2021年黑龍江省伊春市宜春華林山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2021年黑龍江省伊春市宜春華林山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在展開式中的系數(shù)為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.已知函數(shù)的周期為T,在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則正確的結(jié)論是：參考答案：C3.為了解學(xué)生課外使用手機(jī)的情況，某學(xué)校收集了本校500名學(xué)生2019年12月課余使用手機(jī)的總時(shí)間（單位：小時(shí)）的情況.從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知這50名學(xué)生中，恰有3名女生課余使用手機(jī)的總時(shí)間在[10,12]，現(xiàn)在從課余使用手機(jī)總時(shí)間在[10,12]的樣本對(duì)應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，則至少抽到2名女生的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先求出課余使用手機(jī)總時(shí)間在的學(xué)生共有8名，再利用古典概型的概率求至少抽到2名女生的概率.【詳解】∵這50名學(xué)生中，恰有3名女生的課余使用手機(jī)總時(shí)間在，課余使用手機(jī)總時(shí)間在的學(xué)生共有（名），∴從課余使用手機(jī)總時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，基本事件總數(shù)，至少抽到2名女生包含的基本事件個(gè)數(shù)，則至少抽到1名女生的概率為.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率的計(jì)算，考查頻率分布直方圖的計(jì)算，考查組合的實(shí)際應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4.命題為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，下列判斷正確的是

A．真

B．真

C．真

D．假參考答案：A5.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且則的面積為(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)題意畫出圖像，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，即可得四邊形為平行四邊形，從而求出，利用余弦定理和雙曲線的定義聯(lián)立方程可求出的值，利用面積公式可求出的面積，根據(jù)和的關(guān)系即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，依題可知四邊形的對(duì)角線互相平分，則四邊形為平行四邊形，由可得，依題可知，由余弦定理可得：即；又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，所以.兩式相減得，即，所以的面積為：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，涉及到了雙曲線的定義，余弦定理和面積公式，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的能力，屬中檔題.6.已知函數(shù)在上恰有一個(gè)極值點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A作出函數(shù)的圖像，依題意可得，解得．7.（2009江西卷文）50名學(xué)生參加甲、乙兩項(xiàng)體育活動(dòng)，每人至少參加了一項(xiàng)，參加甲項(xiàng)的學(xué)生有30名，參加乙項(xiàng)的學(xué)生有25名，則僅參加了一項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為A．50

B．45

C．40

D．35參考答案：B解析：僅參加了一項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)=50-(30+25-50)=45,故選B.8.已知函數(shù)若則的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D9.若函數(shù)與互為反函數(shù)，則函數(shù)大致圖象為參考答案：D10.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則的值為A．

B．50

C．55

D．110參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)f（x）=在x=1處取得極值為0，則a+b=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)定義可知f'（1）=a﹣2b+a2=0，f（1）=0，得出a=1或a=﹣，由極值概念可知a=1不成立，故a=﹣，b=﹣，得出答案．【解答】解：∵f（x）=，∴f'（x）=ax2﹣2bx+a2，∵在x=1處取得極值為0，∴f'（1）=a﹣2b+a2=0，f（1）=0，∴a=1或a=﹣，∵函數(shù)有極值，a=1不成立．∴a=﹣，b=﹣，故答案為﹣．12.若函數(shù)，則的定義域是

.

