八年級秋季班-第5講一般一元二次方程的解法及韋達定理學案-教師版

一般一元二次方程的解法及韋達定理

內容分析

利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年級數學上學期第十七章第

二節(jié)內容，主要對一般的一元二次方程不能運用直接開平方或者是因式分解進行

求解的時候，采取的兩種方法，重點是對一元二次方程這兩種解法的原理和過程

的理解，難點是配方法和因式分解在解一元二次方程中的靈活應用.經過本節(jié)課

學習，我們已經將解方程的常用方法講解完畢，注意靈活運用和綜合提高，在計

算的準確度上和選擇合適的方法解題上多下功夫.

知識結構

模塊一：一般一元二次方程的解法

知識精講

1、配方法的步驟

①先把二次項系數化為1：即方程左右兩邊同時除以二次項系數;

②移項：把常數項移到方程右邊；

③配方：方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把原方程化成（》+機）2="的形式；

④當“20時，用直接開平方的方法解變形后的方程.

2、求根公式法的一般步驟

①把一元二次方程化成一般形式or?+云+。=0（QWO）；

②確定4、b、C的值；

③求出從一4或，的值（或代數式）；

若b1-4ac>0,則把a、b、c及b2-4ac的值代入求根公式x="土”——包^,求出不、

2a

x2；若從一4ac<0,則方程無解.

例題解析

【例1】填空:

(1)X2--1X4-)2；

2

(2))2；

2b

(3)X—X+了；

a

.+與=(2x-

(4)4x2-了.

a

【難度】★

1121b1b4bb

一，—:—x,-；—-,一；—X,

164554a22aa

通過公式/±2ab+b2=(a±8)2進行解答.

【總結】本題考查通過公式/±2浦+〃=（〃±32進行配方.

【例2】如果/+方+4是一個完全平方式，那么。的值可以是（）

A.2B.-2C.2或一2D.都不對

【難度】★

D

通過公式。2±2必+/=（〃±6）2進行解答，根據完全平方有和的平方，差的平方兩種，所以

有兩種情況，并且中間一項是積的2倍.

【總結】本題考查通過公式。2±2必+〃=（a±b）2進行配方，要考慮兩種情形.

【例3】若“<0且x=2時;等式％2—如+%之一7=0成立，則初值為.

【難度】★

-1.

當x=2時，可得加2—2加一3=0,得叫=3,餌=一1,因為加<0,則相=一1.

【總結】本題考查一元二次方程的解及其應用.

【例4】如果一元二次方程有一個根為1,那么這個方程可以是.

【難度】★

￡—4x+3=0等.

一元二次方程根為1,則必有/+bx+c=0（a。0）中，a+b+c=0.

【總結】一元二次方程/+bx+c=O（〃。0）中，當a+b+c=O時;x=l；當a-b+c=O時,

x=-l；當c=0時,x=0.

【例5】解下列方程(配方法)：

(1)X2+3X-4=0；(2)0.04x2+0.4x4-1=0；

(3)2x2+4tnx4-zn2=0；(4)ax2+bx+c=0(a0).

【難度】★

72-2-72-2

(1)xt=-4,X2=1；(2)=x2=-5；(3)X]=——--m,x2=-------m；

(4)略.

(1)對原方程配方，得：fx+-Y=—,則元+3=±?,得x=l或x:=-4,

[2)422

所以原方程的根為：%,=1,x2=-4:

（2）對原方程配方，得：（X+5）2=0,得X=-5,所以原方程的根為：X,=X2=-5

（3）對原方程配方，得：（X+a）2=/，則%+川=土孝機，

所以原方程的根為：石=匹二2m，

22

（4）由0^+"+。=。（awO）,Wx2+—x+—=0,配方得：x1+—X++,

aaa4aa4a

日口/b2b2-4ac

即(X+丁—、

2a4a2

-b±\lb^-4ac

①當從一4公>0時，解得:x--------------

②當片一4ac=0時，解得：X——；

2a

③當從一4acv0時，解得：x無實根.

綜上，①當〃一4m>0時，解得：x、=-b+"4ac,為=土亞三

2a2a

②當。2-4ac=0時，解得：％=x,=—~—；

2a

③當片-4〃c<0時，解得：x無實根.

