量子力學(xué)講義

量子力學(xué)講義第一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六薛定諤

ERWINSCHRODINGER

(1887-1961)第二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.1

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波粒二象性的矛盾和解釋

1.波和粒子的關(guān)系波由粒子組成,波是大量粒子運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)與減少入射粒子流密度,讓粒子近似地一個(gè)個(gè)從粒子源射出后仍有波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)不符粒子由波組成,粒子=波包第三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.1

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋反例:i)自由粒子平面波,占據(jù)整個(gè)空間

ii)色散群速度:

相速度:

必有色散->粒子解體第四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.1

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋粒子性顆粒性(V)

軌道(X)波動(dòng)性物理量周期分布(VandX)

將”粒子分布”視為物理量疊加性->干涉,衍射(V)第五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.1

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

時(shí)間為t時(shí)刻,粒子出在位置r的幾率第六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.1

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的討論的平方可積除了個(gè)別孤立奇點(diǎn)外,波函數(shù)單值,有界,連續(xù)不確定性:i)表示同一個(gè)態(tài)->歸一化

ii)相角不確定性(常數(shù)相角)經(jīng)典,態(tài)確定性量子:幾率性=>可用以計(jì)算平均值第七頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.1

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的討論平面波多粒子體系的推廣第八頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.1

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋動(dòng)量幾率分布函數(shù)

=>Fourier變換頻譜展開第九頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.1

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

可描寫體系狀態(tài),

也可描寫體系狀態(tài)是同一個(gè)態(tài),不同自變量第十頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.1

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

代表在態(tài)中,

出現(xiàn)單色平面波的幾率第十一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.1

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋處在的粒子,動(dòng)量無確定值相當(dāng)于晶體衍射如若則第十二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.1

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象第十三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.2

態(tài)疊加原理波疊加經(jīng)典合成的波中有各種成分相干性量子相干性新特點(diǎn)第十四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.2

態(tài)疊加原理

新特點(diǎn)可能性和概率干涉項(xiàng)的概率性是粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)概率波自身的干涉,不是不同粒子之間的干涉第十五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.2

態(tài)疊加原理波疊加原理的表述

a)如果是可能態(tài)

則也是一個(gè)可能態(tài)

b)在中,體系出現(xiàn)的幾率是第十六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.2

態(tài)疊加原理討論

a)

b)光子偏整態(tài):Malus定律第十七頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.2

態(tài)疊加原理討論但任何時(shí)候觀測(cè)到的都是一整個(gè)光子,

而不是個(gè)光子

=>概率相干第十八頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.2

態(tài)疊加原理討論

c)線性疊加

d)疊加次序并不重要第十九頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程經(jīng)典力學(xué)

牛頓方程特點(diǎn):線性方程二階全微分方程,只有一個(gè)獨(dú)立變量t唯一性方程系數(shù)不含狀態(tài)參數(shù),有普適性第二十頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程量子力學(xué)

要求:線性方程(態(tài)疊加原理的直接要求)系數(shù)也不含狀態(tài)參數(shù)t與x,y,z均為變量=>只能是偏微分方程解的唯一性=>兩階正規(guī)方程第二十一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程量子力學(xué)

進(jìn)入方程式,體現(xiàn)微觀世界的特點(diǎn)(量子化)->0,過渡到牛頓方程第二十二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程建立方程的啟示

自由粒子已知解=>方程式(不唯一)第二十三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程已知解=>方程式(不唯一)第二十四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程一般情況:第二十五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程說明:a)波動(dòng)力學(xué)的基本假定,表征量子體系特征的量h進(jìn)入了方程式,薛定諤方程在量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng)

b)算符形式第二十六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程力學(xué)量用算符表示兩個(gè)慣例

1)只在直角坐標(biāo)中適用,因?yàn)槲⑸滩粎f(xié)變例:二維極坐標(biāo)下的薛定諤方程第二十七頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程兩個(gè)慣例

2)將H分成三部分:i)與坐標(biāo)無關(guān)的動(dòng)量二次式

ii)只依賴于坐標(biāo)的函數(shù)

iii)第二十八頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程因?yàn)橛胁ê瘮?shù)統(tǒng)計(jì)解釋,因此概率流守恒定律自動(dòng)包含在薛定諤方程中第二十九頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程第三十頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程為什么而與t無關(guān)?第三十一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程定態(tài)U=U(r),不顯含t

第三十二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程=>

幾率流密度變不變?第三十三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程本征值方程第三十四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.3

