四節(jié)冪級數(shù)專題培訓(xùn)公開課一等獎(jiǎng)市優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第四節(jié)冪級數(shù)一、冪級數(shù)二、冪級數(shù)的性質(zhì)設(shè)是定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)(其中至少有一個(gè)不是常數(shù))，則稱

為定義在(a,b)內(nèi)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù).對于(a,b)內(nèi)的每一個(gè)值，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)都化為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)，即定義9.5如果收斂，則稱x0為的收斂點(diǎn),級數(shù)的收斂點(diǎn)的全體稱為該級數(shù)的收斂域.如果發(fā)散，則稱x0為的發(fā)散點(diǎn).在的收斂域內(nèi)有.記稱S(x)為級數(shù)的和函數(shù).同樣稱為的余項(xiàng).在收斂域內(nèi)總有.一、冪級數(shù)定義9.6形如或(其中都是常數(shù))的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，稱為冪級數(shù).稱為冪級數(shù)的系數(shù)，又可稱它們?yōu)槎x在內(nèi)的冪級數(shù).前者又稱為的冪級數(shù)，后者又稱為x的冪級數(shù).如為x的冪級數(shù)，當(dāng)時(shí)收斂，其和函數(shù)為.當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散.收斂域?yàn)?－1,1)定理9.7(阿貝爾(Abel)定理)

(1)在x=0處收斂.(2)若在處收斂，則對于一切適合的x，絕對收斂.(3)若在處發(fā)散，則對于適合的x，發(fā)散.證明(1)顯然.(2)若級數(shù)收斂，則，存在，使因此從而幾何級數(shù)收斂.即絕對收斂.定理的第3部分反證法：設(shè)時(shí)，收斂，則依第2部分的結(jié)論在x2處收斂，矛盾.這表明如果冪級數(shù)在x1處收斂，則在區(qū)間內(nèi)絕對收斂；如果冪級數(shù)在處發(fā)散，則在之外的任何點(diǎn)x處必定發(fā)散.推論如果冪級數(shù)不是僅在x=0處收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸都收斂，則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在，使得(1)當(dāng)|x|<R時(shí)，絕對收斂；(2)當(dāng)|x|>R時(shí)，發(fā)散；(3)當(dāng)x=R與x=－R時(shí)，可能收斂，也可能發(fā)散.定義9.7通常稱上述R為冪級數(shù)的收斂半徑，稱(－R,R)為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.如果對于任意x，冪級數(shù)都收斂，則定義其收斂半徑為，收斂區(qū)間為.如果冪級數(shù)僅在x=0處收斂，則定義其收斂半徑R=0.定理9.7對于冪級數(shù)，設(shè),并設(shè)若證如果認(rèn)定x為某確定的數(shù)值且，則可以認(rèn)定為數(shù)項(xiàng)級數(shù).因此，由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法知，當(dāng),即時(shí)，絕對收斂，考察其各項(xiàng)絕對值所構(gòu)成的數(shù)項(xiàng)級數(shù)當(dāng),即時(shí),發(fā)散，所以是其收斂半徑.當(dāng)，對于任意的x值，總有，所以冪級數(shù)在內(nèi)絕對收斂.當(dāng)，對于任意的值，總有，所以冪級數(shù)對任何都發(fā)散.它只在x=0處收斂，即收斂半徑為R=0.例1求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.解由于，有可知收斂半徑，收斂區(qū)間為(－R,R)=(－1,1).有必要指出，若收斂半徑為R，當(dāng)|x|>R時(shí)，發(fā)散，當(dāng)時(shí)，可能收斂，可能發(fā)散.當(dāng)x在(－R,R)內(nèi)取值時(shí)，絕對收斂，當(dāng)x=1時(shí)，原級數(shù)化為為調(diào)和級數(shù)，因而發(fā)散.故原冪級數(shù)的收斂域?yàn)閇－1,1).對于例1，R=1，可知，當(dāng)x=－1時(shí)，原級數(shù)為為交錯(cuò)級數(shù)，由萊布尼茨定理知其收斂.例2求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.解由于，因而可知收斂半徑R=0，所給級數(shù)僅在x=0處收斂.例3求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.解由于，因而可知收斂半徑

，收斂區(qū)間為.例4求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.解可設(shè)y=x－1，則原級數(shù)化為.此處可知收斂半徑，收斂區(qū)間為即－1<x－1<1，即0<x<2.例5求級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.解本例中只含x的偶次冪，不含x的奇次冪，我們稱之為缺項(xiàng)情形.對于缺項(xiàng)情形，不能用前述定理.通常的方法考察后項(xiàng)與前項(xiàng)絕對值之比的極限，得當(dāng)即時(shí)，所給級數(shù)絕對收斂，當(dāng)時(shí)，所給級數(shù)發(fā)散.因此所給級數(shù)收斂半徑為R=，收斂區(qū)間為.例6冪級數(shù)的收斂半徑為_________.解與收斂半徑求法一樣由于,可知因此,故所給級數(shù)收斂半徑為1.二、冪級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)6冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)在其收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)為連續(xù)函數(shù).性質(zhì)7冪級數(shù)的收斂半徑為R，則其和函數(shù)S(x)在其收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是可積的，且有逐項(xiàng)積分公式：收斂半徑也是R.性質(zhì)8.8冪級數(shù)的收斂半徑為R，則其和函數(shù)S(x)在其收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是可導(dǎo)的，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式：收斂半徑也是R.(注意上式兩端和式符號∑的下標(biāo)變化!)若與的收斂區(qū)間分別為與，和函數(shù)分別為S(x)與，則有下列性質(zhì)4.性質(zhì)9兩冪級數(shù)與可以逐項(xiàng)相加，即且在區(qū)間(－R,R)內(nèi)收斂，其中例7求的收斂區(qū)間與和函數(shù).解所給級數(shù)的系數(shù)，因而收斂半徑，收斂區(qū)間為(－1,1).由于的收斂區(qū)間為(－1,1)，和函數(shù)為，令所給級數(shù)在收斂區(qū)間(－1,1)內(nèi)的和函數(shù)為S(