2023年高考數(shù)學總復習：不等式（附答案解析）

2023年高考數(shù)學總復習：不等式

選擇題（共8小題）

1.（2022春喃充期末）不等式（。-2），+4（a-2）x-12V0的解集為R,則實數(shù)。的取

值范圍是（）

A.[-1,2）B.（-1,2]C.（-2,1）D.[-1,2]

2.（2022春?南充期末）△N8C滿足瓦=2\包NA4c=60°,設/是△/8C內(nèi)的一

點（不在邊界上），定義/（M）=（x,y,z）,其中x,y,z分別表示△MBC,AMCA,

△K48的面積，若f（M）=（x,y,—則工*的最小值為（）

2xy

A.24B.9C.16D.駕

3

3.（2022春?朝陽區(qū)期末）已知則下列不等式中成立的是（）

A.2a<2bB.ab<b2C.a2<b2D..k<A

ab

4.（2022春?昌平區(qū)期末）已知OVaVl,b<0,則下列大小關(guān)系正確的是（）

A.ab<1<a2hB.1<ab<a2hC.ah<a2h<1D.a2b<ab<1

5.（2022春?房山區(qū)期末）如圖，以正方形的各邊為底可以向外作四個腰長為1的等腰三角

形，則正方形與四個等腰三角形面積之和的最大值為（）

A.2&-2B.2+2&C.4&D.6

6.（2022春?巴中期末）若則下列不等式中成立的是（）

A.工<工B.曳衛(wèi)〉？

baba

C.b1<a1D.歷（-b）<ln（-a）

7.（2022春?浙江月考）已知x,>>0且x+2y=w則x+y的最小值為（）

A.3+2V2B.4&C.272D.6

8.（2022春?東湖區(qū)校級期末）設x>0,則f（x）=6-3x——的最大值為（）

2x2

第1頁（共19頁）

A.0B.不存在C.3D.A

22

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2022春?沈陽期末）設b>a>0,cER,則下列不等式中正確的是（）

1J_

A.B.!>1C.D.ac3Vbe③

aa/bb+2b

（多選）10.（2022春?湖南期末）已知a>0,b>0,且4。+6=3,貝ij（）

A-VabB-16a+2b>4V2

C.b」〉TD._1—二^》i

a3a+la+b”

（多選）11.（2022春?保定期末）已知正實數(shù)x,y滿足3聲尸■孫-13=0,且2產(chǎn)-廣4?2y

-xy恒成立，則t的取值可能是（）

A._J.B.-1C.1D.3

22

（多選）12.（2022春?廣州期末）已知a,b&R,滿足2。+2b=1,則（）

A.a+bW-2B.2a牝4春

C.ab22D-22a+22b>|

三.填空題（共4小題）

13.（2022春?福州期末）己知。>0,若關(guān)于x的不等式（x-1）2>（ax）2的解集中的整

數(shù)恰有2個，則實數(shù)a的取值范圍是.

14.（2022春?虹口區(qū)校級期末）已知一元二次方程x2+px+2=0的兩個虛根分別為xi，x2,

且滿足兇-X2|=2,則實數(shù)p的值為.

15.（2022春?青羊區(qū)校級期中）若對Vx>0,關(guān)于x的不等式工《優(yōu)2+〃a-/〃x>x+l恒成立，

2

則整數(shù)m的最小值為.

16.（2022?濱海新區(qū)二模）已知成=工，a,be（0,1）,則」_+/一的最小值為；

2l-al-b

四.解答題（共6小題）

17.（2022春?新都區(qū)期末）己知x+2y=5.

（1）若x、yE（0,+8）,求心=孫的最大值；

（2）若X、>,￡[-5,2],求力二/+/的取值范圍.

18.（2022春?巴中期末）已知函數(shù)/（x）=x2+ax-2,f（x）>0的解集為｛x|x<-1或x>

第2頁（共19頁）

h}.

