2023新高考二輪復(fù)習(xí)14導(dǎo)數(shù)解答題之函數(shù)型數(shù)列不等式問題（原卷版）

微專題14導(dǎo)數(shù)解答題之函數(shù)型數(shù)列不等式問題

【秒殺總結(jié)】

1、分析通項(xiàng)法：由于左邊是一個(gè)求和(積)形式的表達(dá)式，右邊是一個(gè)簡單的式子，為

了使得兩者能夠明顯地顯現(xiàn)出大小特征，有必要將兩者統(tǒng)一成同一種形式，此處有兩條路可

走，一種是將左邊的和式收攏，一種是將右邊的式子分解.很明顯，左邊是無法收找的，因

此需要將右邊進(jìn)行拆分，而拆分的原則就是和左邊配對(duì).假設(shè)右邊/5)=々+4+…這

樣一來，相當(dāng)于已知一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)之和，求“，利用數(shù)列的知識(shí)可知

bn=/(")-/("-1)("22,〃eN,).所以，接下來只需要證明a?<bn即可.

2、幾種常見的數(shù)列放縮方法：

1111/C\

(1)F<7------r—=-----------(n>2)；

/r-l)/in-lnv

1111

(2)—>---------―----------

n1+nn4-1

11

(3)二=-=2

n4n24/-12n-\2/2+1

11111/C\

(4)?—<——<------7=----------(r>2)；

nrr\-1)r-1rV

1

(5)1+-<1+1+—+—+???+<3；

n1x22x3(〃-

122

(6)=2(-力-1+4)(72>2)；

4nyJn-1+y/n

122

(7)2(1)；

Gy/n+五+\Jn4-1

1222V2

=y/2,(-J2〃-1+y/2.n+1).

(8)y/ny/n+y/n+J~+|y12n-1+yjln4-1

Tr2”11

(9)

2n-]-12〃-1

(/?>2);

(10)—j=y=-/

Wyjn-n2+(〃+l)+1-yJn-\

1Yn+1+J〃一1

n—2G

2(WrWr)g2)；

1222

(")J”？+>]nn2-1+(〃-1)yfn-(&+y/n-T)

=-2(V^T-y；)22(w￡2)；

-1)/2y/n-\yjn

111222

(19)------------=-----------------------<------------------------------------=------------------=-------------------,

2〃-1(1+1)〃-1C：+C：+C；—l〃(〃+1)〃〃+1'

12”“11

⑴)2〃_]<(2-'-1)(2"-1)-2，i—]-2"—[(〃22).

3、根據(jù)不等式的信息，利用題目的結(jié)論，得出不等式，然后對(duì)變量取合適的數(shù)據(jù)，再

用數(shù)列求和法而得解.

【典型例題】

例1.(2023?山東濟(jì)南?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(x)=Hnx-x+L

X

⑴若Vx以J(x)@恒成立，求。的取值范圍：

.1IIn

(2)證明：對(duì)任意J*5*廣丁不而>〃+1：

(3)討論函數(shù)〃x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=sinx-x+!x3.

6

(1)證明：對(duì)心€[0,內(nèi)),/(%)40恒成立;

1|13

(2)是否存在〃eN.，使得M2<sinK+sinR+…+sinK^<]成立？請(qǐng)說明理由.

例3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=l+皿

xx2

(1)當(dāng)x+lnx>0時(shí)，求證：/(x)<0；

(2)求證:++

+…+---+—>In—(7?GN*).

〃+22n-\4/72、7

例4.(2023?廣東廣州?高三廣州市第七中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=sinx-x+加.

(1)當(dāng)xNO時(shí)，/(x)>0,求。的取值范圍；

1113

(2)是否存在〃GN”,UIn2<sin——+sin——+???+sin—<-?說明理由.

1x32x4n(n4-2)4

例5.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x+l)ln(x+1)-〃.

⑴當(dāng)x40時(shí)，f(x)>0,求4的最大值；

(2)設(shè)“eN”，證明：1一二+:一二_|--------7--<lr>2.

2342n-12n

例7.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=ln(x+l)-含(aeR).

(1)若/(x)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

例8.(2023?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/G)=ln(x+I)-qp

(1)證明：x>0時(shí)，f(x)>0；

(2)證明：-+-+???+—!—<In7?+1.

352n+l

【過關(guān)測(cè)試】

1.(2023?浙江?永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知4為正實(shí)數(shù)，函數(shù)

、,、Y2,\

/、(％)=ln(Zr+1)—Zr+](x>0).

