高三數(shù)學復習不等式第三節(jié)

高三數(shù)學復習不等式第三節(jié)第一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六三年13考高考指數(shù):★★★1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.第二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對基本不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會太大.第三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六1.基本不等式：(1)基本不等式公式成立的條件是________.(2)等號成立的條件是：當且僅當_____時取等號.(3)其中稱為正數(shù)a,b的___________，稱為正數(shù)a，b的____________.a>0,b>0a=b算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)第四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【即時應(yīng)用】判斷下列不等式是否正確.(請在括號中填寫√或×)(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)

()(2)ab≤(a，b∈R)()(3)≤(a,b∈R)()(4)≥2(a,b均不為零)()第五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【解析】(1)由(a-b)2≥0得a2+b2-2ab≥0，即a2+b2≥2ab，故(1)正確.(2)由(1)可知a2+b2≥2ab，即a2+b2+2ab≥4ab,即(a+b)2≥4ab,即ab≤,故(2)正確.(3)由=≤0,故(3)正確.(4)若a,b異號，如a=-1,b=1,則=-2<2,故(4)錯.答案：(1)√(2)√(3)√(4)×第六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六常用的重要的不等式和基本不等式1．若a∈R，則a2≥________，|a|≥________(當且僅當a＝0時，取“＝”)．2．若a，b∈R，則a2＋b2≥______(當且僅當a＝b時取等號)．3．若a，b∈R＋，則a＋b≥________(當且僅當a＝b時取等號)．4．若a，b∈R＋，則(當且僅當a＝b時取等號)．002ab第七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六第八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六2.利用基本不等式求最值(1)兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b為正實數(shù)，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，等號當且僅當_____時成立.(簡記：和定積最大)(2)兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b為正實數(shù)，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥_____，等號當且僅當_____時成立.(簡記：積定和最小)a=ba=b第九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六基礎(chǔ)自測1．已知正數(shù)a，b滿足ab＝4，那么2a＋3b的最小值為()A．10B．12C．4D．4D第十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六2．(2010年德州模擬)下列結(jié)論中正確的是()B第十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六3．(2010年湛江市一中月考)若x>0，則x＋的最小值為______．解析：∵x>0?x＋

