2023年考研數(shù)學(xué)三試題及答案

2023年考研數(shù)學(xué)三試題及答案

一、選擇題：no小題,每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)

是最符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

1.已知函數(shù)=ln(y+|xsiny|),則().

B.-^―存在，不存在

A.不存在，存在

&（0.1）（0.1）

（0.1）

c.工*存在，存在且不存在，之不存在

D.

8x（0,1）?。∣J）&（0.1）②（0,1）

【答案】A.

【解析】由已知/(x,y)=ln(y+|xsiny|),則

/(x,1)=ln(l+|xsin1|),/(0,y)=Iny.

小CM—?,八行(x，V)4/,(無(wú),D.,

當(dāng)x>0時(shí)，/(x,l)=ln(l+xsml),------=-------=sin1；

&(o.i)的

當(dāng)x<0時(shí)，/(x,l)=ln(l-xsinl),軟羽，)=爪/)=-sinl；

dx(0.1)dxA=0

所以空出斗不存在.

&1(0,1)

又22=幽2=i,存在.

辦(o,Ddy問(wèn)

故選A.

2.函數(shù)/（幻的一個(gè)原函數(shù)為（).

[(x+l)cosx,x>0

In(A/1+X2-X],X<0

A.尸(x)={\/

(x+1)cosx-sinx,x>0

In(Vl+x2-xj+l,x<0

B.尸。）=

(x+1)cosx-sin>0

In(\/1+九2-

C.F(x)={\/

(x+1)sinx+cosx,x>0

\n[\J\+x2+x)+l,x<0

D.={\/

(x+1)sinx+cosx,x>0

【答案】D.

【解析】由已知lim/(x)=lim/(x)=/(0)=1,即f(x)連續(xù).

x->0*X->0-

所以尸(x)在尤=0處連續(xù)且可導(dǎo)，排除A,C.

又無(wú)>0時(shí)，[(x+1)cosx-sinx]f=cosx-(x+1)sinx-cosx--(x+1)sinx,

排除B.

故選D.

3.若y"+ay'+切=0的通解在(fo,y。)上有界，則().

A.a<0,b>QB.a>0,b>Q

C.a-0,h<01).a-0,b>0

【答案】D.

[解析】微分方程/+ay'+by=0的特征方程為r2+ar+b=0.

---%\l4-h-a2J4h-a2

①若礦一4b<0,則通解為y(x)=e2(Gcos———---x+C2sin--------x)；

②若。2—4。>0,則通解為y(x)=Ge

③若/一4。=0,則通解為y(x)=(C,+C2x)e^'.

由于y(x)在(ro,+x)上有界，若4>0,則①②③中x-y時(shí)通解無(wú)界，若一"|<0,

則①②③中-oo時(shí)通解無(wú)界，故a=0.

a=0時(shí)，若。>0，則［.2=，通解為y(x)=(Gcosy/bx+C2sin4bx),在(-oo,+oo)

上有界.

a=0時(shí)，若b<0,則％=土.，通解為y(x)=￡e、&+Ge-^，在(-OO,M)上無(wú)界.

綜上可得。=0,b>0.

00000000

a

4.設(shè)an<bn,且?“與￡4收斂，En絕對(duì)收斂是Z絕對(duì)收斂的（).

n=\n=\w=ln=]

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既非充分又非必要條件

【解析】由已知條件可知?！埃槭諗康恼?xiàng)級(jí)數(shù),

￡（2-進(jìn)而-4）絕對(duì)收斂-

71=1/2=1

88

設(shè)Zan絕對(duì)收斂，則由\bn\=\bn-an+an\<\bn-an\+\an\與比較判別法,得gbn

M=1"=1

絕對(duì)收玫；

0000

設(shè)Z2絕對(duì)收斂，則由㈤=何一2+包歸儂一叫+同與比較判別法，得絕

M=l

對(duì)收斂.故選A.

AE、

5.A.B為可逆矩陣，E為單位陣，為M的伴隨矩陣，則

OB7

|A|3*-5*A*、"\B\X-AB

A.B

O\B\A^-、o\A\B

⑻A*5*A*、(\A\B*-XB

C.D

0\A\B\-、0\B\A

【答案】B.