(1)求實數(shù)a,b的值；

(2)若xe(0,+8)時，求函數(shù)目⑴/GM的最小值.

x

19.(2022春?興慶區(qū)校級期末)已知二次函數(shù)/(x)滿足/(x+1)-/(x)=2x,且/(0)

=1.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)求函數(shù)/(X)在[，什1](ZGR)的最小值g(?)的表達式.

20.(2022春?達州期末)(1)已知Q3,求=十2_的最小值;

x-2

(2)已知x>0,y>0,且3x+2y-l=0,證明：-A-+^->4-

21.(2022春?東湖區(qū)校級期末)設a,b,c均為正數(shù)，且a+b=l.

(1)求上工的最小值；

ab

(2)證明：、2-a+V2-b《

22.(2022春?閻良區(qū)期末)已知二次函數(shù)/(x)^ax2+bx+\Ca,beR且aWO)的最小值為

/(-1)=0.

(1)當x€[-3,3]時，求函數(shù)/(x)的最大值；

(2)設函數(shù)g(x)滿足，當xe[O,1)時，g(x)=/(x),且g(x+1)=2g(x).若函

數(shù)g(x)在區(qū)間(m,n)(0<m<n<2)上的值域為(2,4),求〃-機的最大值.

第3頁(共19頁)

2023年高考數(shù)學總復習：不等式

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2022春?南充期末）不等式（a-2）了+4（a-2）x-12<0的解集為R,則實數(shù)a的取

值范圍是（）

A.[-1,2）B.（-1,2]C.（-2,1）D.[-1,2]

【考點】一元二次不等式及其應用.

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；直觀想象：數(shù)學運算.

【分析】當。=2時，原不等式為-12<0滿足夾角為R；當時，根據(jù)一元二次不等

式解法可求得a范圍，最后可求得正確選項.

【解答】解：當a=2時，原不等式為-12V0滿足解集為R；

當。羊2時，根據(jù)題意得，解得花（-1,2）.

.[4（a-2）]-4（a-2）X（-12）<0

綜上，”的取值范圍為（-1,2].

故選:B.

【點評】本題考查一元二次不等式解法，考查數(shù)學運算能力及直觀想象能力，屬于中檔

題.

2.（2022春?南充期末）ZX/BC滿足瓦?正=/區(qū)，NB/C=60°,設〃是△N8C內(nèi)的一

點（不在邊界上），定義/（M）=（x,y,z）,其中x,y,z分別表示△MfiC,/\MCA,

的面積，若f（M）=（x,y,—）>則上4^?的最小值為（）

2xy

A.24B.9C.16D.絲

3

【考點】基本不等式及其應用.

【專題】綜合題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用：數(shù)學運算.

【分析】由數(shù)量積公式可求得|屈口配=4百，由此求得△48C的面積，進而得到x+y

=旦，且x>o,y>0,再由JL遂=2（x+y）3）,利用基本不等式即可求解.

2xy3xy

【解答】解：,?,標?正二3，ZBAC=60°,

第4頁（共19頁）

.,?IAH-|AacosZ5/lC=2V3-則I袖1詬=4百，

.,.SA^c=iAH,|AasinZfi/fC=lx4V3X^3_=3,

222

又5AJBC=SAA/BC+SAA/Cj+SAA/B/i=3,

即聲產(chǎn)3=3,即x+y=3,且x>0,歹>0，

22_____

.」x（x+y）（工"）=2（1+9+工+煞）》2（10+2.1^-.—）=絲，

xy3xy3xy3Vxy3

當且僅當x=3,y=2時取等號.

88

故選：D.

【點評】本題考查向量的數(shù)量積運算，三角形的面積公式以及利用基本不等式求最值等,

考查運算求解能力，屬中檔題.

