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2021年安徽省六安市壽縣安豐中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.若f(x)=,則=A.0
B.1
C.2
D.3參考答案:C略2.圓的圓心是(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:A略3.已知函數(shù)若有,則的取值范圍為(
)A. B. C. D.參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.
B9【答案解析】B
解析:∵f(a)=g(b),∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3,∴﹣b2+4b﹣2=ea>0即b2﹣4b+2<0,求得2﹣<b<2+,故選B【思路點(diǎn)撥】利用f(a)=g(b),整理等式,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)建立不等式求解即可.4.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是偶函數(shù)又在(-∞,0)上單調(diào)遞增的函數(shù)是
(
)A. B. C. D.參考答案:C試題分析:A:函數(shù)為偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,B:函數(shù)為偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,C:函數(shù)為偶函數(shù),在上單調(diào)遞增,D:函數(shù)為奇函數(shù).所以綜上可得:C正確.考點(diǎn):函數(shù)奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性.5.已知滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A點(diǎn)睛:線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是:一,準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二,畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí),要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免出錯(cuò);三,一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.6.計(jì)箅的結(jié)果等于A.
B.
C.
D.參考答案:A7.已知函數(shù)f(x)=x﹣4+,x∈(0,4),當(dāng)x=a時(shí),f(x)取得最小值b,則在直角坐標(biāo)系中函數(shù)g(x)=的圖象為()A. B. C. D.參考答案:B考點(diǎn): 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;函數(shù)的圖象.專題: 計(jì)算題;作圖題.分析: 由f(x)=x﹣4+=x+1+,利用基本不等式可求f(x)的最小值及最小值時(shí)的條件,可求a,b,可得g(x)==,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的圖象的平移可求解答: 解:∵x∈(0,4),∴x+1>1∴f(x)=x﹣4+=x+1+=1當(dāng)且僅當(dāng)x+1=即x=2時(shí)取等號(hào),此時(shí)函數(shù)有最小值1∴a=2,b=1,此時(shí)g(x)==,此函數(shù)可以看著函數(shù)y=的圖象向左平移1個(gè)單位結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象及選項(xiàng)可知B正確故選B點(diǎn)評(píng): 本題主要考察了基本不等式在求解函數(shù)的最值中的應(yīng)用,指數(shù)函數(shù)的圖象及函數(shù)的平移的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵8.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù),函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.若對(duì)任意的,不等式恒成立,則當(dāng)時(shí),的取值范圍是(
)A.
B.
C. D.參考答案:C9.已知、,以為一腰作的直角梯形,且中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,若橢圓以、為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn),則此橢圓的方程為(
)
參考答案:C10.下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是()①?x∈R,x4>x2;②若“p∧q”是假命題,則p,q都是假命題;③命題“?x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x∈R,x3﹣x2+1>0”.A.0 B.1 C.2 D.3參考答案:B【考點(diǎn)】命題的否定;四種命題的真假關(guān)系.【專題】閱讀型.【分析】要說明一個(gè)命題不正確,舉出反例即可①當(dāng)x=0時(shí)不等式不成立,②根據(jù)復(fù)合命題真值表可知,“p∧q”是假命題,只需兩個(gè)命題中至少有一個(gè)為假即可;③全稱命題的否定是特稱命題,既要對(duì)全稱量詞進(jìn)行否定,又要否定結(jié)論,故正確.【解答】解:易知①當(dāng)x=0時(shí)不等式不成立,對(duì)于全稱命題只要有一個(gè)情況不滿足,命題即假;②錯(cuò),只需兩個(gè)命題中至少有一個(gè)為假即可;③正確,全稱命題的否定是特稱命題,即只有一個(gè)命題是正確的,故選B.【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)基礎(chǔ)題.考查命題的否定和復(fù)合命題的真假判定方法等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的記憶和理解.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某幾何體的三視圖如圖所示,它的體積為____________.參考答案:略12.某班級(jí)有50名學(xué)生,現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學(xué)生中抽出10名學(xué)生,將這50名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)1~50號(hào),并分組,第一組1~5號(hào),第二組6~10號(hào),…,第十組46~50號(hào),若在第三組中抽得號(hào)碼為12的學(xué)生,則在第八組中抽得號(hào)碼為________的學(xué)生.參考答案:3713.在三棱錐中,是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,,二面角的大小為120°,則此三棱錐的外接球的表面積為