【解析】由于

AEAE、AE(E。、|A||B|O、

B\O

OB7O此OE,O\A\\B\7

故

AE、AE|A||B|O

OB,OB7o|A||B|7

A-'-A-'B'Y|A||B|O、

Oo|A||B|7

_'|A|AT|8|-|A|A-1

一、OB'\A\\B\,

JX\B\-AB"

一、OB'\A\；

故選B.

6./（玉,%2，尤3）=（再+.）2+（玉+.）2-4（々—七）2的規(guī)范形為

A.#+貨B.犬一員c.父+$一4$D.弁+$一￡

【答案】B

222

【解析】/(x1,x2,x3)=(x1+X2)+(X,+X3)-4(X2-X3)

=2x；-3x；-3x；+2*]尤2+2尤|毛+8x2x3,

r211、

二次型的矩陣為A=1-34

J4一3,

2-2112-A10

\A-AE\-1-3-24=(4+7)1-3-21

14-3-214-1

2-210

=(2+7)21-20=-2(2+7)(2-3)=0,

14-1

4=3,4=—7,4=0,故規(guī)范形為故選B.

T，2、,2](1、

7.已知向量組4=2,%1，四=5血=0,若y既可由四,。2線性表示,

4

3

又可由夕I，四線性表示，則y=（）

[3、

B.k5,ksR

JO,

'-1、T

C.k1,kwRD.k5,ksR

J,

【答案】D.

【解析】設(shè)y=勺4+k2a2=k#\+1夕2，則3+k2a2-k、B「左次=0,對(duì)關(guān)于

勺,網(wǎng),占,%的方程組的系數(shù)矩陣作初等變換化為最簡(jiǎn)形，

12-21003、

A=(%,%,一旦「02)=21-500I0-1

10011

37

解得g#2，%3，&)T=C(-3,L-l,l)T+(3,-l,l,0)T=(3-3CT+C,l—C,C)T,故

r1-C、

y=kxax+k2a2=(3-3C)at+(C-l)a2=5(1-C)=k,kER.

.8(1-C),

8.設(shè)X服從參數(shù)為1的泊松分布，則￡(|X—￡(X)|)=().

A.iC.2

D.1

ee

【答案】C.

-1

e

【解析】方法一：由已知可得，P{X=A}=—(Zr=0,l,2,),E(X)=l,故

k!

E(|X-￡(X)I)=E(|X-11)=yLLdle-^e-1+e-1

*k\

2e-1+E(X-l)=-.

e

故選C.

ockcck18/+l

方法二：由于e'=￡二，于是—'"1于是

&k!w(k+D!x￡f(Z+l)!x

8kxk-'y+i、(x-l)ev+l

=y,v

2

E/+1)!1白(火+1)!3=1

A=1(Z+DLXX

e-1

由已知可得，P{X=k}=—(k=0X2,),￡(X)=1,故

k\

E(|X-E(X)|)=E(|X-l|)=e-'+J=e'1+J￡

k=\k[&=|伙+1)!

(x-l)eA+l

=e-14-e-1=e-1+e-1=—

x2

A-=Ie

E(|X-E(X)|)=￡(|丫I)=[e-1+E(Y)]=e-i+E(X)—1=eT.

故選C.

9.設(shè)X1,X2，,X“為來(lái)自總體N(M，/)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X，X，.,丫“為來(lái)自總體

__in_im

Net/?；"）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，記X=上?,，于=上2小

〃普加M

1"一〃1_

12（工一斤）2,則（）

i=l

s2

A.F(n,m)B.

$2

2s22s2

C.—VF(n,m)D.——9_F(n

【答案】D.

("2-1電

【解析】由兩樣本相互獨(dú)立可得7與一相互獨(dú)立，且

(y~2a2

(〃—1)S；

2/(〃一1),

(y~2b

5—1電-/(n-1)2寸

_2

因此一0~：-------=-9F(n-l,/n-l),故選D.

'L-1)'I

2(T2

10.已知總體X服從正態(tài)分布N（〃,/），其中cr>0為未知參數(shù)，X,,X2為來(lái)自總體X

的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記3=a|X]—X?|,若E（b）=b,則。=（）.