3.（2022春?朝陽區(qū)期末）已知。<6<0,則下列不等式中成立的是（）

A.2a<2hB.ab<b2C.a2<b2D..^<A

ab

【考點】不等關(guān)系與不等式；不等式的基本性質(zhì).

【專題】函數(shù)思想；分析法；不等式的解法及應用；數(shù)據(jù)分析.

【分析】利用不等式性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性，即可求解.

【解答】解：對于4y=2、在R上單調(diào)遞增，所以2a<2外故/正確.

對于8,a<6兩邊同乘一個負數(shù)6,故ab>P,故8錯誤.

對于C,?.Z<b<0,...同〉|臼，所以/>62,故。錯誤.

對于。，Vtz</><0,故。錯誤.

ab

故選：A.

【點評】本題主要考查不等式性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎題.

4.（2022春?昌平區(qū)期末）已知0?1,6V0,則下列大小關(guān)系正確的是（）

A.ab<1<a^bB.1<ab<a2bC.ab<a2b<1D.a2b<ab<1

【考點】不等關(guān)系與不等式.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；邏輯推理.

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷各選項即可.

【解答】解：b<0,.'.『bvi,二/8錯誤；

a>a2,abVa2b<1,二C正確,Z）錯誤.

第5頁（共19頁）

故選：c.

【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，考查了計算能力，屬于基礎題.

5.(2022春?房山區(qū)期末)如圖，以正方形的各邊為底可以向外作四個腰長為1的等腰三角

形，則正方形與四個等腰三角形面積之和的最大值為()

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【分析】由三角函數(shù)的定義設等腰三角形的底角為4則。€(0,工)，則等腰三角形的

2

底邊為2cos9,高為sin。，由二倍角公式及輔助角公式S陰=(2cos0)?+4X_Lx2sin0cos。

2

=2sin20+2cos20+2=2&sin(20+--L)+2,再求函數(shù)的最大值即可

4

【解答】解：設等腰三角形的底角為心貝帕€(0,—),

2

則等腰三角形的底邊為2cos0,高為sin。，

則S“j=(2cos9)2+4X_Lx2sin0cos0=2sin20+2cos20+2=2,\/2sin(20+_ZL)+2,

24

又29+匹e(2L,且L),

444

當26+工=工，即。=匹時，S陰取最大值2+2&,

428

故選：B.

【點評】本題考查了三角函數(shù)的定義、二倍角公式及輔助角公式，屬中檔題.

6.(2022春?巴中期末)若則下列不等式中成立的是()

A.工<』B.曳2〉？

baba

C.Z>2<a2D./n(-b)<ln(-a)

【考點】不等關(guān)系與不等式；不等式的基本性質(zhì).

【專題】函數(shù)思想；分析法；不等式的解法及應用；數(shù)據(jù)分析.

第6頁(共19頁)

【分析】取。=-1,6=-2說明/、C、。不成立，由基本不等式說明8正確即可.

【解答】解：取a=-1,b--2,—>_i,A錯誤.

2

（-2）2>（-1）2,C錯誤.

ln2>ln\,￡>錯誤.

易得且旦>0,則t+三與卜■?旦=2,當且僅當?shù)?包，即a=6時取等號，又b<a<

ababVbaab

0,顯然取不到等號，則旦色>2,8正確.

ab

故選：B.

【點評】本題主要考查基本不等式，屬于基礎題.

7.（2022春?浙江月考）已知x,y>0且x+2y=孫，則xty的最小值為（）

A.3+2V2B.4&C,2&D.6

【考點】基本不等式及其應用.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算.

【分析】由己知可得，工+2=1,從而有（x+y）（1+.2）,展開后利用基本不等式

yxyx

可求.

【解答］解：x>0,y>0,且x+2y=孫，

?"+2=1,

yx______

Cx+y）（工+2）=3+生+三23+2但二三=3+2衣，

yxxyvxy

當且僅當生=2?且U2=l,即y=l+&,x=&+2時取等號，

xyyx

故選：A.

