2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題（含答案）

試卷第=page11頁，共=sectionpages88頁試卷第=page22頁，共=sectionpages33頁2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題一、單選題1．已知集合M=-2,-1,0,1,2，N=xA．-2,-1,0,1 B．0,1,2 C．-2．已知，則z-z=（A．-i B．i C．0 D．3．已知向量，若，則（

）A．λ+μ=1 B．λ+μ=C．λμ=1 D．λμ=4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（

）A．-∞,-2C．0,2 D．2,+5．設(shè)橢圓的離心率分別為e1,e2．若，則a=（A．233 B．2 C． D．6．過點(diǎn)0,-2與圓相切的兩條直線的夾角為α，則（

）A．1 B．154 C．104 D7．記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：an為等差數(shù)列；乙：{A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8．已知，則cos2α+2β=（

A．79 B．19 C．-1二、多選題9．有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,???,A．x2,xB．x2,xC．x2,xD．x2,x10．噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離/m聲壓級燃油汽車1060混合動力汽車1050電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實(shí)際聲壓分別為p1,pA．p1≥pC． D．11．已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，，則（

）．A．f0=0 BC．fx是偶函數(shù) D．x=0為f12．下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為0.99m的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為0.01m，高為的圓柱體D．底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體三、填空題13．某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數(shù)字作答）．14．在正四棱臺ABCD-A1B115．已知函數(shù)在區(qū)間0,2π有且僅有3個零點(diǎn)，則ω的取值范圍是________．16．已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2．點(diǎn)四、解答題17．已知在△ABC中，．(1)求sinA(2)設(shè)AB=5，求AB邊上的高．18．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,A

(1)證明：；(2)點(diǎn)P在棱上，當(dāng)二面角為150°時，求B2P19．已知函數(shù)．(1)討論fx(2)證明：當(dāng)a>0時，．20．設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d>1．令，記Sn,Tn分別為數(shù)列(1)若，求an的通項(xiàng)公式；(2)若bn為等差數(shù)列，且，求d．21．甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且，則Ei=1nXi=i=1nqi．記前n22．在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)的距離，記動點(diǎn)P的軌跡為W．(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三個頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33參考答案：1．C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合M中的元素逐個代入不等式驗(yàn)證，即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)镹=xx2所以-2．故選：C．方法二：因?yàn)镸=-2,-1,0,1,2，將-2,-1,0,1,2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成立，所以故選：C．2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到z，從而解出．【詳解】因?yàn)閦=1-i2+2i=1-i1-i故選：A．3．D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出a+λb，【詳解】因?yàn)?，所以a+λb=1+λ,1-λ由可得，a+λb即1+λ1+μ+1-λ故選：D．4．D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)y=x(x-a)=(x-a2)2-a2所以a的取值范圍是2,+∞故選：D5．A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.【詳解】由，得e22=3e12，因此4-1故選：A6．B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得k2+8k+1=0【詳解】方法一：因?yàn)?，即x-22+y2=5，可得圓心過點(diǎn)P0,-2作圓C的切線，切點(diǎn)為A,B因?yàn)镻C=22可得sin∠則，，即∠APB所以；法二：圓的圓心C2,0，半徑r=5過點(diǎn)P0,-2作圓C的切線，切點(diǎn)為A,B，連接AB可得PC=22因?yàn)镻A且∠ACB=π-∠APB，則3+3-即3-cos∠APB=5+5即∠APB為鈍角，則cosα且α為銳角，所以sinα方法三：圓的圓心C2,0，半徑r=5若切線斜率不存在，則切線方程為y=0，則圓心到切點(diǎn)的距離d=2>r，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為y=kx-2，即kx-則2k-2k2+1=設(shè)兩切線斜率分別為k1,k可得k1所以tanα=k1-則sin2且α∈0,π2，則sin故選：B.

7．C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：an為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為則，因此{(lán)S反之，乙：{Snn}為等差數(shù)列，即即，則，有Sn-1兩式相減得：an=nan+1-(n-1)因此an所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：an為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1，公差為d則，因此{(lán)Sn反之，乙：{Snn即，，當(dāng)n≥2時，上兩式相減得：Sn-S于是，又an+1-因此an所以甲是乙的充要條件.故選：C8．B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)【詳解】因?yàn)閟in(α-β)=sinαcos則sin(所以cos(故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．9．BD【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：設(shè)x2,x3,x4則n-因?yàn)闆]有確定2x1+例如：1,2,3,4,5,6，可得m=n=3.5；例如1,1,1,1,1,7，可得m=1,n=2；例如1,2,2,2,2,2，可得m=2,n=116；故對于選項(xiàng)B：不妨設(shè)x1可知x2,x3,x4對于選項(xiàng)C：因?yàn)閤1是最小值，x則x2,x3,x4例如：2,4,6,8,10,12，則平均數(shù)n=1標(biāo)準(zhǔn)差s14,6,8,10，則平均數(shù)m=1標(biāo)準(zhǔn)差s2顯然1053>5，即s1對于選項(xiàng)D：不妨設(shè)x1則x6-x1≥故選：BD.10．ACD【分析】根據(jù)題意可知Lp1【詳解】由題意可知：Lp對于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)長p1≥Lp所以p1p2≥1且p1對于選項(xiàng)B：可得，因?yàn)長p2-Lp所以p2p3≥e當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即，可得，即，故C正確；對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，且，則20×lg即lgp1p2≤2，可得p1p故選：ACD.11．ABC【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)f(x)=x2【詳解】方法一：因?yàn)閒(xy)=y對于A，令x=y=0，，故A正確.對于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，則f(1)=0，故B正確.對于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，則f(-令y=-又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時f(x)無極值，故D錯誤.方法二：因?yàn)閒(xy)=y對于A，令x=y=0，，故A正確.對于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，則f(1)=0，故B正確.對于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，則f(-令y=-又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，對于D，當(dāng)時，對f(xy)=y2f(x)+x2f(y)故可以設(shè)f(x)x2=當(dāng)x>0肘，，則f'x令f'x<0，得0<x<e-故f(x)在0,e-1因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在-e-1顯然，此時x=0是f(x)的極大值，故D錯誤.故選：ABC.12．ABD【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?.99m<1m，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對角線長為2m，且2所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對角線長為3m，且3所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)檎襟w的體對角線長為3m，且3設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為如圖，結(jié)合對稱性可知：OC則hAA1=C所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于C、D：以正方體的體對角線為圓柱的軸，結(jié)合正方體以及圓柱的性質(zhì)分析判斷.13．64【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C4（2）當(dāng)從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C4②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C4綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.故答案為：64.14．766【分析】結(jié)合圖像，依次求得A1O【詳解】如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知為四棱臺