【總結】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根.

【例6】解下列方程(求根公式法)：

(1)X2=2(X-1)；(2)0.2^-0.1%=1；

(3)X2+2(V3+1)X+2^=0；(4)x2-2/zir+m2-T?2=0.

【難度】★

(1)原方程無解；(2)芭=2.5,=-2；(3)X、=1-拒,x2=—3—^3；

(4)演=m+九,x2=m—n.

21

(1)x—2x+2=0,a=l,b=—2fc=2,得：b—4ac=-4<0,所以方程無解;

(2)0.2X2-0.1X-1=0,a=0.2,b=-0.1,c=-l,得：Z?2-4^zc=0.81,

則*=笥段亙磬’所以原方程的根可=2.5,X2=-2；

(3)〃=1,〃=+c=26,得。2—4。。=16,得：x=22-,

所以原方程的根％=1-6,9=-3-6；

(4)。=1,b=-2m,C-ITT-rr,得A2-4QC=4〃2,得：x=2m-""，

2

所以原方程的根X=6+%x2=m-n.

【總結】本題主要考查用求根公式法求解一元二次方程的根.

【例7】解下列關于x的方程(用適當的方法)：

(1)mx2-nx-p=0(m0)；(2)(x-5)(x-3)+x(x+6)=145.

【難度】★★

小吆力1+3例1-3屈

(1)IHft;(2)X.=-------,X.=-------?

1222

(1)a~m,b=-n,c=-p,得：b2-4ac=n24-4nip,

①當〃2+4,中20時，解得：x="土折+4絲;

2m

②當〃2+4”?<0時，解得：疣實根.

綜上，①當〃2+4,中士0時，解得：安竺業(yè)…,&=巴?三殛

2m2m

②當〃2+4〃w<0時，解得：兀無實根.

(2)x2—x—65=0,a=1,&=-1,c=—65,得：b1—4tzc=261,

所以原方程的根為%,」+產,毛=1一產.

【總結】本題主要考查用求根公式法求解一元二次方程的根.

【例8】用指定的方法解下列方程：

(1)X2-12X=3(配方法)；(2)3(2x—lf=75(開平方)；

(3)(1-V2)x2=(1+V2)x(因式分解)；(4)3x2+12x+7=0(公式法).

【難度】★★

(1)在=6+屈，芻=6—屈；(2)玉=3,々=-2；(3)%,=0,演=-2虎-3；

/d、—6+A/TS—6—>/\5

(4)x,=-------,x2=--------.

(1)對原方程配方，得：(工-6)2=39,所以x-6=土國，

所以原方程的解為：Xj=64-V39>^2=6-\/39；

(2)開平方，得：2x-l=±5,所以原方程的解為：玉=3,=-2；

(3)(1-V2)X2-(1+>/2)X=0,+=

所以原方程的解為：為=0,x,=-272-3；

22M

(4)Va=3,b=U,c=7,：.b-4ac=60,：.X=-^-6±后

2x33

所以原方程的根為王=色色，%=一6一八

【總結】本題主要考查用適當方法求解一元二次方程的根.

【例9】已知：，+2犬+1）°=爐-2》-2,求x的值.

【難度】★★

x=3

由題知x2+2x+lm0得xw—1,由X之一2%一2=1得玉=3,/=—1，所以x=3.

【總結】本題主要考查且考查求解一元二次方程的根.

【例10】x為何值時，代數式1°X：21X+9的值等于零.

X+1

【難度】★★

33

石=展w=b

由題知10/-2民+9=0,得（2x-3）（5x-3）=0,得：A,=|,-?2=j-

【總結】本題主要考查分式為零且考查求解一元二次方程的根.

【例11】閱讀下面的例題：解方程/_|劃_2=0

解：當xNO時，原方程化為f—x—2=0,解得：x,=2,々=—1（舍）

當x<0時，原方程化為X2+x—2=0,解得：4=—2,々=1（舍）

原方程的根是X]=2,占=-2

請參照例題解方程X2-|A--1|-1=0.

【難度】★★

X[=1,九2=-2?

