高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性(新人教B版)

觀察下列函數(shù)圖象設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間M?A，如果取區(qū)間M中的

兩個(gè)值x1，x2，改變量

，則當(dāng)

時(shí)，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)，如圖(1)；當(dāng)

時(shí)，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)，如圖(2)．Δ

x＝x2－x1>0任意Δ

y＝f(x2)－f(x1)>0Δ

y＝f(x2)－f(x1)<0如果函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說(shuō)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間M上具有

(區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間)．單調(diào)性[思路點(diǎn)撥]

函數(shù)解析式和區(qū)間已給出，要證明函數(shù)是增函數(shù)，只需用定義證明即可．[一點(diǎn)通]利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟如下：[例2]畫出函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋1的圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．3．函數(shù)y＝|x|在區(qū)間[－1,1]上的增區(qū)間為________．答案：[0,1]解：(1)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，0)，(0，＋∞)；(2)y＝x2－2x－3的對(duì)稱軸方程是x＝1，并且開口向上，所以其單調(diào)減區(qū)間是(－∞，1]，單調(diào)增區(qū)間是(1，＋∞)．[例3]

(12分)已知y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數(shù)，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范圍．

[思路點(diǎn)撥]

不等式f(1－a)<f(2a－1)為抽象不等式，不能直接解．考慮到函數(shù)的單調(diào)性，可將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的不等關(guān)系，即轉(zhuǎn)化為具體不等式來(lái)求解．[一點(diǎn)通]解決此類與抽象函數(shù)有關(guān)的變量的取值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是利用單調(diào)性“脫去”函數(shù)符號(hào)“f”，從而轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，對(duì)任意x1∈D

，x2∈D，且f(x1)<f(x2)，則有x1<x2；若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，對(duì)任意x1∈D

，x2∈D，且f(x1)<f(x2)，則有x1>x2.但需要注意的是，不要忘記函數(shù)的定義域．6．若函數(shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，則f(－3)與f(－π)的大小關(guān)系是________．答案：f(－3)>f(－π)答案：C8．已知函數(shù)f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的減區(qū)間是(－∞，1－a]．又∵已知f(x)在(－∞，4]上是減函數(shù)，∴1－a≥4，即a≤－3.∴所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3]．(1)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域的某個(gè)子集上的性質(zhì)．這個(gè)子集可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的真子集．(2)若x1>x2，f(x1)>f(x2)，則函數(shù)y＝f(x)是單調(diào)增函數(shù)；若x1>x2，f(x1)<f(x2)，則函數(shù)y＝f(x)