≥2，當且僅當x＝

?x＝時取等號．答案：2第十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【即時應(yīng)用】(1)已知x+3y=2(x,y為正實數(shù))，則xy的最大值為_______.(2)已知x,y>0,且x+2y=1,則的最小值為_______.(3)函數(shù)f(x)=的最大值為_______.(4)已知m>0,n>0且mn≥81，則m+n的最小值為_______.【解析】(1)由2=x+3y≥,得故xy≤，等號當且僅當x=1,y=時取得.(2)由x,y>0，x+2y=1得第十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六≥等號成立的條件是：x=-1.(3)∵x≥0，①當x=0時，f(0)=0；②當x＞0時，f(x)=當且僅當，即x=1時取等號.所以f(x)的最大值為.(4)∵m＞0,n＞0,mn≥81,∴≥9,∴m+n≥2≥18，故m+n的最小值為18.答案：(1)(2)(3)(4)18第十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六利用基本不等式求最值【方法點睛】應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題(1)若直接滿足基本不等式成立的條件，則直接應(yīng)用基本不等式.(2)若不直接滿足基本不等式成立的條件，則需要創(chuàng)造條件對式子進行恒等變形，如構(gòu)造“1”的代換等.(3)若可用基本不等式，但等號不成立，則一般是利用函數(shù)單調(diào)性求解.第十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【提醒】(1)應(yīng)用基本不等式注意不等式成立的條件.(2)若多次應(yīng)用基本不等式要注意等號需同時成立.第十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【例1】(1)若x>-3，則的最小值為________.(2)已知a，b為正實數(shù)且a+b=1，則的最小值為_____.【解題指南】(1)將原式等價變形構(gòu)造出應(yīng)用基本不等式形式可解.(2)將與中的1用a+b代換整理后利用基本不等式可求.第十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【規(guī)范解答】(1)由x>-3得x+3>0,又x+=x+3+-3≥-3，等號成立的條件是x+3=,即x=-3.(2)∵a>0,b>0,a+b=1,∴,同理∴≥5+4=9,等號成立的條件為答案：(1)(2)9第十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【互動探究】若將本例(1)中x>-3去掉，而求的取值范圍又將如何求解？【解析】分情況討論，由題意得x≠-3,(1)當x>-3時，由例題可知≥.(2)當x<-3時，x+3<0，故-(x+3)>0,=-［-(x+3)+］-3≤-2-3，第十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六等號成立的條件是x故的取值范圍是(-∞,］∪［,+∞).第二十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【反思·感悟】1.利用基本不等式求最值的關(guān)鍵在于湊“和”與“積”的定值.2.基本不等式求最值，常為有條件最值問題.如本例(2)，其關(guān)鍵是充分利用條件轉(zhuǎn)化為可利用基本不等式求最值，并要注意“一正、二定、三相等”.第二十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【變式備選】若正實數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy,則xy的最小值是____.【解析】xy=2x+y+6≥令xy=t2(t>0),可得t2--6≥0，注意到t＞0，解得t≥,故xy的最小值為18.答案：18第二十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六4．(2010年柳州一模)如果正數(shù)a、b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是_______．答案：第二十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六第二十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六第二十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六變式探究1．已知a>0，b>0，且a≠b，則的大小關(guān)系是________．答案：第二十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六設(shè)a>0，b>0，則下列不等式中不成立的是()第二十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六第二十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六第二十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六變式探究A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：a2＋b2≥2ab中參數(shù)的取值不只是僅可以取正數(shù)．均值不等式≥才需應(yīng)滿足a>0，b>0.答案：A第三十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六變式探究3．若實數(shù)a、b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是()第三十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六1．在應(yīng)用均值定理求最值時，要把握定理成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤.第三十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六第三十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六3．利用均值不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針．常用的方法為：拆、湊、平方．第三十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六第三十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六A．8B．4C．1第三十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六基本不等式的實際應(yīng)用【方法點睛】基本不等式實際應(yīng)用題的特點(1)問題的背景是人們關(guān)心的社會熱點問題，如“物價、銷售、稅收、原材料”等，題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解.(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.第三十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【例2】某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計.(1)試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價.第三十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【解題指南】(1)由題意設(shè)出未知量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式，變形轉(zhuǎn)化利用基本不等式求得最值，得出結(jié)論；(2)先由限制條件確定自變量的范圍，然后判斷(1)中函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求最值，得出結(jié)論.【規(guī)范解答】(1)設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為米.則總造價f(x)=400×()+248×2x+80×162第三十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六=1296x++12960=1296()+12960≥1296×+12960=38880(元)，當且僅當x=(x>0),即x=10時取等號.∴當長為16.2米，寬為10米時總造價最低，最低總造價為38880元.第四十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六(2)由限制條件知∴10≤x≤16.設(shè)g(x)=x+(10≤x≤16),由函數(shù)性質(zhì)易知g(x)在［10，16］上是增函數(shù)，∴當x=10時(此時=16),g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×(10+)+12960=38882(元).∴當長為16米，寬為10米時，總造價最低，為38882元.第四十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【反思·感悟】1.應(yīng)用基本不等式解實際應(yīng)用題時定義域是關(guān)鍵，因而在實際解題時要密切注意定義域的取值范圍，它可直接決定最值能否取到.2.本例(2)中由于條件限制應(yīng)用基本不等式結(jié)果不成立，從而轉(zhuǎn)化為應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解，這也是此部分內(nèi)容的常規(guī)解法.第四十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【變式訓練】某種汽車，購車費用為10萬元，每年的保險費、養(yǎng)路費、汽油費約為0.9萬元，年維修費第一年是0.2萬元，以后逐年遞增0.2萬元.這種汽車使用多少年時，它的年平均費用最少？【解析】由于“年維修費第一年是0.2萬元，以后逐年遞增0.2萬元”，可知汽車每年維修費構(gòu)成以0.2萬元為首項，0.2萬元為公差的等差數(shù)列，因此，汽車使用x年時總的維修費用為萬元.第四十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六設(shè)汽車的年平均費用為y萬元，則有y==1+≥=3,當且僅當，即x=10時，y取得最小值.答：汽車使用10年時，它的年平均費用最少.第四十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六基本不等式與其他知識的綜合應(yīng)用【方法點睛】基本不等式應(yīng)用的廣泛性以函數(shù)、方程、立體幾何、解析幾何、數(shù)列等知識為載體提供條件而后轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值，是本部分中常見題型，且在高考中也時常出現(xiàn)，其解題的關(guān)鍵是正確利用條件轉(zhuǎn)換成能利用基本不等式求解的形式，同時要注意范圍的變化影響.第四十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【例3】(1)(2012·揭陽模擬)已知函數(shù)f(x)=log2x(x>0)的反函數(shù)為g(x),且有g(shù)(a)g(b)=8，若a>0,b>0，則的最小值為________.(2)已知函數(shù)f(x)=log2［k(x+4)+2］+1恒過一定點P，且點P在直線=2(a,b∈R+)上，則3a+2b的最小值為________.【解題指南】(1)求出a+b后，再利用基本不等式可求.(2)求得P點坐標代入直線方程，再用“1”的代換轉(zhuǎn)化為基本不等式求解.第四十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【規(guī)范解答】(1)g(x)=2x,∵g(a)·g(b)=8,∴2a·2b=2a+b=8=23,∴a+b=3,a>0,b>0,∴==3(當且僅當時取“=”).答案:3第四十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六(2)由函數(shù)f(x)=log2［k(x+4)+2］+1可知，當x=-4時，f(x)=2,即P點坐標為(-4，2)，又P在直線=2(a,b∈R+)上，故=2，即=1,∴3a+2b=(3a+2b)()=8+≥等號當且僅當3a2=4b2，即a=b=+1時取得.答案：8+4第四十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【互動探究】若本例(2)中函數(shù)改為f(x)=2k(x+1)+1,其余條件不變，又將如何求解?【解析】由f(x)=2k(x+1)+1可知圖象恒過定點P(-1，2)，依題意，P在直線上，故即=1,∴3a+2b=(3a+2b)()=等號當且僅當a=+1時取得.所以3a+2b的最小值為第四十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【反思·感悟】解決與其他章節(jié)知識綜合的基本不等式題目，其難點在于如何從已知條件中尋找基本關(guān)系，本例(1)中其關(guān)鍵是求出a,b的關(guān)系，再利用基本不等式求解，而對本例(2)中其關(guān)鍵點是確定圖象過的定點，確定了這一定點后問題便會迎刃而解.第五十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【變式備選】設(shè)x,y滿足約束條件若目標函數(shù)z=abx+y(a＞0,b＞0)的最大值為8，則a+b的最小值為______.【解析】已知x,y滿足約束條件其可行域是一個四邊形，四個頂點是(0,0)，(0，2)，(，0)，(1，4)，易見目標函數(shù)z=abx+y(a＞0,b＞0)在(1，4)取最大值8，所以8=ab+4，即ab=4，∴a+b≥2=4,第五十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六當且僅當a=b=2時，等號成立.所以a+b的最小值為4.答案：4第五十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六1．(2010年成都新都一中測試)若a>0，b>0且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是()D

