五復(fù)合三段論：幾個三段論聯(lián)接在一起所構(gòu)成的，其中前一個三段論的結(jié)論作為后一個三段論的前提。例如：

平行四邊形是多邊形（大前提）菱形是平行四邊形（小前提）所以，菱形是多邊形（結(jié)論）（大前提）四邊形ABCD是菱形（小前提）所以，四邊形ABCD是多邊形（結(jié)論）

※三段論是一種重要的推理形式，但不是唯一的推理形式，把演繹推理都歸之為三段論的說法是不恰當(dāng)?shù)模握撏?，還有關(guān)系推理、聯(lián)言推理、選言推理、假言推理等。

中學(xué)數(shù)學(xué)中一般表示為:∵所有無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)(大前提),數(shù)π是無限不循環(huán)小數(shù)(小前提),∴數(shù)π是無理數(shù)(結(jié)論)。第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五第一,演繹以歸納為基礎(chǔ),歸納為演繹準(zhǔn)備條件。從演繹的前提看,最初的前提是數(shù)學(xué)公理,這些公理是人們經(jīng)過長期反復(fù)實踐歸納得來的,從演繹所得到的結(jié)論看,這些結(jié)論都還需要經(jīng)過實踐檢驗,并且在實踐中又歸納出新的結(jié)論加以補充和發(fā)展。第二,歸納以演繹為指導(dǎo),演繹給歸納提供理論根據(jù)。歸納推理和演繹推理的區(qū)別和聯(lián)系第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五以兩個對象有某些相似的屬性，并且其中一個對象還有另外一些屬性，從而推出另一個對象也有類似的屬性。注：這是一種從特殊到特殊的推理，所得結(jié)論不一定真實。⒊類比推理由特殊到特殊的推理。類比推理的推理形式：A具有性質(zhì)B具有性質(zhì)B具有性質(zhì)P.類比推理的結(jié)論的真實性是不能肯定的，因此不能作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明方法在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中類比推理有著重要的使用價值要防止學(xué)生進行胡亂的類比，特別是在數(shù)學(xué)符號上進行胡亂的類比。第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學(xué)中的證明1.數(shù)學(xué)證明的意義和結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)證明是根據(jù)已經(jīng)確定其真實性的公理、定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)命題來論證某一數(shù)學(xué)命題的真實性的推理過程。數(shù)學(xué)證明過程往往表現(xiàn)為一系列的推理。從邏輯結(jié)構(gòu)方面來分析、任何證明都由論題、論據(jù)、論證三部分組成。論題,是指需要確定其真實性的那個命題。,“三角形內(nèi)角和等于180”就是論題。任何論題都包含條件和結(jié)論兩個方面,論題告訴人們已知什么,要證明什么。論據(jù),是指用來證明論題真實性所引用的命題,論題中的條件以及數(shù)學(xué)中的公理、定理、定義、性質(zhì)等,都可作為證明的論據(jù)。論據(jù)告訴人們是用什么來證明的。論證,是由論據(jù)出發(fā)進行一系列推理來確定論題真實性的過程。論證告訴人們是怎樣證明的,論據(jù)和論題是怎樣聯(lián)系的。數(shù)學(xué)證明也可分為已知(論據(jù))、求證(論題)、證明(論證)三個組成部分。中學(xué)數(shù)學(xué)證明是采用了這種敘述形式。第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五證明和推理之間的聯(lián)系和區(qū)別證明過程其實質(zhì)也就是推理過程，就是把論據(jù)作為推理的前提,應(yīng)用正確的推理形式,推出論題的過程。一個證明可以只含一個推理,也可以含有一系列的推理,可以只用演繹推理,也可以只用歸納推理,也可以只用演繹推理和歸納推理,是一種特殊形式的推理,但是,就具體問題來分析,證明和推理又是不同的。首先,從它們的結(jié)構(gòu)上看,推理包含前提和結(jié)論兩部分,前提是已知的,結(jié)論是根據(jù)前提推出來的;證明由論題、論據(jù)、論證三部分組成,論題相當(dāng)于推理結(jié)論,是已知的,論據(jù)相當(dāng)于推理的前提,是事先不知道的,因此,它們的思維過程正好相反。其次,從它們的作用來看,推理只解決形式問題,對于前提和結(jié)論的真實性是管不了的。比如由類比推理和不完全歸納推理得到的結(jié)論,只具有偶然的性質(zhì),而證明卻要求論據(jù)必須是真實的,論題經(jīng)過證明后真實性是確信無疑的。證明是一種特殊形式的推理；結(jié)構(gòu)不同、思維過程相反、作用不同。第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五證明必須遵守邏輯規(guī)則