當x-120,即xNl時，原方程化為/一》=0,解得：%=0(舍)，%=1；

當X—1<0,即x<l時，原方程化為產+工一2=0,解得：％=-2,超=1(舍)；

所以原方程的根為蜀=1,々=-2.

【總結】本題考查絕對值方程及一元二次方程的解法.

【例12]解下列關于x的方程方程：

(1)fcc2+2(jt-2)x+(jl-3)=0；

(2)(x-5)(x+3)+(x-2)(x+4)=49；

(3)2x2+(3a-h)x-2a2+3ah-h2=0.

【難度】★★

(1)略；(2)%)=6,電=—6；(3)x,=h—2a,&.

a

(1)①當左=0時，原方程化為：-4x—3=0,解得："=一[；

②當ZwO時.，方程是一元二次方程，

a=k,b=2(2),c=k-3,得：從一4改二-44+16,

廿，，,八口n,一2("2)±J&+16—(k—2)±y/-k+4

1若-44+16>0,即Zv4EI寸，x=—-------------=-^------------,

2kk

2若，TZ+16=0即R=4時，x==-^―—―,

-k

3若-Ak+16<0,即々>4時，實木艮.

綜上，①當左=0時，x=—；

4

②當后M0時，若&<4時，3=土生正記，&=一任一2)一千匚

kk

若攵=4時，%=x="+2；

12k

若%>4時，攻5實根.

(2)原方程化為一■般式，得：2f—72=0,所以x=±6,故菁=6,x2=-6；

(3)原方程可化為[x+(2a-%)][2x-(a-b)]=0,得：Xl=b-2a,x2=^-.

【總結】本題考查一元二次方程的解法，注意對含字母系數的方程的分類討論.

22

【例13】已知：=2x-3x4-1,y2=4x+4x+7,求尤為何值時，=y2.

【難度】★★

由％=%，得：2.r-3x+l=4x2+4x+7,整理得：29+7尤+6=0,

分解因式，得：（x+2）（2x+3）=0,所以芭x2=-2.

【總結】本題考查一元二次方程的解法.

【例⑷解關于X的一元二次方程X——）,其中“是滿足不等式;X的

整數.

【難度】★★

X）=-4,x2=1.

,f3/w+1>03]3E_I_十i

由5，得—</%<—，又由于x-4=x{tnx—3）9

[3-2m>032

整理得：（1-m）/+3尤-4=0,它是一元二次方程，得利wl,又用是整數，所以〃2=0,

即一元二次方程為d+Sx-dnO,解得演=-4,x2=l.

【總結】本題考查一元二次方程及不等式組的解法及其應用.

【例15］求關于x的方程：5》2+59+8盯+2丫-2犬+2=0的實數解.

【難度】★★★

X=1.

由5x2+5y2+8盯+2y-2x+2=0,得(2x+2y『+(x-l)2+(y+l)2=0,得：x=\.

【總結】本題考查一元二次方程的解法及用配方法解方程.

【例16】已知〃+/?—ci—1—4,Z?—2=3A/C-3—c—5,求4+/?+c的值.

2

【難度】★★★

20.

由a+Z?-2Ja—1—4\/b-2=3,c—3—c—5,

2

得：(ja-1—+(Jb-2-2)~+5(Jc-3-3y=0,

7^-1-1=0\a-2

所以＜耳-2-2=0,解得：＜b=6,所以a+Z?+c=20.

Vc^3-3=0L=12

【總結】本題考查一元二次方程的解法及用配方法解方程.

【例17】已知a,b,c是有理數，試證明關于x的方程：

x2-2ax+a2-b2一＜?+?c=O的根也是有理數.

【難度】★★★

略.

由x2-lax+a1-b2-c2+2bc=0,可得：(工一〃)？一0-c)2=0,

所以％=a+b-c,x2=a-h+c,由于a,h,c是有理數，

所以。+。一&a—〃+c也是有理數，所以即證.

【總結】本題考查一元二次方程的解法的應用.

【例18]已知關于無的方程：x2-4(/7/-l)x+3m2-2m+4Z:=0,當相取任意有理數

時，方程的根都是有理數，求人的值或者是&的取值范圍.