2．(2010年廣東實驗中學月考)若直線2ax－by＋2＝0(a>b>0)，始終平分圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周長，則的最小值是______________．4第五十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【易錯誤區(qū)】忽視題目的基本含義導致誤解【典例】(2011·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)f(x)=的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是________.【解題指南】由題目已知條件可知兩交點必關(guān)于原點對稱，從而設(shè)出交點代入兩點間距離公式，整理后應(yīng)用基本不等式可解.第五十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【規(guī)范解答】由題意可知f(x)=的圖象關(guān)于原點對稱，而與過原點的直線相交，則兩交點必關(guān)于原點對稱，故可設(shè)兩交點分別為P(x,)與Q(-x,-)，由兩點間距離公式可得|PQ|=≥4等號當且僅當x2=2時取得.答案：4第五十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：誤區(qū)警示在解答本題時主要有兩點誤區(qū)：(1)對于題目自身的含義理解不透，無法掌握交點關(guān)系，造成不會解.(2)有些同學設(shè)出直線方程與之聯(lián)立得出兩交點關(guān)系，再應(yīng)用兩點間距離公式求解時出現(xiàn)運算繁瑣情況，導致錯解.第五十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六備考建議解決此類問題時還有以下幾點在備考時要高度關(guān)注(1)理解函數(shù)的圖象性質(zhì)，明確其表達的含義.(2)熟記要掌握的公式，如本例中的兩點間距離公式.(3)思考要周密，運算要準確、快速.另外，由于此類題目往往以小題形式出現(xiàn)，因而能用簡便方法的盡量使用簡便方法.第五十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六1.(2011·重慶高考)已知a>0,b>0,a+b=2,則y=的最小值是()(A)(B)4(C)(D)5【解析】選C.由a+b=2,得=1,∴(等號當且僅當b=2a時取得).第五十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六2.(2011·陜西高考)設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是()(A)a<b<(B)a<<b(C)a<(D)<b【解析】選B.方法一,已知a<b和比較a與，因為a2-=a(a-b)<0,所以a<，同理由b2-=b(b-a)>0得<b;作差法：b->0，所以<b,綜上可得a<<b;故選B.第五十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六方法二,本題還可用特值法求解.取a=2,b=8,則=4,=5，故a<<b，故選B.第六十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期六3.(2011·北京高考)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()(A)60件(B)80件