【點評】本題主要考查了利用I的代換配湊基本不等式的應用條件求解最值，屬于基礎

試題.

8.（2022春?東湖區(qū)校級期末）設x>0,則f（x）=6-3x—t的最大值為（）

2x2

A.0B.不存在C.3D.

22

【考點】基本不等式及其應用；函數(shù)的最值及其幾何意義.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算.

【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解.

【解答】解：因為x>0,

第7頁（共19頁）

則f(x)=6-3x-二7=6-(等串「y)W6-3：絲.乏，_J_=3,當且僅當

2x2222x2\222x22

絲=~^一，即X=1時取等號,

2O2

42x

所以函數(shù)有最大值3.

2

故選：c.

【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2022春?沈陽期末）設6>a>0,c€R,則下列不等式中正確的是（）

1J_

工>1c.史2“D.33

A.a<bB.a，bb+2〃bac<hc

【考點】不等關(guān)系與不等式；不等式的基本性質(zhì).

【專題】計算題；對應思想；定義法；不等式的解法及應用：數(shù)學運算.

【分析】利用幕函數(shù)的性質(zhì)判斷4利用不等式的基本性質(zhì)判斷8,利用作差法判斷C,

利用舉實例判斷。.

111

【解答】解：a在（0,+8）上為增函數(shù)，6>〃>0,...a2Vbz正確'

B,,：b>a>0,：.X.>X,...B正確，

ab

C,'：b>a>0,；.a+2■■旦=2（b-a）>（）,...a+2>曳,;.c正確，

b+2b（b+2）bb+2b

D,當匕=2,a=l,c=0時，滿足6>a>0,但”/=歷3,六。錯誤，

故選：ABC.

【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于中檔題.

（多選）10.（2022春?湖南期末）已知a>0,b>0,且4“+6=3,則（）

A-VIb<-|B-16a+2b>W2

C'b」〉TD'q

aoa+1a+b

【考點】基本不等式及其應用.

【專題】函數(shù)思想；分析法；不等式的解法及應用；數(shù)據(jù)分析.

【分析】利用基本不等式對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：對于力選項：3=4a+b^2V4ab=>Vab^—'當4“=6時，即6=士,

42

第8頁（共19頁）

時取等號，所以/是正確的.

對于8選項：16。+26=24。+2"三2>五叁而'=2J^=4J5，當4a=6時，即6=閆_,

時取等號，所以8是正確的.

對于C選項：6=3-4°,則6-工=3-4。-工W3-=-1,所以C是錯誤的.

對于。選項：.-L.—+—L_=A（3a+1+a+b）（.」_+_L_）=A（2+a+b+3a+1）

3a+la+b43a+la+b43a+la+b

當a+b=3a+l即2a+l=/;時,即“=上，6=包忖取等號，所以。正確的，

3a+la+b33

故選：ABD.

【點評】本題主要考查基本不等式，屬于基礎題.

（多選）11.（2022春?保定期末）已知正實數(shù)x,y滿足3x+y+號-13=0,且2、-L4W2y

-xy恒成立，則t的取值可能是（）

A._J.B.-IC.1D.3

22

【考點】基本不等式及其應用；函數(shù)恒成立問題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算.

【分析】先根據(jù)題意及基本不等式可得x+y24,進而得到-1,由此問題可轉(zhuǎn)

化為Z”-f-SWO,解出即可得到答案.

【解答】解：V3x+y+xy-13=0,

:.（x+1）y—-3x+13,

又x>0,則x+l>lW0,

x+y=x*■-3=x2AA16-4=4,當且僅當x=3時等號成立,

x+1x+1

.\2y-xy=3(x+y)-132-1,

又2p-f-4W2y-xy恒成立,

故選：BCD.

【點評】本題考查基本不等式的運用以及不等式的恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想及運算求

解能力，屬于中檔題.

