單調(diào)有界定理

單調(diào)有界定理數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)01相關(guān)概念證明注意事項(xiàng)定理應(yīng)用目錄03050204基本信息單調(diào)有界定理，是一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，是指單調(diào)有界數(shù)列必收斂（有極限），只能用于證明數(shù)列極限的存在性。相關(guān)概念有界性單調(diào)性相關(guān)概念單調(diào)性對(duì)任一數(shù)列{xn}，如果從某一項(xiàng)xk開(kāi)始，滿(mǎn)足則稱(chēng)數(shù)列（從第k項(xiàng)開(kāi)始）是單調(diào)遞增的。特別地，如果上式全部取小于號(hào)，則稱(chēng)數(shù)列是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。同樣地，如果從某一項(xiàng)k開(kāi)始，滿(mǎn)足則稱(chēng)數(shù)列（從第k項(xiàng)開(kāi)始）是單調(diào)遞減的。特別地，如果上式全部取大于號(hào)，則稱(chēng)數(shù)列是嚴(yán)格單調(diào)遞減的。單調(diào)遞增數(shù)列和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)單調(diào)數(shù)列。

有界性對(duì)任一數(shù)列{xn}，如果存在某個(gè)實(shí)數(shù)A使數(shù)列的所有項(xiàng)都滿(mǎn)足不等式恒成立，即，使得則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列是有下界的，實(shí)數(shù)A是數(shù)列的一個(gè)下界，記做；同樣地，如果存在某個(gè)實(shí)數(shù)B使數(shù)列的所有項(xiàng)都滿(mǎn)足不等式恒成立，即，使得則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列是有上界的，實(shí)數(shù)B是數(shù)列的一個(gè)上界，記做。如果一個(gè)數(shù)列既有上界又有下界，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列是有界的。此時(shí)，存在一個(gè)正數(shù)M，使不等式成立。數(shù)列有界性的幾何解釋是：數(shù)列的所有項(xiàng)都包含在零點(diǎn)的M-鄰域內(nèi)。

定理定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限。具體地說(shuō)：（i）若數(shù)列遞增且有上界，則（ii）若數(shù)列遞減且有下界，則

證明證明設(shè)數(shù)列{xn}單調(diào)遞增且有上界，接下來(lái)用戴德金定理證明{xn}必有極限。分類(lèi)討論，如果{xn}從第N項(xiàng)開(kāi)始所有的項(xiàng)都相等（即數(shù)列有無(wú)窮多個(gè)相等的項(xiàng)），那么由于數(shù)列是單調(diào)遞增的，當(dāng)n>N時(shí)，有xn=xN，因此對(duì)。即{xn}收斂到xN。如果{xn}中只有有限項(xiàng)相等，即數(shù)列從某項(xiàng)開(kāi)始嚴(yán)格單調(diào)遞增，那么因?yàn)閧xn}有上界，可取所有{xn}的上界組成一個(gè)數(shù)集B，并取A=R/B。則：①由取法可知數(shù)集B非空，而{xn}為嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，故?！唷＂?。③∵A中任何元素都不是{xn}的上界，∴。又∵B中任何元素都是{xn}的上界，∴。故必有?！嘤纱鞯陆鸲ɡ砜芍?，存在唯一實(shí)數(shù)η，使得η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。但無(wú)論是哪種情況，。應(yīng)用應(yīng)用在一般的教科書(shū)中，單調(diào)有界定理是通過(guò)確界原理來(lái)證明的，即通過(guò)確界原理知道{xn}有上（下）確界α，再證明{xn}收斂于α。事實(shí)上，單調(diào)有界定理與確界原理等價(jià)，既可以由確界原理得到單調(diào)有界定理，也可以由單調(diào)有界定理得到確界原理。以下是其證法。問(wèn)題：試通過(guò)單調(diào)有界定理證明確界原理。解：不妨設(shè)數(shù)集S非空有上界，將所有不小于S中的任一元素的有理數(shù)排成一個(gè)數(shù)列{rn}，并令{xn}=min{r1,r2,r3...rn}。為更直觀理解{xn}，舉例如下：設(shè)S=[1,2]。第一次，取r1=3，則x1=min{3}=3。第二次，取r2=5，則x2=min{3,5}=3。第三次，取r3=2.5，則x3=min{3,5,2.5}=2.5。第四次，取r4=2.2，則x4=min{3,5,2.5,2.2}=2.2……以此類(lèi)推。顯然{xn}單調(diào)遞減并且有下界（S中任何元素都是{xn}的下界），因此{(lán)xn}收斂。設(shè)極限為η，并且由上述構(gòu)造可知，η≤xn≤rn。利用反證法，①若η不是S的上界，即存在p∈S，使p>η。取，根據(jù)極限的幾何意義，存在正整數(shù)N，使不等式η<xN<η+ε成立。而，從而xN<p。這與xN不小于S中的任一元素矛盾。注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)（1）單調(diào)有界定理只能用于證明數(shù)