薛定諤方程邊界條件的討論:U連續(xù),波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)U不連續(xù),波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)U趨向無窮大(一階)波函數(shù)連續(xù),一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)U趨向無窮大(二階及以上)波函數(shù)不連續(xù),一階導(dǎo)數(shù)亦不連續(xù)第三十五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱第三十六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱第三十七頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱第三十八頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱第三十九頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六一維方勢(shì)阱波函數(shù)圖象第四十頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六一維方勢(shì)阱波函數(shù)圖象第四十一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱思考題:將勢(shì)能為零的區(qū)間放大或者縮小一倍(分是足夠緩慢的變還是突變兩種情況)時(shí),波函數(shù)和能級(jí)怎么變?將勢(shì)場(chǎng)曲線正題右移a,波函數(shù)和能級(jí)怎么變?第四十二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱一維方勢(shì)阱第四十三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱一維方勢(shì)阱第四十四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱一維方勢(shì)阱第四十五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱a)偶宇稱波函數(shù)為cos(kx)關(guān)鍵:用在連續(xù)以代替波函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的連續(xù).好處在于去掉波函數(shù)中常數(shù)的影響第四十六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱

結(jié)論:無論Ua^2取何值,都有解(見下一頁圖)第四十七頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六一維方勢(shì)阱偶宇稱能譜圖第四十八頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱b)奇宇稱波函數(shù)為sin(kx)結(jié)論:當(dāng)時(shí)才有解(見下一頁圖)第四十九頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六一維方勢(shì)阱奇宇稱能譜圖第五十頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱c)當(dāng)勢(shì)場(chǎng)趨于無窮時(shí),回到一維無限深勢(shì)阱的特例第五十一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六具有不同的深度

但是寬度相同的方勢(shì)阱(1)第五十二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六具有不同的深度

但是寬度相同的方勢(shì)阱(2)第五十三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六具有相同的深度

但是寬度不同的方勢(shì)阱(1)第五十四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六具有相同的深度

但是寬度不同的方勢(shì)阱(2)第五十五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.4

一維方勢(shì)阱思考題:

半壁無限勢(shì)阱時(shí)的解如何?第五十六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子Motivation:物理上:勢(shì)場(chǎng)在平衡位置附近展開U(x)~k(x-x0)^2任何連續(xù)諧振子體系無窮多個(gè)諧振子集合輻射場(chǎng)簡(jiǎn)諧波的疊加原子核表面振動(dòng),理想固體(無窮個(gè)振子)真正可以嚴(yán)格求解的物理勢(shì)(不是間斷勢(shì))描述全同粒子體系產(chǎn)生,湮滅算符第五十七頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子Motivation:數(shù)學(xué)上:學(xué)會(huì)一套規(guī)范化的求解薛定諤方程的方案通過數(shù)學(xué),看物理第五十八頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子第五十九頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子求解1DSchrodingerEqwithharmonicoscillator無量綱化優(yōu)點(diǎn)單位在物理學(xué)上并不重要,重要的是一些無量綱數(shù)可使方程的系數(shù)變得最簡(jiǎn)單第六十頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子第六十一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子“抓兩頭,帶中間”抓兩頭:看方程在兩邊邊界上的漸進(jìn)行為

(三維:0點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn),一維:正負(fù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn))帶中間:使函數(shù)在兩頭有與漸近行為相同的形式第六十二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子使之變成關(guān)于H的方程式第六十三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子求級(jí)數(shù)解,找遞推關(guān)系看解在無窮遠(yuǎn)處的漸近行為,”斬?cái)嗄ёΑ?無限求和截?cái)酁橛邢薜亩囗?xiàng)式,從而得到能譜及解求出波函數(shù)=>歸一化第六十四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六第六十五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六第六十六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六第六十七頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六第六十八頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六第六十九頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子厄米多項(xiàng)式的討論別名母系(母函數(shù))仇家(正交性)第七十頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子厄米多項(xiàng)式的討論兄弟姊妹(遞推關(guān)系)對(duì)稱性節(jié)點(diǎn)第七十一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子最低階的幾個(gè)厄米多項(xiàng)式及諧振子波函數(shù)第七十二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子產(chǎn)生湮滅算符第七十三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六第七十四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六第七十五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子思考題:半壁振子(兩種情況)(圖)(暫缺)第七十六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子思考題:對(duì)稱性動(dòng)量表象第七十七頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.5

一維諧振子思考題:n維諧振子體系等間距能級(jí)

n個(gè)粒子元激發(fā)(elementaryexitation)集合產(chǎn)生湮滅算符第七十八頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.6

