專題15單調(diào)性問題（原卷版）

專題15單調(diào)性問題【命題方向目錄】命題方向一：利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像命題方向二：求單調(diào)區(qū)間命題方向三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍命題方向四：不含參數(shù)單調(diào)性討論命題方向五：含參數(shù)單調(diào)性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)情形二：函數(shù)為準一次函數(shù)情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型方向1、可因式分解方向2、不可因式分解型情形四：函數(shù)為準二次函數(shù)型命題方向六：分段分析法討論【2024年高考預測】2024年高考仍然重點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，難度可為基礎題，也可為中檔題，也可為難題，題型為選擇、填空或解答題．【知識點總結(jié)】1、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)在區(qū)間上可導f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減f（x）在區(qū)間上是常數(shù)函數(shù)2、利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導數(shù)的零點；第3步，用的零點將的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．【方法技巧與總結(jié)】1、若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則時，恒成立；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則時，恒成立．2、若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則時，有解；若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則時，有解．【典例例題】命題方向一：利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像例1．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）設函數(shù)在定義域內(nèi)可導，的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（

）

A． B．C． D．例2．（2023·河北石家莊·高三?？计谀┖瘮?shù)的圖象如圖，則導函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．例3．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）為的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．變式1．（2023·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減變式2．（2023·山東濟寧·高三?？茧A段練習）如圖是的圖像，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【通性通解總結(jié)】原函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導函數(shù)（導函數(shù)等于0，只在離散點成立，其余點滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導函數(shù)（導函數(shù)等于0，只在離散點成立，其余點滿足）．命題方向二：求單調(diào)區(qū)間例4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．和例5．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C．， D．例6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．變式3．（2023·云南昆明·昆明一中模擬預測）設a為實數(shù)，函數(shù)，且是偶函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【通性通解總結(jié)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：（1）求的定義域（2）求出．（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標出，穿針引線．（4）在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應用“和”、“，”隔開．命題方向三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍例7．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？寄M預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例8．（2023·河南安陽·高三?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．例9．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式4．（2023·貴州黔南·高三階段練習）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．變式5．（2023·高三單元測試）函數(shù)f(x)=在上是單調(diào)函數(shù)的必要不充分條件是A． B．C． D．變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（

）A．3 B． C．2 D．變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式8．（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式9．（2023·安徽滁州·高三?？茧A段練習）若函數(shù)存在遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式10．（2023·四川宜賓·校考模擬預測）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍（