因?yàn)锳B=2,A則A1故AM=12AC-所以所求體積為V=1故答案為：7615．[2,3)【分析】令，得cosωx=1有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解【詳解】因?yàn)?≤x≤2π，所以0≤令，則cosωx=1有3令t=ωx，則cost=1有3個根，其中結(jié)合余弦函數(shù)y=cost的圖像性質(zhì)可得4π≤2ωπ<6π，故故答案為：[2,3).16．355【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到AF2,BF2,B方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得x0=53c,y0=-2【詳解】方法一：依題意，設(shè)AF2=2m在Rt△ABF1中，9m2+(2a+2m所以AF1=4a,AF故cos∠所以在△AF1F2中，故e=c方法二:依題意，得F1(-c,0),F因?yàn)镕2A=-23又F1A⊥F1又點(diǎn)A在C上，則259c2a2所以25c2b整理得25c4-50c2+9a又e>1，所以e=355或e=故答案為：35【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于a,b,c的齊次方程，從而得解.17．(1)3(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b，根據(jù)等面積法求解即可【詳解】（1）∵A+B=3C∴π-C=3C，即C=π又2sin∴2∴sin∴sin即tanA=3，所以∴sin（2）由（1）知，cosA由sinB由正弦定理，csinC=∴1∴h18．(1)證明見解析；(2)1【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)P(0,2,λ)(0≤λ≤4)，利用向量法求二面角，建立方程求出λ即可得解.【詳解】（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,CC1所在直線為

則C(0,0,0),C∴B∴B又B2∴B（2）設(shè)P(0,2,λ)(0≤則A2設(shè)平面PA2C則n?令z=2，得y=3-∴n設(shè)平面A2C2則m?令a=1，得b=1,c=2，∴m∴cos化簡可得，λ2解得λ=1或λ=3，∴P(0,2,1)或P(0,2,3)，∴B19．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論a≤0與a>0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為a2-12-ln方法二：構(gòu)造函數(shù)hx=ex-x-1，證得，從而得到f(x)≥x+【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)镽，所以f'x當(dāng)a≤0時，由于ex>0，則ae所以fx在R當(dāng)a>0時，令f'x=a當(dāng)x<-lna時，f'x<0當(dāng)x>-lna時，f'x>0綜上：當(dāng)a≤0時，fx在R當(dāng)a>0時，fx在上單調(diào)遞減，fx在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，fx要證，即證1+a2+ln令ga=a令g'a<0，則；令g'所以ga在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以ga22所以當(dāng)a>0時，恒成立，證畢.方法二：令hx=e由于y=ex在R上單調(diào)遞增，所以h'又h'所以當(dāng)x<0時，h'x<0；當(dāng)x>0所以hx在-∞,0上單調(diào)遞減，在0,+故hx≥h0=0，則因?yàn)閒(x)=ae當(dāng)且僅當(dāng)x+lna=0所以要證，即證，即證a2-1令ga=a令g'a<0，則；令g'所以ga在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以ga22所以當(dāng)a>0時，恒成立，證畢.20．(1)a(2)d=【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；（2）由{bn}為等差數(shù)列得出a1=d或【詳解】（1）∵3a2=3a1∴S又T3∴S即2d2-7d+3=0，解得d=3∴a（2）為等差數(shù)列，∴2b2=∴6(1a2-1a3∵d>1，∴a又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，99a50-99b∴a50-2550a50=1當(dāng)a1=2d時，a50=a當(dāng)a1=d時，a50綜上，d=5121．(1)0.6(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)PAi=（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件Ai，“第次投籃的人是乙”為事件Bi，所以，P=0.5×（2）設(shè)PAi=PA即pi+1構(gòu)造等比數(shù)列pi設(shè)，解得λ=-13，則又，所以pi-13是首項(xiàng)為1即．（3）因?yàn)閜i=1所以當(dāng)n∈N*時，故．【點(diǎn)睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．22．(1)y=(2)見解析【分析】（1）設(shè)P(x,y)，根據(jù)題意列出方程，化簡即可；（2）法一：設(shè)矩形的三個頂點(diǎn)，且a<b<c，分別