一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)一維非奇性勢(shì)薛定諤方程的束縛態(tài)無簡(jiǎn)并第七十九頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.6

一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)第八十頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.6

一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)一維束縛態(tài)波函數(shù)可取為實(shí)數(shù)第八十一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.6

一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象(圖見后)第八十二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.6

一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象第八十三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.6

一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象第八十四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.6

一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)能量本征函數(shù)性質(zhì),以x趨近正無窮大為例第八十五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.6

一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)能量本征譜性質(zhì)振蕩解,連續(xù)譜,二度簡(jiǎn)并,散射態(tài)指數(shù)衰減解振蕩解本征譜連續(xù),無簡(jiǎn)并,非束縛態(tài)解第八十六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.6

一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)

兩端均指數(shù)衰減,束縛態(tài)解,分立譜,無簡(jiǎn)并第八十七頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.6

一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)節(jié)點(diǎn)數(shù):

基態(tài)無節(jié)點(diǎn),第n個(gè)激發(fā)態(tài)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)稱性:

若U(x)=U(-x)則波函數(shù)可具有確定的宇稱正交歸一性第八十八頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.6

一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)上述結(jié)論均可用的性質(zhì)證明一維薛定諤方程的所有性質(zhì)都與其相應(yīng)的Wronskian行列式有關(guān)第八十九頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.7

勢(shì)壘貫穿經(jīng)典圖象:眼前無路好回頭量子圖象:眼前無路穿著走勢(shì)阱有無穿透?什么條件下全透射無反射?勢(shì)壘高度和寬度的影響?第九十頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.7

勢(shì)壘貫穿第九十一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.7

勢(shì)壘貫穿第九十二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.7

勢(shì)壘貫穿第九十三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.7

勢(shì)壘貫穿第九十四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.7

勢(shì)壘貫穿第九十五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.7

勢(shì)壘貫穿第九十六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.7

勢(shì)壘貫穿在非相對(duì)論情況下,粒子不可能穿透無限高位壘第九十七頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.7

勢(shì)壘貫穿如果討論的是勢(shì)阱而不是勢(shì)壘,那么只需要作代換第九十八頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.7

勢(shì)壘貫穿共振透射的條件和共振能量第九十九頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)輳力普遍性質(zhì)若U(r)處處有界=>波函數(shù)處處有界若U(r)有極小值,則體系平均能量必大于勢(shì)場(chǎng)的極小值能量算符的本征值比大于勢(shì)場(chǎng)的極小值若無窮遠(yuǎn)處勢(shì)場(chǎng)為零,則能量本征值小于零的能譜必定是分立譜,對(duì)應(yīng)束縛態(tài)第一百頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)普遍性質(zhì)Landaufall第一百零一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)Landaufalls<2:r趨于零,斥力為主;r趨于無窮,吸引力為主束縛態(tài)s>2:r趨于零,吸引力為主;r趨于無窮,斥力為主Landaufalls=2:決定于c和\alpha的數(shù)值\alpha_critical=\bar{h}^2/8m第一百零二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)角度部分的解第一百零三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)第一百零四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)第一百零五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)第一百零六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)第一百零七頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)別名第一百零八頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)母系兄弟姊妹第一百零九頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)仇家對(duì)稱性第一百一十頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)幾個(gè)最低階的勒讓德多項(xiàng)式如下第一百一十一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)第一百一十二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)第一百一十三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)綜上所述,球?qū)ΨQ場(chǎng)中薛定諤方程角度部分的解第一百一十四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)最低的幾個(gè)球諧函數(shù)是第一百一十五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.8

三維薛定諤方程(輳力場(chǎng)情況)最低的幾個(gè)球諧函數(shù)是第一百一十六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.9

氫原子二體問題質(zhì)心運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于自由粒子運(yùn)動(dòng)M=m1+m2相當(dāng)于一個(gè)質(zhì)量為折合質(zhì)量m的粒子的運(yùn)動(dòng)m=m1*m2/(m1+m2)Et=Ec+E第一百一十七頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.9

氫原子庫(kù)侖場(chǎng)中的徑向方程第一百一十八頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.9

氫原子

第一百一十九頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.9

氫原子

第一百二十頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.9

氫原子

第一百二十一頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.9

氫原子作代換得到令第一百二十二頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.9

氫原子第一百二十三頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.9

氫原子為切斷無窮級(jí)數(shù),取由得到第一百二十四頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.9

氫原子第一百二十五頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六§2.9

氫原子第一百二十六頁，共一百五十二頁，編輯于2023年，星期六最低階的幾個(gè)徑向波函數(shù)第一