【難度】★★★

k=--.

4

解：a=l,/?=-4(/w—1),c=3m2-2m+4k,

得△=—4ac=16(/n-l)2-4(36？-2m+4A)=Am2-24m+16—16k,

???當初取任意有理數時，方程的根都是有理數，，從-4這是完全平方式，

.-.16-16k=36,：.k=~-.

4

【總結】本題綜合性較強，主要考查學生對方程的根是有理數的理解.

模塊二：韋達定理

知識精講

韋達定理：如果不，々是一元二次方程or?-法+。=0（4*0）的兩個根，由解方程中的

-b+^b1-4ac-h-\lb2-4ac

公式法得,x.=-------------

2a2a

那么可推得玉+x2=--,=￡這是一元二次方程根與系數的關系.

aa

例題解析

【例19]若方程f-?！?1）》+機=0有解，利用適當的方法解這兩個根，分別是

;若這兩個根互為相反數則m的值是；

若兩個根互為倒數，則m的值是.

【難度】★

xx=m,=1；-1；1.

利用十字相乘法因式分解得到方程的兩根，后依據相反數和倒數的概念得出相應m

的值.

【總結】本題考查一元二次方程的解法.

【例20]如果％,X2是方程2犬2+3》-6=0的兩個根，那么玉+々=

X）-%2=----------------------

【難度】★

3

由韋達定理，可得：%|+七=一；，玉9二一3.

【總結】本題考查韋達定理司+々=-2,占芻=￡的應用.

【例21]若方程：&-9x+8=0的一個根為x=l,則七:另一個根為

【難度】★

1；x=8.

將x=l代入方程，可得：k=l,再由韋達定理可得：不也=8,得另一根為x=8.

【總結】本題考查韋達定理玉+々=-2,%々=￡的應用.

aa

【例22】寫出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是也二色，亙土史.

22

【難度】★★

x2—\[Sx4—=0.

2

由西+馬=在二3+苴上迫=逐=一2,

22a

書=6-6?"+囪△=￡,可得方程為：x2-45x+-=o.

1-222a2

【總結】本題考查韋達定理石+達=-0,%々=￡的應用.

aa

【例23】已知士正、土正是關于X的方程加+8+1=0(〃*0)的兩根，求人的值.

22

【難度】★★

-1.

由韋達定理，得:玉+為=±5+上叵=一2=-1,

22a

x1x2=―-——?―1+亞=-1=￡,而c=l,所以得：a=—i9代入可得：h=—1.

22a

【總結】本題考查韋達定理占+&=-?，占々=￡的應用.

aa

【例24】已知不，%是方程gd-3x-1=0的兩根，求下列各式的值:

(1)—I；(2)XI~~X-,"；(3)x「+x,2；(4)|—x,|.

xx2

【難度】★★

(1)-2；(2)—246或246；(3)42；(4)4G.

解：由韋達定理，得：玉+&=6,XyX2=-3.

(1)原式=士也=-2；

砧

(2)原式=(%+%2)(芭_工2)=6(%_/)=±6^(X^^)2

=±6J*+&)~—4x^2=±6?4>/3=±24A/3；

(3)原式=(石+冗2)~-2中2=42；

(4)原式,]一/|=J(X|一犬2)?=J(芭+%)2_4千2=46.

【總結】本題考查韋達定理％+乂=-2,大為=￡的靈活應用.

aa

【例25]已知一個直角三角形的兩個直角邊的長恰好是方程：2/—"+7=0兩個根，求

這個直角三角形的周長.

【難度】★★

7.

7

解：設直角三角形的三邊長為4,b,c,且。是斜邊長，由題知，a+b=4,ab=—,

2

由勾股定理，可得：c2=a2+b29所以c=Ja?+/=+b)~—2ab=3,

所以直角三角形的周長。+8+c=7.

【總結】本題考查韋達定理內+&=-2,占左=￡的靈活應用，并且考查了直角三角形的性

aa

質，即勾股定理的應用.

【例26】已知方程：幺-4*+4=0的一個根大于3,另一個根小于3,求〃的取值范圍.

【難度】★★★

a<3.