）A． B． C． D．【通性通解總結(jié)】（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導函數(shù)的形式及圖像特點，如一次函數(shù)最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋物線最小值落在端點等．（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍．（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解．命題方向四：不含參數(shù)單調(diào)性討論例10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在點處的切線斜率為0，求a的值．(2)當時．設函數(shù)，求證：與在上均單調(diào)遞增；例11．（2023·江西贛州·高三?？奸_學考試）設函數(shù)(1)證明：在上單調(diào)遞增;例12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，.(1)當時，求證：在上單調(diào)遞減；變式11．（2023·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）已知.（1）當時，求證：在上單調(diào)遞減；變式12．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，證明：（1）在區(qū)間單調(diào)遞減；【通性通解總結(jié)】確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開．命題方向五：含參數(shù)單調(diào)性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)例13．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知，其中.(1)若，討論的單調(diào)性；例14．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；例15．（2023·福建廈門·廈門外國語學校校考模擬預測）已知函數(shù)．(1)令，討論在的單調(diào)性；變式13．（2023·陜西咸陽·校考二模）已知函數(shù).(1)當，求的極值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.變式14．（2023·云南·高三云南民族大學附屬中學?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；情形二：函數(shù)為準一次函數(shù)變式15．（2023·河南許昌·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；變式16．（2023·河北唐山·開灤第二中學校考模擬預測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；變式17．（2023·河北·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；變式18．（2023·北京·?？寄M預測）已知函數(shù).(1)求曲線過點的切線方程；(2)若，求的取值范圍；(3)設時，討論函數(shù)的單調(diào)性.情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型方向1、可因式分解變式19．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；變式20．（2023·江西宜春·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)當，時，討論函數(shù)的單調(diào)性；變式21．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一中學校?？计谥校┮阎瘮?shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；變式22．（2023·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；變式23．（2023·浙江·高三慈溪中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)若的導函數(shù)為，試討論的單調(diào)性；方向2、不可因式分解型變式24．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；變式25．（2023·貴州貴陽·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)(1)若是的一個極值點，求的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.變式26．（2023·廣東深圳·高三深圳中學校考階段練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；變式27．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；變式28．（2023·山東德州·三模）已知函數(shù)，其中．(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；變式29．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；變式30．（2023·江蘇常州·高三華羅庚中學校考階段練習）已知函數(shù)，()，(1)當時，令函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；【通性通解總結(jié)】1、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導函數(shù)的情況來作出選擇，通過對新函數(shù)零點個數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對應導數(shù)的正負，最終判斷原函數(shù)的增減．（注意定義域的間斷情況）．2、需要求二階導的題目，往往通過二階導的正負來判斷一階導函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導函數(shù)端點處的函數(shù)值或零點可判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段．3、利用草稿圖像輔助說明．情形四：函數(shù)為準二次函數(shù)型變式31．（2023·四川瀘州·高三校考階段練習）已知函數(shù).(1)若，試討論在上的單調(diào)性；變式32．（2023·江西宜春·高三江西省豐城中學?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)若，討論函數(shù)的單調(diào)性；變式33．（2023·福建寧德·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；變式34．（2023·北京·高三北京四中校考期中）已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；變式35．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；變式36．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)，且）.(1)討論的單調(diào)性；命題方向六：分段分析法討論例16．（2023·北京·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，證明：在上單調(diào)遞增；例17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；例18．（2023·福建龍巖·高三校聯(lián)考期末）已知.(1)若，求f（x）在的最大值；(2)若，證明：在上單調(diào)遞增.變式37．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，．(1)求證：在上單調(diào)遞增；變式38．（2023·山東青島·高三山東省萊西市第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)(1)求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；【通性通解總結(jié)】1、二次型結(jié)構(gòu)，當且僅當時，變號函數(shù)為一次函數(shù)．此種情況是最特殊的，故應最先討論，遵循先特殊后一般的原則，避免寫到最后忘記特殊情況，導致丟解漏解．2、對于不可以因式分解的二次型結(jié)構(gòu)，我們優(yōu)先考慮參數(shù)取值能不能引起恒正恒負．3、注意定義域以及根的大小關(guān)系．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·河南南陽·高三?？茧A段練習）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．不存在這樣的實數(shù)k2．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)的圖像如圖所示，則導函數(shù)的圖像可能為（

）A． B．C． D．3．（2023·河南三門峽·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，若在上是單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·陜西咸陽·高三陜西咸陽中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，若對，，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·廣東深圳·高三統(tǒng)考階段練習）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2023·北京順義·高三楊鎮(zhèn)第一中學?？茧A段練習）“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2023·河南·高三期末）函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，對任意的，有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的定義域為B．的值域為C．是偶函數(shù)D．在區(qū)間上是增函數(shù)10．（2023·江蘇蘇州·高三校考期中）已知函數(shù)，其導函數(shù)為，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B．函數(shù)的極小值是C．當時，對于任意的，都有D．函數(shù)的圖像有條切線方程為11．（2023·浙江金華·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，為其導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．12．（2023·山東臨沂·高三?？计谀┮阎瘮?shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線三、填空題13．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知是函數(shù)的導函數(shù)，寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)________．①定義域為；②對任意，；③的圖象關(guān)于原點中心對稱．14．（2023·全國·模擬預測）設向量，滿足，，若函數(shù)單調(diào)遞增，則的取值范圍為_____________．15．（2023·浙江寧波·高三統(tǒng)考競賽）已知實數(shù)滿足，則_____．16．（2023·安徽蕪湖·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是______．四、解答題17．（2023·寧夏銀川·高三?？茧A段練習）（1）若冪函數(shù)在單調(diào)遞減，求實數(shù)值；（2）若函數(shù)在上單