.參考答案:21π由題意得,得到,取AB中點(diǎn)為D,SB中點(diǎn)為M,得到為二面角的平面角,由題意可知,設(shè)三角形ABC的外心為,則,球心為過點(diǎn)M的面ABS的垂線與過點(diǎn)O’的面ABC的垂線的交點(diǎn),在四邊形中,可求出,所以,所以球的表面積。14.如圖,在△ABC中,已知B=,AC=,D為BC邊上一點(diǎn).若AB=AD,則△ADC的周長(zhǎng)的最大值為________.參考答案:15.已知直線l過點(diǎn)(1,1),過點(diǎn)P(-1,3)作直線m⊥l,垂足為M,則點(diǎn)M到點(diǎn)Q(2,4)距離的取值范圍為______.參考答案:【分析】先根據(jù)垂直關(guān)系得到點(diǎn)M的軌跡為一個(gè)圓,然后用|CQ|減去圓的半徑得|MQ|的最小值,加上半徑得|MQ|的最大值.【詳解】直線過定點(diǎn)設(shè)為A,則有A(1,1),設(shè)M(x,y),因?yàn)橹本€,則,所以,,即,化簡(jiǎn)為:,所以,點(diǎn)M的軌跡為以C(0,2)為圓心為半徑的圓,∵|CQ|2,∴|CQ||MQ|≤|CQ|,即|MQ|≤3.故答案為:[,3].【點(diǎn)睛】一般和圓有關(guān)的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的,聯(lián)立的時(shí)候較少;在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí),一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離,再加減半徑,分別得到最大值和最小值;涉及到圓的弦長(zhǎng)或者切線長(zhǎng)時(shí),經(jīng)常用到垂徑定理。16.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,M,N為線段BC,CC1上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A1,M,N的平面截該正方體的截面記為S,則下列命題正確的是______①當(dāng)且時(shí),S為等腰梯形;②當(dāng)M,N分別為BC,CC1的中點(diǎn)時(shí),幾何體的體積為;③當(dāng)M為BC中點(diǎn)且時(shí),S與C1D1的交點(diǎn)為R,滿足;④當(dāng)M為BC中點(diǎn)且時(shí),S為五邊形;⑤當(dāng)且時(shí),S的面積.參考答案:①②【分析】對(duì)五個(gè)命題逐一畫出圖像,進(jìn)行分析,判斷出其中的真命題,由此得出正確命題的序號(hào).【詳解】對(duì)于①,畫出圖像如下圖所示,過作,交于,截面為,由于,所以,故,所以,即截面為等腰梯形.故①正確.對(duì)于②,以為空間坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸,建立空間直線坐標(biāo)系,則,則,.設(shè)平面的法向量為,則,令,則,故.則點(diǎn)到平面的距離為.而,故,故②命題正確.對(duì)于③,延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于,連接交于,由于,所以,故.由于,所以,故,故③判斷錯(cuò)誤.對(duì)于④,當(dāng)時(shí),截面為三角形,故④判斷錯(cuò)誤.對(duì)于⑤,延長(zhǎng),交的延長(zhǎng)線于,連接,交于,則截面為四邊形.由于,所以,面積比等于相似比的平方,即,故.在三角形中,,邊上的高為,故,所以.綜上所述,本小題正確的命題有①②.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正方體的截面有關(guān)命題的真假性判斷,考查錐體體積算,考查三角形面積的計(jì)算,考查空間想象能力和邏輯推理能力,綜合性較強(qiáng),屬于中檔題.17.設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),點(diǎn),,則雙曲線的離心率為______.參考答案:考點(diǎn):雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.如圖四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AB=,F(xiàn)是BC的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:DA⊥平面PAC(Ⅱ)PD的中點(diǎn)為G,求證:CG∥平面PAF(Ⅲ)求三棱錐A﹣CDG的體積.參考答案:【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積;直線與平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)推導(dǎo)出∠ACB=∠DAC=90°,PA⊥DA,AC⊥DA,由此能證明DA⊥平面PAC.(Ⅱ)PD的中點(diǎn)為G,在平面PAD內(nèi)作GH⊥PA于H,連接FH,則四邊形FCGH為平行四邊形,由此能證明CG∥平面PAF.(Ⅲ)由VA﹣CDG=VG﹣ACD,能求出三棱錐A﹣CDG的體積.【解答】證明:(Ⅰ)四邊形是平行四邊形,∴∠ACB=∠DAC=90°,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DA,又AC⊥DA,AC∩PA=A,∴DA⊥平面PAC.…(Ⅱ)PD的中點(diǎn)為G,在平面PAD內(nèi)作GH⊥PA于H,則GH平行且等于AD,連接FH,則四邊形FCGH為平行四邊形,…∴GC∥FH,∵FH?平面PAE,CG?平面PAE,∴CG∥平面PAF.