解：設方程的兩根為％,x2,由演>3,々<3,可得：(%,-3)(%2-3)<0,

即MW-3(司+工2)+9<0,而由韋達定理可得芭+々=4,xtx2=a,

所以a-3x4+9<0,即a<3.

【總結】本題考查韋達定理x+x,=-2,占々=￡的靈活應用.

aa

【例27】已知2m2-5加一1=0,+5〃-2=0.3w1,求〃的值.

m

【難度】★★★

-5.

由2/??—5加一1=0,可得：2——-----=0>整理得：-^Y+——2=0>

mnftrrm

又由于1+5〃-2=0,所以可知_1、〃是方程X2+5工一2=0的兩根，

m

由韋達定理，可得：-+n=-5.

m

【總結】本題考查韋達定理％+%=-2,芭&=￡的靈活應用，而且還考查了一元二次方程

aa

的根的靈活應用，要注意觀察.

【例28】已知a,戶是方程：￡—2x—4=0的兩根，求代數式〃+8￡+6的值.

【難度】★★★

30.

由題及韋達定理可得：a~—2a—4=0,tz+夕=2,得：a'=la+4.

a3+8夕+6=a-a2+8/+6=a（2a+4）+8￡+6=2a2+4a+877+6

=2（2a+4）+4a+8￡+6=8（a+0）+14=30.

【總結】本題考查韋達定理為+&=-?，4^=￡的靈活應用，運用了降次等的思想方法.

aa

萌）師生總結

1、韋達定理什么？

<_____________J

【習題1】完成下列填空：

(1)X2—2^2%+

(2)(2y-)2=+1；

(3)3X2++9=3(x+)2.

【難度】★

(1)2,72；(2)1,4/-4y；(3)6后，6

略

【總結】本題考查了完全平方式的應用.

【習題2】完成下列填空：

(1)對于方程3f=2x,用法解比較好，其根為—

(2)對方程(2x-l)2=4,用法解比較好，其根為

(3)對方程2/-3x-6=0,用法解比較好，其根為

【難度】★

71R

(1)因式分解，司=0,Aj=—：(2)直接開平方，x}x2=—；

略

【總結】本題考查了一元二次方程的解法，要靈活運用.

【習題3]己知/+依+4-2=0的兩根互為倒數，則。的值為

【難度】★

3.

由韋達定理得，為迎=1,即a—2=1,得：a=3.

【總結】本題考查了韋達定理的應用.

【習題4】用指定的方法解下列方程：

(1)ax2-bx=0(a*0)(因式分解);

(2)4/—9/+6。-1=0(。為已知數)(直接開平方);

(3)5X2+6X-9=0(配方法)；

(4)3X2-^X-4=0(求根公式).

【難度】★

_b3a—11—3a公、-3+3*>—3—36

(1)芭=(),x,=—；\1)用=---,x2=---；(3)%=-------,x2=-------；

(4)Xy=^2,X-,=--^5/2.

(1)由題知匕)=0,所以原方程的解為：x,=0,2=2；

(2)原方程可變形為：(2x)~=(3a-1)~,得2x=—或2x=3〃—1,

所以原方程的解為：x,=—

12

54」土域,

555⑸2555

所以原方程的解為：工7十大。，

15-5

(4)由題知。=3,力=—\/5,c=—4/2—4QC=50,得：x=-5>/2

6

所以原方程的解為：%*日

【總結】本題考查一元二次方程的解法，要能靈活應用簡便方法解方程.

【習題5】用適當的方法解下列方程:

(1)X2—X=1；(2)2(2%-3『一3(2工-3)=0；

(3)3/-2向+2=0；(4)(3X+5)2-5(3X+5)+4=0.

【難度】★★

(1)X=1+:,xi~~—；(2)與=^,x>；(3)%=x?=；

“、41

(4)玉,巧=一］?