（多選）12.（2022春?廣州期末）已知a,bERf滿足2。+2°=1,則（）

第9頁（共19頁）

A.a+bW-2B-2a4b<j

C.ab22D-22a+22b>y

【考點】基本不等式及其應用.

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想：綜合法：不等式的解法及應用；數(shù)學運算.

【分析】利用基本不等式判斷利用特殊值法判斷C

【解答】解：A,?門=2"+2"226^,.,.2（<+z,<X：.a+b^-2,當且僅當a=6=-1

時等號成立，二48正確，

C,當“=/）=-1時，貝，C錯誤，

D,由（2。+2〃）2=1W2（22。+22”，當且僅當a=b=-1時取等號，，22。+22〃》工，二。

2

正確，

故選：ABD.

【點評】本題考查基本不等式的應用，考查利用導數(shù)證明不等式，屬中檔題.

三.填空題（共4小題）

13.（2022春?福州期末）已知。>0,若關(guān)于x的不等式（x-1）2>（aX）2的解集中的整

數(shù)恰有2個，則實數(shù)a的取值范圍是（旦，2）.

2

【考點】一元二次不等式及其應用；其他不等式的解法.

【專題】計算題；分類討論；綜合法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算.

【分析】本題可將不等式化為同解不等式，然后根據(jù)。=1,0<?<1,三種情況來

分類討論，找到原不等式解集中的2個整數(shù)分別為-1,0即可.

【解答】解：由題意，不等式可轉(zhuǎn)化為（“2-1）/+2x-1<0,

①當片-1=0,即a=\時，不等式解集為{x|x<_k},

2

很明顯此時整數(shù)解有無窮多個，不符合題意，

②當a2-1<0,即OVaCl時，

此時A=4+4（『-1）=4。2,VO<a<l,/.△>0,

則不等式可轉(zhuǎn)化為[（a+1）x-1]?[（a-1）x+l]V0,

此時解集為或x>-_J_},

a+1a-l

很明顯此時整數(shù)解有無窮多個，不符合題意，

第10頁（共19頁）

③當a2-1>0,即a>l時，

此時△=4+4（/-1）=4/.A>0,

則不等式可轉(zhuǎn)化為[（a+1）x-1]?[（a-1）x+l]<0,

此時解集為3--^<x<-L-],

a-la+1

當a>l時，0<1<■1,-1<0,

a+12a-l

，原不等式解集中的2個整數(shù)分別為-1,0,

-2<--1_<-1,解得旦<a<2.

a-l2

綜上所述，可得實數(shù)a的取值范圍是（3,2）.

2

故答案為：（3,2）.

2

【點評】本題主要考查含參數(shù)的一元二次不等式的求解能力，分類討論思想的應用，屬

中檔題.

14.（2022春?虹口區(qū)校級期末）已知一元二次方程，+8+2=0的兩個虛根分別為xi,x2.

且滿足|XI-X2|=2,則實數(shù)。的值為2或-2.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】計算題；函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【分析】可設xi=a+63X2=a-bi,利用根與系數(shù)的關(guān)系可解得：b=+\,a=+\.即

可求出p.

【解答】解：因為一元二次方程f+px+2=0的兩個虛根XI，X2為共規(guī)虛根，

所以可設xi=a+63x2=a-bJ（其中a,Z>GR,i2—-1）.

X]+x2=2a=-p

所以由根與系數(shù)的關(guān)系可得.

XjX2=a"+b"=2

而|xi-X2|=|2bi|=2,解得：b—±1,a—±1.

所以當a—\時，p--2；當a--1時，p=2.

故實數(shù)p的值為2或-2.

故答棄為：2或-2.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

15.（2022春?青羊區(qū)校級期中）若對Vx>0,關(guān)于x的不等式工?/+〃a-/〃x>x+l恒成立，

2

則整數(shù)機的最小值為2.

第11頁（共19頁）

【考點】一元二次不等式及其應用.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算.