A*ylljr

B.-------C.?D.\[2TT

2

【答案】A.

【解析】由與X，X?為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X-X2相互獨(dú)立，且

X|N(〃,〃)，X2N(〃Q2),

因而X1—x??N（o,2b2）,令y=X]—X2,所以y的概率密度為

人口）;忑*■?e

所以

即“)=J二3禺/eSiy=2/e*d)，=蓍

由E(d)=aE(|X1-X2l)=b,即

2b

aE(\Y\)=a-

解得a=近，故選A.

2

二、填空題：11?16小題,每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.

11.求極限lim%2(2-xsin--cos—|.

aslxx)

2

【答案】

3

1sin/I

I..—t2

I-cos/t1-2i-f-sinr

=lim--------+lim----r12—*3=11111^^4—4-hm

f->0〃f->0產(chǎn)—0〃/->0

11

=-----1-----

26

_2

"31

羋譚’且…號(hào)則"3)=

12.已知函數(shù)/(x,y)滿足4/(x,y)

IT

【答案】一.

3

旗殖,則

【解析】由已知x,y)——yx，y)=*

dxx2+y2Syx2+y2

dr=—arctan—+夕()),

y

所以竽=7<7+d⑺’即如)=0,°(y)=c，

X7171

從而/(%y)=-arctan—+C,又/(1』)=一，解得。=一，故

y42

百n

/(x,,)^-arctan!)以瓜冷-arctan——=—

233

X2n

is.y—

￡(2〃)!

____eA+e'r

［答案］-------

2

【解析】令S(x)=￡旦,則S(O)=1,

且

“=o(2”)!

8-.2/J—1

Sf(x)=V-------,S'(0)=0,

□o2n~2oc2/J

SW=S(2/7-2)!=S(W=S(X)，

從而可得微分方程S"(x)-S(x)=0,解得S(x)=C,ex+Ge-1

又s(o)=i,s'(o)-o,解得。］=。2=5,故

0、(x2"e*+eT

S(x)=)-----=--------.

士(2w)!2

14.某公司在t時(shí)刻的資產(chǎn)為/(f),則從0時(shí)刻到r時(shí)刻的平均資產(chǎn)等于3-r,假設(shè)

t

/⑺連續(xù)且/(())=()，則/⑺=.

【答案】2(e'-1-l).

【解析】由已知可得斗吧=半一￡,整理變形J：/⑺出=/?)—『，

等式兩邊求導(dǎo)/(/)=/'(/)一2,，即/'。)一/。)=2，，解得一階線性微分方程通解為

/(r)=-2(r+l)+Ce\

又/(0)=0,解得。=2,故/?)=2(e'—f—l).

OXj+x3=1,

a01

x［+ax2+^=0,

15.有解，其中。，匕為常數(shù)，若1a1=4則

$+2X+ax=0,

2312a

ax{+bx2=2

1a1

12a—.

ab0

【答案】8

a011

1a1a01

-1a10

【解析】方程組有解，則|A|==-12a+21a1=0，故

12ao

ab012a

ah02

1a1

I2a=8.

ab0

16.設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且x8。,〃)，yB(2,p),〃w(o,i)則x+丫

與x—y的相關(guān)系數(shù)為.

【答案】二

3

【解析】由題意可得，D(X)=—o(y)=2〃(i—〃)，又由x與y相互獨(dú)立可

知,ax±y)=￡>(x)+D(y),故

Cov(x+y,x-y)_______D(x)-r>(y)_______

-Jo(x+y)”(x—y)-j￡>(x)+￡>(y).jo(x)+o(y)

=D(X)-。⑺=p(l-p)-2p(l-p)=」

一D(X)+D(Y)—p(l-p)+2p(l-p)一-3

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

己知函數(shù)y=y(x)滿足aex+y2+j-ln(l+x)cosy+b=0,且y(0)=0,y'(0)=0.

(1)求a,8的值；

(2)判斷x=0是否為函數(shù)y=y(x)的極值點(diǎn).

【解】(1)將y(0)=0代入ae*+y2+y-]n(l+x)cosy+b=0得a+〃=O.

