51-2-3不定積分的概念與性質(zhì)

高等數(shù)學(xué)周學(xué)時(shí)：3學(xué)期：21.分析根底:函數(shù),極限,連續(xù)

2.微積分學(xué):一元微積分3.無(wú)窮級(jí)數(shù)4.常微分方程主要內(nèi)容多元微積分第一章函數(shù)

第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)〔一〕主要內(nèi)容第五章不定積分

第六章定積分第七章無(wú)窮級(jí)數(shù)第八章多元函數(shù)高等數(shù)學(xué)〔二〕主要內(nèi)容第九章微分方程與差分方程簡(jiǎn)介高等數(shù)學(xué)（二）

第五章不定積分微分法:積分法:互逆運(yùn)算常數(shù)和根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P125)2.有限次四那么運(yùn)算的求導(dǎo)法那么(C為常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)微分從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商二、根本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第一、二、三節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)第五章定義1.假設(shè)在區(qū)間I上定義的兩個(gè)函數(shù)F(x)及f(x)滿(mǎn)足在區(qū)間

I

上的一個(gè)原函數(shù).那么稱(chēng)F(x)為f(x)一、原函數(shù)與不定積分的概念例1.在以下括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:問(wèn)題:1.在什么條件下,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在?2.假設(shè)原函數(shù)存在,它如何表示?

定理1.

存在原函數(shù).(P206，下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)定理2.原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).證:1)又知故即屬于函數(shù)族即P205定義5.2.在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱(chēng)為上的不定積分,其中—積分號(hào);—被積函數(shù);—被積表達(dá)式.—積分變量;(P205)假設(shè)那么(C為任意常數(shù))C稱(chēng)為積分常數(shù)不可丟!例如,記作不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱(chēng)為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線.

例2.設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),

且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過(guò)點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線為二、根本積分表(P208)利用逆向思維(k為常數(shù))或或例3.求解:原式=例4.求解:原式=三、不定積分的根本性質(zhì)性質(zhì)1不定積分的導(dǎo)數(shù)〔或微分〕等于被積函數(shù)〔或被積表達(dá)式〕；一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔或微分〕的不定積分與這個(gè)函數(shù)相差一個(gè)任意常數(shù).P207性質(zhì)2推論:假設(shè)那么P207-208例5解例6.求解:原式=例7.求解:原式=例8.求解:原式=例9.求解:原式=加一項(xiàng)、減一項(xiàng)例10解想想它是誰(shuí)的導(dǎo)數(shù)？利用平方差公式怎么做？?jī)?nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?根本積分表(見(jiàn)P208)2.直接積分法:利用恒等變形,及根本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)思考與練習(xí)1.假設(shè)提示:2.假設(shè)是的原函數(shù),那么提示:3.假設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為那么的一個(gè)原函數(shù)是().提示:求即B??或由題意其原函數(shù)為4.求以下積分:提示:5.求A,B