…解:(Ⅲ)設(shè)S為AD的中點(diǎn),連結(jié)GS,則GS平行且等于PA=,∵PA⊥平面ABCD,∴GS⊥平面ABCD,∴三棱錐A﹣CDG的體積VA﹣CDG=VG﹣ACD===.…19.如圖所示多面體中,AD⊥平面PDC,ABCD為平行四邊形,E,F(xiàn)分別為AD,BP的中點(diǎn),AD=,AP=,PC=.(Ⅰ)求證:EF∥平面PDC;(Ⅱ)若∠CDP=90°,求證BE⊥DP;(Ⅲ)若∠CDP=120°,求該多面體的體積.參考答案:解(Ⅰ)取PC的中點(diǎn)為O,連FO,DO,∵F,O分別為BP,PC的中點(diǎn),∴∥BC,且,又ABCD為平行四邊形,∥BC,且,∴∥ED,且∴四邊形EFOD是平行四邊形
---------------------------------------------2分即EF∥DO
又EF平面PDC
∴EF∥平面PDC.
---------------------------------------------4分(Ⅱ)若∠CDP=90°,則PD⊥DC,又AD⊥平面PDC
∴AD⊥DP,∴PD⊥平面ABCD,
---------------------------------6分
∵BE平面ABCD,∴BE⊥DP
--------------------------------8分(Ⅲ)連結(jié)AC,由ABCD為平行四邊形可知與面積相等,所以三棱錐與三棱錐體積相等,即五面體的體積為三棱錐體積的二倍.∵AD⊥平面PDC,∴AD⊥DP,由AD=3,AP=5,可得DP=4又∠CDP=120°PC=2,由余弦定理并整理得, 解得DC=2
--------------------------10分∴三棱錐的體積∴該五面體的體積為
-----------------------------1略20.(本小題滿分12分)吉安電視臺(tái)的一個(gè)智力游戲節(jié)目中,有一道將中國(guó)四大名著A、B、C、D與它們的作者連線的題目,每本名著只能與一名作者連線,每名作者也只能與一本名著連線.每連對(duì)一個(gè)得3分,連錯(cuò)得分,一名觀眾隨意連線,將他的得分記作ξ.
(Ⅰ)求該觀眾得分ξ為正數(shù)的概率;
(Ⅱ)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案:解:(1)的可能取值為.
,.該同學(xué)得分正數(shù)的概率為.(2),.的分布列為:
數(shù)學(xué)期望.21.(分)已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn),R是弦PQ的中點(diǎn).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動(dòng)點(diǎn),且2|AB|=|F1F2|,求線段AB的中點(diǎn)M的跡方程,并說明該軌跡是什么曲線。
(3)若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a,使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足,當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求a的取值范圍.參考答案:解析:(1)設(shè)雙曲線C的方程為,則它的右準(zhǔn)線方程為已知得=1,則=1,所以所求雙曲線C的方程是………………4分(2)設(shè)A(x1,x2)、B(x1、x2)、M(x,y)則因?yàn)殡p曲線C的近線方程為所以故又2|AB|=所以|AB|=即
………………7分即即
所以………………7分所以點(diǎn)M的軌跡中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,短軸長(zhǎng)為2的橢圓(3)因?yàn)辄c(diǎn)R在直線m上的射影S滿足所以PS⊥QS,即△PSQ是
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