方程aex++y-ln(l+x)cosy+b-0兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

aev+2yy'+y'-cosy+ln(l+x)siny?y，=0,

1+x

將y'(0)=0代入上式得a—l=0,解得。=1,8=一1.

⑵由(1)知e*+2yy'+y'---—cosy+ln(l+x)siny-=0)上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得

l+x

ex+2(y')2+2yy"+y"------7cosyH----siny?y'+----siny+ln(l+x)cosy-y'y'+ln(l+x)siny-y

(l+x)l+x[l+x

將y（o）=o,y（o）=o代入上式得y（o）=-2,所以％=o是函數(shù)y=軟幻的極大值點(diǎn).

18.（本題滿分12分）

已知平面區(qū)域。=卜羽。）|04。〈一/

、XA/1+X2,

（1）求平面區(qū)域。的面積S.

（2）求平面區(qū)域。繞X-■周所形成得旋轉(zhuǎn)體的體積

1兀24兀1

P+OOI<?—sect

［解］⑴s=1,dx=「dr=「

Jl2

xVl+x4tanrsec?匕sin/

dcosf

呼sin2/Jgl-cos2r

11COSt-\21,V2+1

=—In---=--—-In—j=——?

2cos1+1可2V2-1

4

(2)而寸TL2--占卜=41

19.(本題滿分12分)

已知。={(x,y)|(x—l)2+y2〈i},求“IJY+VT@dy.

D

【解】令R={(x,y)|(x-l)2+y2工1,丁+丁241},則

“1Jf+j？-l|dxdy

D

=fj(荷+產(chǎn)+—、/尤2+y2jdxdy

D-D,Xp、

=+/-1戶力+2,(1-、lx2+y2jdxdy

=rt夕如e”+千鳳32-7萬(wàn)

~9~

2J3

20.(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(尤)在［-a,a］上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù).

(1)證明：若/(0)=0,存在《w(—a,a)，使得了"(《)=二"3)+/(—“)］；

a

(2)若/(%)在(-a.a)上存在極值，證明：存在〃￡(一名。)，使得

2a

【證明】(1)將/(x)在/=0處展開為

小)=/(。)+八。)》少=八。)X+號(hào)'

其中3介于0與X之間.

分別令工=一。和x=a,則

/(一a)=/(O)(—a)+，,-a0<0,

/(a)=f(O)(a)+,0<^<a,

f-2

兩式相加可得

/…2也產(chǎn)，

又函數(shù)/(勸在［-a,a］上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由介值定理知存在Je［。42］<=(-.,a),使得

即/(4)=《"(—。)+/3)］.

a~

設(shè)/(%)在處取得極值,則f\x

(2)x00)=0.

將/(%)在七處展開為

/(X)=/(%)+小°)(…。)+/嗎7。/=/(%?)+了嗎F2，

其中5介于X。與X之間.

分別令x=-a和x=a,則

/“（7）（。+當(dāng)）2

f(-a)=f(x0)+-a<7,<x0,

/"（772）（。一4）2

f(a)=f(xQ)+x0<q2<a,

兩式相減可得

/?⑷_/（_0）=/"（〃2）（。-面＞_廣（7）（a+飛＞

所以

/嗎一工/嗎+才

〃（7）|（。+））2?（?。?（。7。）2

22一((小

<[(a+x0)+(a-x0)](|/77)1=max(|7)|J/)1))

<+5)+3—/)]2=2a2""⑺|,

gmr（7）i^AI.

2a

21.（本題滿分12分）

，玉）（玉+々+工3

設(shè)矩陣A滿足對(duì)任意的X1,9,*3均有A尤2=2%一%2+尤3

⑴求4

（2）求可逆矩陣尸與對(duì)角陣/,使得P」AP=/.

，X1）（玉+%2+尤3、

【解】由々,得

（1）A=2x,-x2+x3

不

了22

0

111玉1、

即方程組2-11

A-x2=0對(duì)任意的王,々，83均成立，故4=2-1

01-17017

1-211I-A01

(2)|A-2EH2-1-21=(2+A)20-2

01-1-A01-1-2

=-(2+2)(2-2)a+l)=0,

特征值為4=一2,4=2,4=-1.

311、u00、,0、

A+2E2