(1)由題矢口々=1,Z?=—l?c=—1?所以△=/??—4ac=5,

所以原方程的解為:

22

（2）由題知（2x-3）[2（2x-3）-3]=0,（2x-3）（4x-9）=0,

所以原方程的解為：演=士%=2；

'2-4

（3）由題知（國丁-2瘋+（應了=0,得：（6x-0『=o,

所以原方程的解為：X=X2=1V6;

3

（4）由題知（3%+5—1）（3%+5—4）=0,得：（3x+4）（3x+l）=0,

所以原方程的解為：x=--,^=--.

t3々3

【總結】本題考查一元二次方程的解法，要能靈活應用簡便方法解方程.

【習題6】解關于x方程：

(1)x2-2ax+a2=1;⑵x2-px+q=0.

【難度】★★

(1)%=。+1,1；(2)略.

2

(1)(x-a)=1,x-a=±l,所以七=。+1,x2=a-1；

(2)由f-px+q=o,配方得:X2-px+

①當p2-4g＞0時，解得：x二P±』；-4q；

②當p2-4g=0時，解得：x,=x2=-y；

③當p2-4夕＜0時，原方程無實數根.

綜上，①當爐-4口＞0時，解得：=P+,j,&=-巧-??；

②當p2-4q=0時■,解得：X、=&=

③當p?-4夕＜0時，原方程無實數根.

【總結】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意對含字母系數的方程的分類討

論.

【習題7]如果9/-6(〃+l)x+"2+5是一個完全平方式，求”的值.

【難度】★★

2.

令9x?-6(〃+l)x+”2+5=0,則a=9,6=-6(〃+1),c=n2+5,

得："4ac=36(〃+Ip-36(/+5)=72〃-144,

因為9/_6(〃+1)工+〃2+5是一個完全平方式，

所以從-4ac=0,BR72n-144=0,所以〃=2.

【總結】本題考查一元二次方程序-4ac=0時，代數式辦2+公+,(。工0)是完全平方式.

【習題8】用配方法說明：不論x為何值，代數式V-5X+7的值總大于0,再求出當x為

何值時，代數式V-5X+7有最小值，最小值是多少？

【難度】★★

略.

J-5x+7=x2-5x+圖+7-(|)=[-|)+(，

對于任意的x,都有所以即(工一^+:>0,

所以d-5x+7的值總大于0；當x=』時，代數式V-5x+7有最小值，且最小值為3.

24

【總結】本題考查用配方法解決一些最大值最小值問題，是后面學習二次函數最大值最小值

的基礎.

【習題9]已知關于x的方程+(2〃2-1)工+3-〃7=0(現為實數)有兩根苦,,其中

%>0,%<0且IR1>1/I，求機的取值范圍.

【難度】★★

11

—<m<\.

2

因為方程有兩根，所以帆-1工0,即加工1；由韋達定理，可得：%+芻=匕也

m—\

3—mrr_1、

芯/=2---因為玉>0,工2<。且1工11>1工2?，所以芯+%2>0，須羽<0，

一m—\

nn1-2Ht「13—tTl1.

即----->0旦----<0，解得：一<相<1.

m—\m—\2

【總結】本題考查韋達定理的應用和一元二次方程的概念以及解不等式的應用.

【習題10］解方程幻幻-3|幻+2=0.

【難度】★★★

由題知：工工0,分兩種情況討論：

(1)當x>0時,原方程轉化為％2一3工+2=0,解得：％=1,%=2,都符合；

(2)當x<0時，原方程轉化為V-3x-2=0,解得玉=三普>0(舍)，工?=上空.

綜上，原方程的根為芯=1,々=2,毛=土乎.

【總結】本題結合一元二次方程和絕對值方程，分類討論解方程.

【習題11］已知關于x的方程(k-l)V-px+%=0有兩個正整數根，求整數k和p的值.

【難度】★★★

k=2,〃=3?

設X、工2是原方程的兩根，因為%、工2是正整數根，所以玉+工2>°，玉工2>0且都

是正整數，由韋達定理，得：氏+々=上，g=工,所以上是正整數,

k-\~k-\k-\

所以《土1=1+」_是正整數，即」一是正整數，所以4=2,

k-\k-\k-\

2

代入原方程可得：x-px+2=0,方程的兩根為七=1,x2=2,所以p=3.

【總結】本題考查韋達定理的靈活應用，結合正整數根，題目較綜合.