【分析】利用分離常數(shù)法可得機>里咚絲2在（0,+8）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合

2

X+2X

函數(shù)的單調(diào)性及零點判定定理即可求解.

【解答】解：對Vx>o,關(guān)于X的不等式-/〃x>x+l恒成立，

2

可得，m（X2+2X）>2/〃x+2x+2在（0,+°°）上恒成立，

因為X2+2X>0,

所以/?>21成.+2乂+2在（0,+8）上恒成立,

X2+2X

令g(x)=21nx+2x+2,x>o,

X2+2X

則g，a)=-2(x+l)(x+21nx),

令h(x)=x+2lnx,x>0,

22

(X+2X)

則〃'（x）=l+2>0恒成立，故力（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增,

X

因為力(A)=A-2/?2<0,h(1)=1>0,

22

所以mxoe(A,1)使得xo+2/〃xo=O,

2

所以當xe(0,xo)時Jh(x)<0,g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

當xW(xo，+8)時，h(x)>0,gr(x)VO,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,

21nx0+2x0+2

所以g（X）max=g（X0）-1-6(1,2),

X(J(XO+2)x0

所以機22,即整數(shù)"，的最小值2.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查了函數(shù)恒成立問題的求解，以及轉(zhuǎn)化思想的應用，是難題.

16.（2022?濱海新區(qū)二模）已知ab=^,a,bE（O,1）,則」_一的最小值為10+4次：

2l-al~b

【考點】基本不等式及其應用.

【專題】計算題；對應思想；轉(zhuǎn)化法；不等式.

【分析】先根據(jù)條件消掉從即將6=工代入原式得^+―^+4,并乘

2al-al-b2-2a2a-l

“1”法，最后運用基本不等式求其最小值

第12頁（共19頁）

【解答】解：：必=工，a,be(0,1),

2

；.b=L,

2a

Al-a>0,1-6=1-工>0,

2a

：.2a-l>0,

l-al-bl-a[.1l-a2a-l

2a

=1/4(2a~~l)+4

l-a2a-l

=_1_+_1—+4,

l-a2a-l

=2+4+%

2-2a2a-l

=2(—L_+2)+4,

2-2a2a_l

=2(_L_+2)[(2-2a)+(2a-1)]+4,

2-2a2a-l

=2(]+2+2a-l+222a'))+4j

2~2a2a-l

22(3+2、性-1.2(2-2a))+4=2(3+2近)+4=10+4后，

V2-2a2a-l

當且僅當2a-l=2(2-2a)時,即0=3f歷時取等號,

2-2a2a-l2

故工+上的最小值為10+472.

l-al-b

故答案為：10+4丁5

【點評】本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應用，涉及消元，裂項，湊配,

乘1等恒等變形，以及取等條件的確定，屬于難題.

四.解答題(共6小題)

17.(2022春?新都區(qū)期末)已知x+2y=5.

(1)若x、yG(0,+8),求機=孫的最大值；

(2)若x、y€[-5,2],求〃的取值范圍.

【考點】基本不等式及其應用.

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算.

【分析】(1)利用基本不等式，即可直接解出；

(2)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，即可解出.

第13頁(共19頁)

【解答】解：(1)(x+2y)2=空，當且僅當x=2y時取等號,

228

222

(2)n=x+y=(5-2y)24T2=5爐-20八25=5[Cy-2)+l],

Vx,yE[-5?2],且x+2y=5,

.,.?6[5,學.

【點評】本題考查了基本不等式，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

18.(2022春?巴中期末)已知函數(shù)/(x)=x2+ax-2,/(x)>0的解集為{x|xV-1或x>

b}.

(1)求實數(shù)。，6的值；

(2)若(0,+8)時，求函數(shù)目⑷/GM的最小值.

X

【考點】一元二次不等式及其應用.

