矩陣及其運算演示文稿

矩陣及其運算演示文稿本文檔共38頁；當前第1頁；編輯于星期二\17點56分第五講

矩陣及其運算一、矩陣二、矩陣的運算本文檔共38頁；當前第2頁；編輯于星期二\17點56分√√√√√其中√表示有航班始發(fā)地ABCD目的地ABCD例1

某航空公司在A、B、C、D四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來表示:√√一、矩陣1.引例本文檔共38頁；當前第3頁；編輯于星期二\17點56分為了便于計算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個數(shù)表：ABCDABCD√√√√√√√這個數(shù)表反映了四個城市之間交通聯(lián)接的情況.本文檔共38頁；當前第4頁；編輯于星期二\17點56分其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例2

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．本文檔共38頁；當前第5頁；編輯于星期二\17點56分稱為

m行

n列矩陣，簡稱

m×n矩陣．記作2.矩陣的定義

定義1由

m×n

個數(shù)排成的

m行

n列的數(shù)表本文檔共38頁；當前第6頁；編輯于星期二\17點56分元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣.這m×n個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元.簡記為本文檔共38頁；當前第7頁；編輯于星期二\17點56分行數(shù)不等于列數(shù)共有m×n個元素本質(zhì)上就是一個數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個元素矩陣行列式本文檔共38頁；當前第8頁；編輯于星期二\17點56分（1）行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.（2）只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).（3）元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：3.特殊的矩陣本文檔共38頁；當前第9頁；編輯于星期二\17點56分（4）形如的方陣稱為對角矩陣．當時，稱為數(shù)量矩陣.

特別地，方陣稱為單位矩陣．記作記作．本文檔共38頁；當前第10頁；編輯于星期二\17點56分4.同型矩陣與矩陣相等（1）

兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.（2）兩個矩陣與為同型矩陣，并且對應

元素相等，即

則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.本文檔共38頁；當前第11頁；編輯于星期二\17點56分注：不同型的零矩陣是不相等的.

矩陣之間不能比較大小.例如本文檔共38頁；當前第12頁；編輯于星期二\17點56分例3某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量．其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．二、矩陣的運算本文檔共38頁；當前第13頁；編輯于星期二\17點56分解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量本文檔共38頁；當前第14頁；編輯于星期二\17點56分1.矩陣的加法定義2設有兩個

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說明：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.本文檔共38頁；當前第15頁；編輯于星期二\17點56分知識點比較本文檔共38頁；當前第16頁；編輯于星期二\17點56分交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運算規(guī)律設

A、B、C是同型矩陣設矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣

A的負矩陣．顯然本文檔共38頁；當前第17頁；編輯于星期二\17點56分設工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量．例4（續(xù)例2）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．本文檔共38頁；當前第18頁；編輯于星期二\17點56分解：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．本文檔共38頁；當前第19頁；編輯于星期二\17點56分2.數(shù)與矩陣相乘定義3數(shù)

l與矩陣

A

的乘積記作

lA或

Al

，規(guī)定為本文檔共38頁；當前第20頁；編輯于星期二\17點56分知識點比較本文檔共38頁；當前第21頁；編輯于星期二\17點56分結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律設

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.本文檔共38頁；當前第22頁；編輯于星期二\17點56分其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例5（續(xù)例2）

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．本文檔共38頁；當前第23頁；編輯于星期二\17點56分解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．本文檔共38頁；當前第24頁；編輯于星期二\17點56分可用矩陣表示為一般地，本文檔共38頁；當前第25頁；編輯于星期二\17點56分3.矩陣的乘法定義4設，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．本文檔共38頁；當前第26頁；編輯于星期二\17點56分例6設則本文檔共38頁；當前第27頁；編輯于星期二\17點56分知識點比較有意義.沒有意義.只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.本文檔共38頁；當前第28頁；編輯于星期二\17點56分例7

結(jié)論：（1）矩陣乘法不一定滿足交換律.（2）矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論．本文檔共38頁；當前第29頁；編輯于星期二\17點56分矩陣乘法的運算規(guī)律(1)結(jié)合律(3)分配律(2)結(jié)合律（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論1矩陣乘法不一定滿足交換律，但是數(shù)量陣

lE

與任何同階方陣都是可交換的.數(shù)量陣不同于對角陣本文檔共38頁；當前第30頁；編輯于星期二\17點56分(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時候成立？A、B可交換時成立本文檔共38頁；當前第31頁；編輯于星期二\17點56分4.矩陣的轉(zhuǎn)置定義5把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例本文檔共38頁；當前第32頁；編輯于星期二\17點56分轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)本文檔共38頁；當前第33頁；編輯于星期二\17點56分例8已知解法1本文檔共38頁；當前第34頁；編輯于星期二\17點56分解法2本文檔共38頁；當前第35頁；編輯于星期二\17點56分定義6設A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對稱矩陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對稱矩陣.對稱矩陣反對稱矩陣本文檔共38頁；當前第36頁；編輯于星期二\17點56分5.方陣的行列式定義7由

n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運算性質(zhì)定義8設A是

n階方陣，當|A|=0時，稱A為奇異矩陣（或退