席第09講 隨機(jī)變量數(shù)字特征

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量的分布，隨機(jī)變量的分布能夠完整地描述隨機(jī)變量的行為?，F(xiàn)在我們開始學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的數(shù)字特征討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征的原因如下：在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的概率分布一般是較難確定的。而它的一些數(shù)字特征較易確定，人們只需要知道它的某些數(shù)字特征.在實(shí)際應(yīng)用中，人們有時(shí)更關(guān)心概率分布的數(shù)字特征.

此外，對于一些常見分布，如二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等，其中的參數(shù)恰好是分布的某些數(shù)字特征.只要能夠確定分布的數(shù)字特征，也就能夠完全確定分布.

在這一章中，我們主要研究以下數(shù)字特征:數(shù)學(xué)期望，方差,相關(guān)系數(shù)和矩下面先討論數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

例1某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小馬每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.X的分布律為現(xiàn)觀測N天，發(fā)現(xiàn)有n0天出現(xiàn)0個(gè)廢品，有n1天出現(xiàn)1個(gè)廢品，有n2天出現(xiàn)2個(gè)廢品。求小馬平均一天生產(chǎn)的廢品數(shù)N天中小馬生產(chǎn)的廢品總數(shù)為于是小馬平均一天生產(chǎn)的廢品數(shù)為ni

/N是事件{X=i}發(fā)生的頻率，當(dāng)N很大時(shí)，它穩(wěn)定于事件{X=i}的概率pi當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)N很大時(shí)，隨機(jī)變量X的觀測值的算術(shù)平均值穩(wěn)定于因此可以作為描述隨機(jī)變量X取值的加權(quán)平均狀況的數(shù)字特征。

定義1設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為:P(X=xk)=pk,k=1,2,…如果絕對收斂，那么稱它為X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為E(X),即

假設(shè)發(fā)散，那么稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。例2：X的分布如下

X100200

P0.010.99求E(X)解:2、幾種常見離散型分布的數(shù)學(xué)期望

1）

兩點(diǎn)分布

例3：設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求E(X)解:

2）

二項(xiàng)分布

例4：設(shè)隨機(jī)變量X~b(n,p)，求E(X)計(jì)算如下:3〕泊松分布例5：設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，求E(X)(見書p114-115的例6)例6某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能翻開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門.假設(shè)每把鑰匙試開一次后除去，求翻開門時(shí)試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解:設(shè)試開次數(shù)為X,P(X=k)=1/n,k=1,2,…,nE(X)于是二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為

f(x).我們的目的是：尋找一個(gè)能表達(dá)隨機(jī)變量取值的平均的量.為此,只要把前面的求和改成積分即可.1、定義設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),如果有限,那么定義X的數(shù)學(xué)期望為假設(shè)那么稱X的數(shù)學(xué)期望不存在

例7設(shè)X~U(a,b)，求E(X)(見書p115的例7)2、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望例8設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求E(X)解:例7設(shè)X~U(a,b)，求E(X)(見書p115的例7)2、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望

例9若X服從，求E(X)解:

例10設(shè)X的概率密度為

求E(X)解:三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

1.問題的提出：設(shè)隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的數(shù)學(xué)期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，比方說g(X)的數(shù)學(xué)期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由的X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照數(shù)學(xué)期望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來.例11：某商店對某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方式，記該種電器的使用壽命為X（以年計(jì)），規(guī)定：X1，一臺(tái)付款1500元1<

X

2，一臺(tái)付款2000元2<

X3，一臺(tái)付款2500元X>3，一臺(tái)付款3000元設(shè)X服從參數(shù)為1/10的指數(shù)分布，求該商店一臺(tái)電器的平均收費(fèi)(見書p112-113的例4)下面的根本公式指出，答案是肯定的.那么是否可以不先求出g(X)的分布而只根據(jù)X的分布直接求得E[g(X)]呢？

使用上述方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，有時(shí)是比較復(fù)雜的.

2、設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y=g(X)

〔1〕設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,且其分布律為P(X=xk)=pk，k=1,2,…。假設(shè)絕對收斂，那么Y的數(shù)學(xué)期望存在，且

〔2〕設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x)，且Y=g(X)也是連續(xù)型隨機(jī)變量。假設(shè)絕對收斂，那么Y的數(shù)學(xué)期望存在，且(定理證明超出課程范圍,特殊情況證明見書p116)例12:設(shè)X~b(n,p),Y=eaX,求E〔Y〕。解:例13:設(shè)X~U[0,],Y=sinX,求E〔Y〕。解:類似地，利用上面的方法也可以考慮多維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3、二維隨機(jī)變量〔X，Y〕的聯(lián)合分布，求函數(shù)Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望〔1〕設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為絕對收斂，那么Z的數(shù)學(xué)假設(shè)期望存在，而且有〔2〕設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),Z=g(X,Y)也是連續(xù)型隨機(jī)變量絕對收斂，那么Z的數(shù)學(xué)期望存在，而且有假設(shè)