【習題12］已知實數且滿足(a+l)2=3-3(a+l),3(6+1)=3-(6+1)2,

求唔+電的值?

【難度】★★★

-23.

因為。、。是方程(x+l)2=3-3(x+l),即/+5*+1=0的兩根，

所以由韋達定理，可得：a+b^-5,ab=\,所以“<0，b<0.

所以4口+a口一遮遮立互而=-("+"一2"而

\a\habyab)abab

代入可得：原式=-23.

【總結】本題考查韋達定理士+%=-2,；(,芻=￡的靈活應用，而且還考查了一元二次方程

aa

的根的靈活應用，要注意觀察，另外化簡二次根式時注意符號的變化.

課后作業(yè)

【作業(yè)1】已知代數式3x2-9x+a是一個完全平方式，則機=

【難度】★

27

T.

因為代數式是一個完全平方式，所以82-4ac=81-12機=0,解得：加=工.

4

【總結】本題考查了完全平方式的知識，可用配方法，也可用根的判別式來解決問題.

【作業(yè)2】以下說法正確的有幾個：

(1)方程丁=0,有兩個根；

(2)方程丁=4x兩邊同除以x,解得方程的解為x=4；

(3)因為一個數的平方不可能是負數，所以方程(x-g)2=-x無解；

(4)對于方程(X-1)2=(X+3)。因為無論x取何值，x-1和x+3都不可能相等，所

以方程無解.

【難度】★

只有(1)正確.

2

(1)X)=x2=0；(2)方程的解為％]=4,x2=0；(3)方程化簡整理，得：X=-^,

雖然此方程無解，但是題目中給出的原因是錯誤的；

(4)原方程可化為x-l=x+3或x-l=-(x+3),所以方程有解.

【總結】本題考查了一元二次方程的解法及根的情況.

【作業(yè)3]如果%,當是方程5f—7犬+5=0的兩根，求下列各式的值:

(1)—+—；(2)X：+々2.

%1^2

【難度】★

71

(1)-；(2).

525

7

由韋達定理得X1+z=g，XyX2=1.

(I)原式=彳年=](2)原式=a+xj-2x^=-會.

【總結】本題考查了韋達定理的應用.

【作業(yè)4】用適當的方法解下列方程:

(I)X2=49；(2)3X2-21X=0；

(3)2X2-3X-5=0；(4)(X-4)2=5(X-4)；

(5)3X2-4X-2=0；(6)(y-l)2+5(y-l)+4=0.

【難度】★

(1)X1=7,x,=—7；(2)占=7,x,=0；(3)x,=—I,x2=-^；(4)占=4,x2=9；

2+Vio2-Viogn2

(5)%=——-——,x2=；(6)y=0，y2=-3.

(1)直接開平方，得：x,=7,X2=-7;

(2)由題知x(3x-21)=0,得：玉=7,x2=0；

(3)由題知(x+l)(2x-5)=0,得：士=一1,々=|;

(4)由題知(x—4)(工一9)=0,得：%!=4,x2=9；

(5)由題知a=3,b=-4,c=-2,貝iJb2-4ac=40,得：入2+而,2—何；

1323

(6)由題知y(y+3)=0,得:y=0,y2=-3.

【總結】本題考查一元二次方程的解法，要能靈活應用簡便方法解方程.

【作業(yè)5】用適當的方法解下列方程:

(1)4(X-2)2-(3X-1)2=0；

(2)(3X-1)2-3(3X-1)+2=0；

(3)辰2-缶-2#=o；

(4)12X2-20X-525=0.

【難度】★★

(1)%,=1,x,=-3；(2)X1=g，々=1；(3)X,=A/3,々=一：百；

（1）因式分解得：［2（x-2）+（3x-l）］［2（x-2）-（3x-l）］=0,即（5x-5）（-x-3）=0,

所以原方程的解為：x,=l,X2=-3；

（2）由題知（3x-2）（3x—3）=0,所以原方程的解為：%,=-,赴=1；

（3）由題知a="，b=-五,c=-2V6,貝1」從-4a。=50,得1=拒士沙,

2V6

所以原方程的解為：占=6，々=一|百；

15%

（4）由題知（2