⑴若/(x)>0恒成立，求義的取值范圍；

(2)求證：21n(〃++)(i=l,2,3,...).

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x)=(x+2)ln(x+2)-Y+(a-3)x-2+2q.

(1)若/(x)40恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

(2)若4,b/k=1,2…”)均為正數(shù)，4自+貼2+…+。也44…證明：...a^<\

3.(2023?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=lnx-ax-2/+3(aeR).

⑴若a=3,求〃x)的極值；

(2)若/(x)40在(0,+e)上恒成立，求。的取值范圍；

(3)證明：(1+；“+*)(1+：卜(14卜"〃eN)

4.(2023?湖南長沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=f-ax-a21nx.(aeR)

(1)當(dāng)a=2時(shí)，討論函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性：

⑵曲線N=/(x)與直線夕=%交于力(士,必)，8(與力)兩點(diǎn)，求證：

(3)證明：-4--+---+—!—<—ln??(77>2,77eN*).

352〃-12')

5.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'-QX-〃(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),

g(x)=x2-Inx.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵若對(duì)任意的x>0都有不等式切(力+的(力>1成立，求實(shí)數(shù)a的值.

(3)設(shè)n6N'證明:

6.(2023?廣東?高三統(tǒng)考期末)己知函數(shù)〃x)=e"-ar,g(x)=ln(x+2)-a,其中e為自然對(duì)

數(shù)的底數(shù)，aeR.

⑴當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(X)有極小值/⑴，求a；

⑵證明：/”)>g(x)恒成立；

(3)證明：ln2+(lng)+(lng)+…+[n"l)<—.

7.(2023?廣西梧州?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=xlnx-x+1.

(1)求函數(shù)/(x)的最小值；

(2)證明：In-^2+InV3H---FIn/痂>——(neN,,?>2),

2H+r'

8.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)8⑴=-e"+1.

(1)證明:當(dāng)x>0時(shí)，g(x)<0;

〃1

(2)設(shè)〃wN*,證明：4m7+1)>皿〃+1)-

9.(2023春?山東濟(jì)寧?高三校考開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)="lnx+；x2-x.

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若我0,證明：…

10.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)，(x)=e"-x(a>!).

(l)xe(0,l),求證：sinx<x<In—!—；

1-X

(2)證明：sin^-4-sin：+???+sin-<.(In2a0.693,In3?1.099)

23n

2

11.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+——.

x+1

⑴試比較/(X)與1的大小;

(2)求證：ln(〃+l)>；+g+…+2](“WN)

12.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=99則(x>0).

⑴試判斷函數(shù)/(X)在(0，+8)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論;

k

⑵若/3>備對(duì)于Vxe(O,+8)恒成立，求正整數(shù)人的最大值；

(3)求證：(1+1X2)(1+2X3)(1+3X4)…+*>en-\

13.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xlnx,8⑺二小丁

⑴若/(x)<g(x)在(1,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)求證：1+廠*“廠2.不…1+,"］；?〈二.

(〃+1)J|_(〃+1)J(W+1)

14.(2023?全國,圖三專題練習(xí))已知/(x)=(x+l)ln(x+l).

⑴求函數(shù)/(力的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=2x-后〃x),若關(guān)于x的方程g(x)=a有解，求實(shí)數(shù)。的最小值:

(3)證明不等式：ln(M+l)<1+-+-+???+-(?e^V*).

23nv7

15.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知二次函數(shù)y=/(x)圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為

r(x)=6x-2,數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為邑，點(diǎn)(〃母,)(〃GN*)均在函數(shù)y=/(x)的圖象上;

又4=1，c,,=g(a“+2),且々+24+224+…2"-26,1+2"-也=。,，對(duì)任意?都成立.

⑴求數(shù)列｛”“｝,｛，｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛c??5｝的前”項(xiàng)和T?-

⑶求證：

①ln(x+l)<〉0)；

Ini2n2-n-\

②匕<^rnG>2).

16.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Inex""+asinx,a>0.

（1）若x=0恰為〃x）的極小值點(diǎn).

①證明：-<a<l:

2

②求“X）在區(qū)間（F/）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：

⑵若率=（嚀）（1+挑一演1高卜卜又由

x246(-1)"鐘

泰勒級(jí)數(shù)知：COSX=1-----+----------4--??+---—+-(〃￡川)，證明:

2!4!6!(2H)!')

1111萬2

F+中+鏟+…+/+…=不

17.（2023春,湖北鄂州?高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=xlnx+l-分（awK）.

（1）討論八幻的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（2）正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足q,%=1114a+1（〃wN*）,求證：…+1.

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