【專題】方程思想；綜合法；不等式；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】(1)推導出T,。是相應方程f+ax-2=0的兩個根，由此利用韋達定理能求出

a,b.

(2)由g3)/(x)+4=x』-l，xe(0,+8),利用基本不等式能求出函數(shù)g(x)

XX

的最小值.

【解答】解：(1);關(guān)于x的不等式/+QX-2>0的解集為{x|xV-1或x>b}

A-Lb是相應方程f+ox-2=0的兩個根,

.J-1+b=-a,解得產(chǎn)T,

ITXb=_21b=2

Aa=-1,b=2.

VxG(0,+8),

?*,g(X)=x+1—X-y-l=2V2-r

當且僅當xd寸，即*=近時，取等號成立.

X

故函數(shù)g(X)的最小值為2\歷-1.

【點評】本題考查一元二次不等式性質(zhì)、韋達定理、基本不等式等基礎知識，考查運算

求解能力，是基礎題.

第14頁(共19頁)

19.(2022春?興慶區(qū)校級期末)已知二次函數(shù)/(x)滿足/(x+1)-f(x)=2x,且/(0)

=1.

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)求函數(shù)/(x)在[3Z+l](Z6R)的最小值g(f)的表達式.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；函數(shù)解析式的求解及常用方法.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯推理：數(shù)學運算.

【分析】(1)由/(0)=1>設函數(shù)為/(x)=ax2+Z>x+l(a^O),代入/(x+1)-f(x)

=2%,求出a,b,由此能求出函數(shù)解析式：

(2)由對稱軸求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分類討論，能求出函數(shù)/(x)在[/,f+1](/GR)的

最小值g(?)的表達式.

【解答】解：(1)由/(0)=1,設函數(shù)為/(x)=ax2+bx+\(a^O),

?.?二次函數(shù)fG)滿足f(x+1)-/(x)=2x,

(x+1)-f(x)—a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx—2ax+a+b—2x,

.(2a=2.fa=l

la+b=Olb=-l

/./(x)—x2-x+1.

(2)/(x)=/-x+l的對稱軸為x=/,

：.f(x)在區(qū)間(一，/上單調(diào)遞減，在區(qū)間弓，+8)上單調(diào)遞增，

f(x)在f+1),/€R上，

當/《寸寸，f(x)min=f(Z+l)=?+/+1,

當-1<t<工時，f(X)(1)=3,

2224

當/f(X)min=f⑺=t2-f+l,

綜上，函數(shù)y(x)在U，什1](reR)的最小值g(力的表達式為：

t2+t+l,t<-y

g(t)=<總,-Y<t<y.

t2-t+l,t>y

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)在給定區(qū)間上的定值、對稱

軸、單調(diào)區(qū)間等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

第15頁(共19頁)

20.（2022春?達州期末）（1）已知x>3,求的最小值；

x-2

（2）已知x>0,y>0,且3x+2y-l=0,證明：-A-4-^-^4-

【考點】基本不等式及其應用.

【專題】函數(shù)思想：分析法：不等式的解法及應用：數(shù)據(jù)分析.

【分析】（1）x+_9_可化為x-2+2+2,再由基本不等式求其最值.

（2）由條件可得工■!_=（_!_」）（3x+2y）,結(jié)合基本不等式完成證明.

3x2y3x2y

【解答】解：（1）由題干可知Q3,故x-2>I,原式變形：乂二一=x-2好斗+2〉6+2=&

工，解得大病x=5時，取到等號.

x-2

所以X42最小值8.

X-2

(2)由題干知x>0,y>0,3x+2y-l=0,變形得到3x+2y=l.

則原式變形

X?+1>2+2

當且僅當2上=2工時，即x』寸取等號，所以-I-4）遙立.

3x2y463x2y

【點評】本題主要考查基本不等式的簡單應用，屬于基礎題.

21.（2022春?東湖區(qū)校級期末）設a,b,c均為正數(shù)，且a+b=l.

（1）