論題要明確

論題應(yīng)始終如一論據(jù)要真實論據(jù)不能靠論題來證明

必須能推出論題

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)诙彭?，共三十九頁，編輯?023年，星期五

（1）論題必須明確

例1連接四邊形四邊的中點成一平行四邊形。（論題不明確。應(yīng)當(dāng)是：順次連接四邊形四邊的中點成一平行四邊形）

例2等底的兩個三角形面積的比等于高的比。（論題不明確。應(yīng)當(dāng)是：等底的兩個三角形面積的比等于該底上兩個高的比）

（2）不能偷換論題

例3求證：凸四邊形的內(nèi)角和等于360°。證明：矩形ABCD是一個凸四邊形，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°，所以，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即凸四邊形的內(nèi)角和等于360°。（偷換論題：證明的是矩形內(nèi)角和等于360°）（3）論據(jù)必須真實（論據(jù)：“兩個無理數(shù)的和是無理數(shù)”不真實。）第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五（5）論據(jù)必須能推出論題第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五⑴按推理的方法來分，可分為演繹證法和歸納證法。演繹證法是用演繹推理證明論題的方法,也就是從包含在論據(jù)中的一般原理推出包含在論題中的特殊事實的方法。歸納證法是用歸納推理來證明論題的方法,也就是從包含在論據(jù)中的個別、特殊事實推出包含在論題中的一般原理的方法,由于不完全歸納法不能作為嚴(yán)格證明的工具,因此,歸納證法只能使用完全歸納法。

2.常用的證明方法例1在四邊形ABCD中，AB=CD,BC=AD.求證：四邊形ABCD為平行四邊形.

證明：連接AC.ABCDABCD第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五

⑵按尋求論證的思路來分，可分為分析法和綜合法兩種。分析法

從命題的結(jié)論出發(fā)一步一步地探索其能成立的條件,最后探索到命題的已知條件或已知事實為止,這種證明方法叫做分析法。簡單地說,分析法就是“從未知看需知,推已知”的方法。分析和綜合有著密切的聯(lián)系。在解答數(shù)學(xué)題時,一般總是先進行分析,尋找解題途徑,再用綜合法寫出解答過程,當(dāng)論題較為復(fù)雜時,常常聯(lián)合運用分析法與綜合法找解題途徑,分別從題設(shè)和結(jié)論出發(fā),經(jīng)過“順推”和“逆索”推演到一個結(jié)果上去,找到解題途徑,而后加以整理并用綜合法寫出。這種方法稱為“兩頭湊法”。第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五⑶按證題的手法分為直接證法和間接證法。①直接證法：從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實性。其一般形式是：②間接證法：不是從正面證明確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價命題為真，以間接地達到目的.間接證法有

反證法和同一法兩種.a.用反證法證明命題“p→q”的全過程和邏輯依據(jù)，可以用下圖來表示：肯定條件p否定結(jié)論q導(dǎo)致邏輯矛盾推理矛盾律為假排中律為真反證法常用的推理格式有：第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五所謂反證法是:把否定的結(jié)論納入到原條件中,使二者共同作為條件,在正確的邏輯推理下,導(dǎo)致邏輯矛盾,根據(jù)矛盾律知道否定結(jié)論的錯誤性,再根據(jù)排中律知道原結(jié)論的正確性。反證法可簡要地概括成:否定—推理—否定。用反證法證明命題“若P則q”其一般步驟第一反設(shè).將結(jié)論反面作為假設(shè),即作出與命題結(jié)論“q”相矛盾的假設(shè)“非q”。第二歸謬.將“反設(shè)”和“原設(shè)”作為條件,即從“P”和“非q”出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾的結(jié)果。第三結(jié)論.說明“反設(shè)”不成立,從而肯定原結(jié)論是正確的,這就間接地證明了命題“P→q”為真。注：●第二步所說的矛盾結(jié)果,一般指的是推出的結(jié)果與已知條件矛盾,與已知定義矛盾、與已知公理矛盾,與已知定理矛盾、與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況。根據(jù)反設(shè)情況不同，反證法可分為“歸謬法”和“窮舉法”兩種，反設(shè)只有一種情況的反證法叫做“歸謬法”；反設(shè)有多種情況的反證法叫做“窮舉法”。第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期五反證法與直接證法相比較的特點第一從推理論證的前提看反證法增加了“反設(shè)”這個新條件,據(jù)此特點下述情況常采取反證法。對一些最基本的性質(zhì)的證明。由于這些最基本性質(zhì)予以成立的條件簡明扼要,同時要供使用的定理甚少,因而直接證明常常發(fā)生困難。這時使用反證法正是為了增加論證的前提條件,使人們的思路能順著新增加的條件開拓出去。有些命題雖然不屬于學(xué)科的基本性質(zhì),但從原設(shè)出發(fā)直接論證,所知甚少,往往感到無從下手,此時也可考慮使用反證法,加進“反設(shè)”這一新的前提條件,常常有利于打開思路。由于反證法新增加的條件是結(jié)論的反面,如果它比結(jié)論本身更具體、更明確,則此時宜于采用反證法。如“否定式命題”;結(jié)論被表成“至多…”或“至少…”形式的命題;“唯一性”命題,要證的結(jié)論是“無限的”等命題,都宜于采用反證法。第二從推理論