二重積分的計(jì)算方法PPT_第1頁(yè)
二重積分的計(jì)算方法PPT_第2頁(yè)
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關(guān)于二重積分的計(jì)算方法PPT第1頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三2

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D,故二重積分可寫為D則面積元素為一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分第2頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三3(2)如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間上連續(xù).[X-型]第3頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三4回憶:平行截面面積為已知的立體的體積立體體積此方法關(guān)鍵是求第4頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三5計(jì)算截面面積(紅色部分即A(x0))*以D為底,以曲面為頂?shù)那斨w的體積.應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法.用二重積分的幾何意義說(shuō)明其計(jì)算法:是區(qū)間為曲邊的曲邊梯形.為底,曲線第5頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三6A(x0)先對(duì)y后對(duì)x的二次積分(累次積分)第6頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三7(2)

積分區(qū)域?yàn)椋合葘?duì)x后對(duì)y的二次積分也即其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).[Y-型]第7頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三81.當(dāng)D既不是X-型區(qū)域也不是Y-型區(qū)域時(shí),將D分成幾部分,使每部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域.注意:2.當(dāng)D既是X-型區(qū)域也是Y-型區(qū)域時(shí),可以用兩個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算.ⅠⅡⅢyx0yx0cdabD第8頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三9特殊地即等于兩個(gè)定積分的乘積.D為矩形域:則則a≤x≤b,c≤y≤d第9頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三10二重積分是化為兩次定積分來(lái)計(jì)算的,關(guān)鍵是確定積分限.定限要注意的問(wèn)題:1.上限>下限.2.內(nèi)層積分的上,下限應(yīng)為外層積分變量的函數(shù).3.外層積分上,下限應(yīng)為常數(shù)(后積先定限).4.二重積分的結(jié)果應(yīng)為常數(shù).第10頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三11例

計(jì)算其中D是由直線y=1,x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域.解法1:先y后x

··xyx012y=xy=1x=2第11頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三12解法2:先x后yyx012y=xx=2··y第12頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三13解例計(jì)算(1,1)第13頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三14選取積分次序,不僅要看區(qū)域的特點(diǎn),而且要看被積函數(shù)的特點(diǎn).凡遇如下形式積分:等等,一定要放在后面積分.第14頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三15解積分區(qū)域如圖例改變積分的次序.第15頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三16例交換積分次序:解原式=第16頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三17例交換積分次序:解積分區(qū)域:原式=第17頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三18例求證

左邊的累次積分中,提示不能直接計(jì)算,是y的抽象函數(shù),證畢.要先交換積分次序.證明第18頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三19例

求兩個(gè)底圓半徑為R,且這兩個(gè)圓柱面的方程分別為及

求所圍成的立體的體積.第19頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三20解曲面圍成的立體如圖.例

求由下列曲面所圍成的立體體積,第20頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三21第21頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三22例解第22頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三23補(bǔ)充輪換對(duì)稱性結(jié)論:若D關(guān)于x,y滿足輪換對(duì)稱性(將D的邊界曲線方程中的x與y交換位置,方程不變),則第23頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三24證所以,

例第24頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三25二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式(在積分中要正確選擇積分次序)小結(jié)[Y-型][X-型](1)化二重積分為二次積分;(2)交換積分次序;題型第25頁(yè),講稿共28頁(yè),2023年5月2日,星期三26作業(yè)習(xí)題8-2(1)(77頁(yè))3.(1)(3)(4)4.5.6.(1)(2)7.(2)(3)第26頁(yè),

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