四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，那么E(C)=C;2.假設(shè)k是常數(shù)，那么E(kX)=kE(X);

3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);一般地，隨機(jī)變量線性組合的數(shù)學(xué)期望，等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的線性組合，即

=4.設(shè)X、Y獨(dú)立，那么E(XY)=E(X)E(Y);推廣：設(shè)X1，…，Xn獨(dú)立,那么有注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立(5)假設(shè)隨機(jī)變量只取非負(fù)值，即X0,又E(X)存在，那么E(X)0.推論：假設(shè)XY,E(X)，E(Y)都存在，那么E(X)E(Y)特別地，假設(shè)aXb，且a，b為常數(shù)，那么E(X)存在，且aE(X)b五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用Example14

設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件。今從中任取n(假定nN-M)件，記這n件中所含的次品數(shù)為X，求E(X)答案:Example15

設(shè)X的概率密度為其中a,b為常數(shù)，且E（X）=3/5。求a,b的值。答案:一個(gè)實(shí)際例子.例16：某水果商店，冬季每周購進(jìn)一批蘋果。該店一周蘋果銷售量X(單位:kg)服從U[1000,2000]。購進(jìn)的蘋果在一周內(nèi)售出，1kg獲純利1.5元；一周內(nèi)沒售出，1kg需付耗損、儲(chǔ)藏等費(fèi)用0.3元。問一周應(yīng)購進(jìn)多少千克蘋果，商店才能獲得最大的平均利潤。(答案:一周應(yīng)購進(jìn)1833千克蘋果)下面我們再給出數(shù)學(xué)期望應(yīng)用的另一個(gè)例子.教材第113頁的例5請看（抽驗(yàn)N個(gè)人的血的兩種方法）

前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它表達(dá)了隨機(jī)變量取值的平均，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.但是在一些場合，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均是不夠的.學(xué)習(xí)方差的原因如下:例如，某零件的真實(shí)長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測量10次，將測量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：假設(shè)讓你就上述結(jié)果評價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？乙儀器測量結(jié)果

甲儀器測量結(jié)果較好測量結(jié)果的均值都是a因?yàn)橐覂x器的測量結(jié)果集中在均值附近又如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近.

中心中心為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是我們下面要介紹的方差§4-2方差一.方差的概念設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X),假設(shè)E(X-E(X))2存在,那么稱它為X的方差〔此時(shí)，也稱X的方差存在〕，記為D(X)或Var(X),即D(X)=E(X-E(X))2定義稱D(X)的算術(shù)平方根為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為(X).假設(shè)X的取值比較分散，那么方差較大.刻劃了隨機(jī)變量的取值相對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.假設(shè)X的取值比較集中，那么方差較?。籇(X)=E[X-E(X)]2方差注意：

1)D(X)0，即方差是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。2〕當(dāng)X服從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差為D(X)。方差是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個(gè)特征。

方差的計(jì)算公式(1)假設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為

pi=P(X=xi),i=1,2,...,且D(X)存在，那么由定義可知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.〔2〕假設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，且D(X)存在，那么〔3〕假設(shè)隨機(jī)變量的方差D(X)存在，那么證明如下:例2：設(shè)Xb(n,p)，求D(X)解:3.常見分布的方差

例1：設(shè)Xb(1,p)，求D(X)解:從而:例3：設(shè)X()，求D(X)答案:例4：設(shè)XU[a,b]，求D(X)答案:例5：設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求D(X)。答案:例6：設(shè)XN(,2)，求D(X)

(見書p126例7)服從從而利用計(jì)算得:例7:設(shè)X的概率密度為a為未知常數(shù),求a,E(X2).

提示:從而例8:設(shè)X的概率密度為其中b為未知常數(shù),求b，E(X2)提示:從而b=5二.方差的性質(zhì)

性質(zhì)1:假設(shè)X=C，C為常數(shù)，那么D(X)=0性質(zhì)2:假設(shè)C為常數(shù),隨機(jī)變量X的方差存在，那么CX的方差存在，且D(CX)=C2D(X)性質(zhì)3:若D(X),D(Y)存在，則D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-EX)(Y-EY)證明如下:性質(zhì)4：假設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它們的方差都存在，那么XY的方差也存在，且D(XY)=D(X)+D(Y)證明提示:若隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，則

推論1:假設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，它們的方差都存在，那么X1+X2+...+Xn的方差存在，且推論2:假設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布，它們的方差都存在，那么X1+X2+...+Xn的方差存在，且性質(zhì)5:D(X)=0P(X=C)=1，這里C=E(X)P(X=x)(證明略)

例9：設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)存在,且D(X)0令其中E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，求

(標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量,見書p122-123例1)答案:三．契比雪夫〔Chebyshev〕不等式