參考答案：13.（4分）（2015?浙江模擬）如圖，圓O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，已AC=3，BC=4，AB=5，過圓心O的直線l交圓O于P、Q兩點(diǎn)，則?的取值范圍是．參考答案：[﹣7，1]【考點(diǎn)】：向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】：平面向量及應(yīng)用；直線與圓．【分析】：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，與直線BC平行的直線為x軸，與直線AC平行的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，運(yùn)用面積相等可得r=1，設(shè)出圓的方程，求得交點(diǎn)P，Q，討論直線的斜率k不存在和大于0，小于0的情況，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示和不等式的性質(zhì)，計(jì)算即可得到范圍．解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，與直線BC平行的直線為x軸，與直線AC平行的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，運(yùn)用面積相等可得，=r（3+4+5），解得r=1，則B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），即有圓O：x2+y2=1，當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，即有P（0，1），Q（0，﹣1），=（3，3），=（﹣1，0），即有=﹣3．當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx，（k＜0），代入圓的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），即有=（3﹣，1﹣），=（﹣1，+1），則有=（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1）=﹣3+，由1+k2≥1可得0＜≤4，則有﹣3＜﹣3+≤1．同理當(dāng)k＞0時(shí)，求得P（，），Q（﹣，﹣），有═﹣3﹣，可得﹣7≤﹣3+＜﹣3．．綜上可得，?的取值范圍是[﹣7，1]．故答案為：[﹣7，1]．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)考查直線和圓聯(lián)立求交點(diǎn)，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．14.已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線l：垂直，C的一個(gè)焦點(diǎn)到l的距離為1，則C的方程為__________________.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】直線的位置關(guān)系和距離公式；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)

H2

H6【答案解析】

解析：雙曲線的一條漸近線與直線l：垂直，雙曲線的漸近線的斜率為，則，①由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，則，，即，②，聯(lián)立①②，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為：【思路點(diǎn)撥】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即求參數(shù)。根據(jù)已知可求出漸近線的斜率，得到一個(gè)關(guān)于的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合雙曲線的性質(zhì)得到另外一個(gè)關(guān)于的方程，聯(lián)立兩個(gè)方程，解出參數(shù)即可。15.設(shè)當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,則______參考答案：16.在正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，若=λ+μ，則λ+μ=______．參考答案：【分析】根據(jù)平面向量定理，表示出，然后把轉(zhuǎn)化到，利用，得到用和表示的式子，得到和的值.【詳解】在中，為中點(diǎn)，所以，為中點(diǎn)，所以所以即，所以而所以故

17.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)（其中的最小正周期為.（Ⅰ）求的值,并求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中,分別是角的對(duì)邊,若的面積為,求的外接圓面積.參考答案：的外接圓半徑等于

則的外接圓面積等于

………（12分）19.設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+，其中a為常數(shù)．（Ⅰ）若a=0，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），代入計(jì)算即可．（Ⅱ）先對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，即，考慮函數(shù)g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成a≥0，﹣＜a＜0，a≤﹣三種情況分別討論即可．【解答】解：，（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，，f′（1）=，f（1）=0∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=（x﹣1）．（Ⅱ）（1）當(dāng)a≥0時(shí)，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，則＞0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＞0，令f′（x）＜0，則＜0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＜0．以下考慮函數(shù)g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.，對(duì)稱軸方程．①當(dāng)a≤﹣時(shí)，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）②當(dāng)﹣＜a＜0時(shí)，此時(shí)，對(duì)稱軸方程＞0，∴g（x）=0的兩根一正一負(fù)，計(jì)算得當(dāng)0＜x＜時(shí)，g（x）＞0；當(dāng)x＞時(shí)，g（x）＜0．綜合（1）（2）可知，當(dāng)a≤﹣時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)﹣＜a＜0時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．20.（12分）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)。（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率KON；（2）對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M，試證：總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。

參考答案：解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)椋杂?，故有。從而橢圓C的方程可化為：

①

………2分易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），據(jù)題意有AB所在的直線方程為：

②

………3分由①，②有：

③設(shè)，弦AB的中點(diǎn)，由③及韋達(dá)定理有：

所以，即為所求。

………5分2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得等式成立。設(shè)，由1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：，所以。

………7分又點(diǎn)在橢圓C上，所以有整理為。

④由③有：。所以

⑤又A﹑B在橢圓上，故有

⑥將⑤，⑥代入④可得：。

………11分對(duì)于橢圓上的每一個(gè)點(diǎn)，總存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使等式成立，而在直角坐標(biāo)系中，取點(diǎn)P（），設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為，顯然。也就是：對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M，總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。